设四元线性齐次方程组(Ⅰ)为 x1?x2?0x2?x4?0,
又已知某线性齐次方程组(Ⅱ)的通解为k1(0,1,1,0)?k2(?1,2,2,1).
(1)求线性方程组(Ⅰ)的基础解析.
(2)问线性方程组(Ⅰ)和(Ⅱ)是否有非零公共解?若有,则求出所有的非零公共解.若没有,则说明理由. 九、（本题满分6分）
设A为n阶非零方阵,A*是A的伴随矩阵,A?是A的转置矩阵,当A*?A?时,证明A?0.
十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)
(1)已知A、B两个事件满足条件P(AB)?P(AB),且P(A)?p,则P(B)=____________. (2)设相互独立的两个随机变量X,Y具有同一分布率,且X的分布率为
X P
0 121 12 则随机变量Z?max{X,Y}的分布率为____________.
十一、（本题满分6分）
设随机变量X和Y分别服从正态分布N(1,32)和N(0,42),且X与Y的相关系数?xy??Z?X3?Y,
12,设
2(1)求Z的数学期望EZ和DZ方差.
(2)求X与Z的相关系数?xz. (3)问X与Y是否相互独立?为什么?
1995年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)
2(1)lim(1?3x)sinx=_____________.
x?0(2)
d02dx?x2xcostdt= _____________.
(3)设(a?b)?c?2,则[(a?b)?(b?c)]?(c?a)=_____________.
?(4)幂级数?n2n?1n的收敛半径n?12?(?3)nxR=_____________.
?1?00???3(5)设三阶方阵A,B满足关系式A?1BA?6A?BA,且A??1??0?40??,则B=_____________. ??001???7??
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(1)设有直线L: x?3y?2z?1?02x?y?10z?3?,0及平面?:4x?2y?z?2?0,则直线L
(A)平行于? (B)在?上 (C)垂直于?
(D)与?斜交
(2)设在[0,1]上f??(x)?0,则f?(0),f?(1),f(1)?f(0)或f(0)?f(1)的大小顺序是 (A)f?(1)?f?(0)?f(1)?f(0) (B)f?(1)?f(1)?f(0)?f?(0)
(C)f(1)?f(0)?f?(1)?f?(0)
(D)f?(1)?f(0)?f(1)?f?(0)
(3)设f(x)可导,F(x)?f(x)(1?sinx),则f(0)?0是F(x)在x?0处可导的 (A)充分必要条件
(B)充分条件但非必要条件 (C)必要条件但非充分条件
(D)既非充分条件又非必要条件
(4)设unn?(?1)ln(1?1则级数
n),????(A)?u2n与?u都收敛
(B)n?u2n与?u都发散
nn?1n?1n?1n?1????(C)?u,而?u2n收敛发散
(D)n?un收敛,而?u2发散
nn?1n?1n?1n?1?a11a12a13??aa12a13??010??100?(5)设A???a21a22a??1123?,B??a21a22a??23?,P1??100??,P?2??010??,则必有 ??a31a32a33????a31a32a33????001????101??(A)AP1P2=B
(B)AP2P1=B (C)P1P2A=B
(D)P2P1A=B
三、(本题共2小题,每小题5分,满分10分) (1)设u?f(x,y,z),?(x2,ey,z)?0,y?sinx,其中f,?都具有一阶连续偏导数,且???z?0.求
dudx.
(2)设函数111f(x)在区间[0,1]上连续,并设?f(x)dx?A,求?dx?f(x)f(y)dy.
00x
四、(本题共2小题,每小题6分,满分12分)
(1)计算曲面积分??2?zdS,其中?为锥面z?x?y2在柱体x2?y2?2x内的部分.
(2)将函数f(x)?x?1(0?x?2)展开成周期为4的余弦函数.
五、(本题满分7分)
设曲线L位于平面xOy的第一象限内,L上任一点M处的切线与y轴总相交,交点记为A.已知
MA?OA,且L过点(32,32),求L的方程.
六、(本题满分8分)
设函数Q(x,y)在平面xOy上具有一阶连续偏导数,曲线积分?2xydx?Q(x,y)dy与路径无关,并且对
L任意t恒有?(t,1)(0,0)2xydx?Q(x,y)dy??(1,t)(0,0)2xydx?Q(x,y)dy,求Q(x,y).
七、（本题满分8分）
假设函数f(x)和g(x)在[a,b]上存在二阶导数,并且g??(x)?0,f(a)?f(b)?g(a)?g(b)?0,试证:
(1)在开区间(a,b)内g(x)?0.
f(?)g(?)f??(?)g??(?) (2)在开区间(a,b)内至少存在一点?,使
八、（本题满分7分）
?.
?0???设三阶实对称矩阵A的特征值为?1??1,?2??3?1,对应于?1的特征向量为ξ1?1,求A.
????1??
九、（本题满分6分）
设A为n阶矩阵,满足AA??I(I是n阶单位矩阵,A?是A的转置矩阵),A?0,求A?I.
十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上) (1)设X表示10次独立重复射击命中目标的次数,每次射中目标的概率为0.4, 则X2的数学期望E(X2)=____________.
(2)设X和Y为两个随机变量,且
P{X?0,Y?0}?37,P{X?0}?P{Y?0}?47,
则P{max(X,Y)?0}?____________.
十一、（本题满分6分） 设随机变量X的概率密度为
fX(x)? X求随机变量Y?e的概率密度fY(y).
e0?x
x?0x?0,
1996年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)
(1)设lim(x?2ax则a=_____________.
x??x?a)?8,(2)设一平面经过原点及点(6,?3,2),且与平面4x?y?2z?8垂直,则此平面方程为_____________. (3)微分方程y???2y??2y?ex的通解为_____________. (4)函数u?ln(x?y2?z2)在点A(1,0,处1沿点A指向点B(3?,2,方2向的方向导数为_____________.
?102?(5)设A是4?3矩阵,且A的秩r(A)?2,而B???020??,则r(AB)=_____________. ???103??
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把
所选项前的字母填在题后的括号内)
(1)已知(x?ay)dx?ydy,(x?y)2为某函数的全微分a则等于 (A)-1 (B)0 (C)1
(D)2 (2)设f(x)具有二阶连续导数,且f?(0)?0,limf??(x)x?0x?1,则
(A)f(0)是f(x)的极大值 (B)f(0)是f(x)的极小值
(C)(0,f(0))是曲线y?f(x)的拐点
(D)f(0)不是f(x)的极值,(0,f(0))也不是曲线y?f(x)的拐点
?(3)设an?0(n?1,2,?),且?a??n收敛,常数??(0,则级数?(?1)n(ntan?n?12),n?1n)a2n
(A)绝对收敛 (B)条件收敛
(C)发散 (D)散敛性与?有关
(4)设有xf(x)连续的导数,f(0)?0,f?(0)?0,F(x)??(x2?t2)f(t)dt,且当x?0时,F?(x)与xk是
0同阶无穷小,则k等于
(A)1 (B)2 (C)3
(D)4
a100b1(5)四阶行列式
0a2b200a的值等于
3b30b400a4(A)a1a2a3a4?b1b2b3b4
(B)a1a2a3a4?b1b2b3b4 (C)(a1a2?b1b2)(a3a4?b3b4)
(D)(a2a3?b2b3)(a1a4?b1b4)
三、(本题共2小题,每小题5分,满分10分) (1)求心形线r?a(1?cos?)的全长,其中a?0是常数.
(2)设x1?10,xn?1?6?xn(n?1,2,?),试证数列