公交车的调度
杜克勤 童颜 李科
摘要：本文解决的是一个公交车调度问题，目的是用尽可能少的车来运送乘客，
同时不能让乘客等待时间过长，也不能超载。
文中提出了一种解决本问题的新颖的模型。通过分析知，一个时区内需要
的车只与该时区内车站的最大转移客流量有关，于是我们对题目所给的数据进
行一系列变换处理，求出每个时段发的车的最大转移客流量，得到一个新的表格。
根据最大转移客流量，用线性规划的方法可以求出我们这个模型需要发车次数的
最小值，然后综合考虑乘客的等待时间等我们可以给出各个时区的发车次数，进
而确定全天发车时间表，由发车时间表，我们同样用线性规划方法求出需要的最
少车辆数。
用我们构造的模型，求出了一个可行的调度计划，并给出了发车时刻表。每
个方向的全天发车次数为237，需要的57辆公交车。通过编程模拟得出平均等
待时间2.17min和平均满载率81.6%，对这个解进行了评价，说明了本模型的特
点，并指出了进一步优化改进的方向。最后用一个模拟搜索方法又求出一个解，
并与第一个解相比较。
一 问题的提出
这是一个公共汽车调度问题。题目给出了来自我国一座特大城市某条公交线路的客流调
查和运营资料。
该条公交线路上行方向共14站，下行方向共13站，题目给出的是典型的一个工作日两
个运行方向各站上下车的乘客数量统计。公交公司配给该线路同一型号的大客车，每辆标准
载客100 人，据统计客车在该线路上运行的平均速度为20公里/小时。运营调度要求，乘客
候车时间一般不要超过10分钟，早高峰时一般不要超过5分钟，车辆满载率不应超过 120%，
一般也不要低于50%。
我们的目标就是根据题目所给的这些统计资料，把调度问题抽象成一个明确完整的数学
模型，并求解，根据我们的解，给公交公司制定一个公交车调度方案和起点站的发车时刻表，
使公交公司能够有效降低成本，但又不能牺牲乘客的利益。
二 基本假设
1. 1. 候车队伍有良好的秩序；即要保证乘客先来先乘车的原则；
2. 2. 忽略其它情况对公交车的影响，即公交车以20公里/小时的速度匀速行驶；不计乘
客上、下车的时间及公交车起动、加速、滑行、制动时间（因为题中给的是平均速度）；
3. 3. 从i:00?(i?1):00时间段内到达某站的乘客数服从均匀分布；
4. 4. 公交公司只对公交车进行调度但在允许的范围内不限制乘客上车；既只要该车乘客
数不大于120则允许乘客上车，直到达到120为止；
5. 5. 每个时间段的发车间隔时间是确定的而且平均的。
三 符号说明与概念引进
3.1 概念引进
1
1 时区-----我们规定两相邻正点之间的单位时间间隔为一个时区，并给之编号
5：00-6：00 1时区 6：00-7：00 2时区 21：00-22：00 17时区
22：00-23：00 18时区
2 跨时区-----当一辆公交车从i时区出发在到达目的地之前已经进入下一个
?
2
i?1时区
时，我们就称为产生了跨时区。
3
4 4 如果一个乘客是在i时区来到j车站乘车的，我们称该乘客来自i时区
3 站间转移客流量M?i,j?-----有多少乘客乘坐i时区发出的车经过j车站到达
j?1车站（包括在j车站上车的乘客，）。
3.2 符号说明
1
l1、l2、l3??l18分别代表各个时区内发车的时间间隔
2 n1n2n3?n16n17n18分别代表各个时区内发车的总次数
3 A?i,j?：在i时区j车站的净上车客流量 4 M?i,j?：站间转移客流量（见上面定义）
5 Ti?1?i,j?：j车站来自i时区的人被发自i?1时区的车运走的数量
6 N?i,j?：i时区内发出的所有车在j车站运走的净乘客数量（上车人数减下车人数）。
四 问题的分析
我们应该在满足乘客的等待时间要求的前提下，合适地安排发车次数，得到发车时刻表，
使得发车次数尽可能的少，而且用到的车辆尽可能少。
我们的目标是求每一个时区内发车的次数，发车的次数由在该时区内发出的车要要运
送的乘客数量决定，那么我们就要求各个时区发出的车分别要运送的乘客数。知道了要运送
的乘客数，就可以用线性规划求发车车次ni。知道了发车车次，我们进而可以列出发车
时刻表，通过时刻表，可以用线性规划求最少车辆。
五 模型的建立和求解 起点 Ak 点
5:00 5.1 模型一
示意图见右。箭头表示车在一定时间内从起点开到终点。
6:00 由于公交车有跨时间段的问题（例：起点到第Ai站要用t(以小
时为单位))的时间，则在i：00到i+t时间内到达Ak站的乘客
可由i-1：00—i：00时间段内发出的公交车运走）。为了方便解决问题，
i:00
在i时区到达车站的这部分乘客将被i-1时区发出的车运走 我们以第i时区(6?i?22)发出的公交车来重新划分乘客， 在i时区到达车站的这部分乘客
找出各个站点上由这些车运送的乘客数量
由i时区发出的车运走
则从第j时区发出的车在Ak站点所要运
走的乘客数量为(假设在i:00到（i+1）:00在Ak点候车的
（i+1）:00 在i+1时区到达车站的这部分乘客由I时区发出的车运走
乘客数量为ui；在i:00到（i+1）:00在Ai点下车的乘客 数量为di)：
当j=1时，上车的乘客数为：u5?u6?t；
下车的乘客数为：d5?d6?t
22:00
当2?j?17时，上车的乘客数为：ui?ui?t?ui?1?t 当j=18时，上车的乘客数为：u22?u22?t
下车的乘客数为：d22?d22?t
我们再引入两个附加假设：
附加假设一： 假设i时区发出的第一辆与最后一辆车到达j车站的时刻分别为t1?j?，
23:00 下车的乘客数为：di?di?t?di?1?t 图 1 t2?j?，在t1?j?到t2?j?这个时间间隔内，乘客的到来服从均匀分布。
（原来假设一个时区里来人是均匀的；当求出在t1?j?到t2?j?内来的人数后，再认为这段时间内来人均匀）
附加假设二： 假设i时区发出的车能够把t1?j?-t2?j?这个时间间隔内来到j车站的乘客全部运走。
下面我们要解决的问题：具体求出i时区发出的车要运多少乘客
命题一： 在考虑车站转移客流量M?i,j?时，在一个站我们分别考虑上下车人数与我们考虑
净上车人数是等价的。
命题二： 每个时区内公交车的发车次数的下限由这个时区内相邻两站间最大转移客流量
maxM?i,j?决定。
证明： maxM?i,j?表示在i时区要经由j车站向下的乘客，我们要保证人能被运走，但又不
能超载，即满载率不能超过120%，那么如果留。
ni?maxM?i,j?120,必然导致该站的部分乘客滞
命题三： 在第i时区来j车站的乘客是被发自i?1时区和发自i时区的车共同运走的，而且
被i?1时区的车运走的乘客Ti?1?i,j?占j车站总乘客的比例由j车站距始发站的
距离决定。
推论： 第i时区内发的车从j车站运走的乘客来自于i时区和i?1时区，运送的i?1时区
的乘客Ti?i?1,j?占总乘客的比例也由j车站距始发站的距离决定。
由这四个命题我们可以得出的一个算法： 1）
1）
计算i时区j车站净上车人数A?i,j?（i=1,2,?17,18；
j?13,12,11,?2,1,0）；
2）
2） 计算Ti?1?i,j?和Ti?i?1,j?（Ti?1?i,j?为在i时区来的乘客被i?1时区发出的车运走的数量，Ti?i?1,j?为从i时区发的车运送的在i?1时区来的乘客）
3）
3） 计算i时区发出的车需从j车站运走的乘客的数量N?i,j?，
N?i,j?=A?i,j?-Ti?1?i,j?+Ti?i?1,j?
4） 5）
4） 计算i时区j车站的转移客流量M?i,j?，M?i,j?=i?13?N?i,j?j（对于上行
方向来说），即i时区内发出的车从起点站到j站的净上车人数之和。
M?i,j?和需要的发车次数ni的关5） 据i时区内各车站的最大转移客流量max系：
maxM?i,j??ni*120
从而确定ni的最小值。
用以上算法，将原表格变换成为一个新的表格，用来求发车次数。
我们编了一个程序来计算每个车站由i时区出发的车的转移客流量，最后求的结果列表如下：（各个时区的最大转移客流量用粗体标出）
表1：上行方向的各个车站的转移客流量 站名 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 A13 371 1990 3626 2064 1186 923 957 873 779 625 635 1493 2011 691 350 304 209 19 A12 445 2279 4038 2273 1308 1024 1081 969 878 695 734 1716 2265 767 391 337 230 19 A11 512 2514 4326 2445 1396 1093 1180 1057 941 763 803 1875 2444 823 423 362 246 19 A10 556 2620 4485 2505 1423 1123 1227 1090 958 796 834 1938 2495 833 435 373 250 17 A9 679 2996 4912 2667 1519 1211 1346 1190 1042 876 924 2148 2700 886 464 405 265 14 A8 723 2944 4753 2577 1422 1134 1289 1138 1013 861 890 2052 2527 826 440 394 246 5 A7 645 2594 4259 2267 1210 975 1143 1022 922 765 733 1805 2305 726 388 354 219 -4 A6 563 2106 3589 1903 982 774 981 899 804 611 509 1470 2020 575 299 282 167 -16 A5 670 2209 3638 1911 1002 819 1041 945 838 637 548 1557 2099 599 302 277 159 -19 A4 660 2074 3498 1841 960 780 995 915 812 605 513 1476 2031 572 287 264 149 -20 A3 685 2020 3422 1789 925 755 968 899 796 583 476 432 1991 547 276 254 141 -24 A2 718 1908 3245 1682 864 712 932 874 767 555 432 1335 1922 520 263 241 131 -27 A1 44 409 1965 845 289 208 458 483 405 213 -195 292 1289 264 99 111 734 -36 由以上数据，我们可以建立一规划模型来求解minni
目标函数： minni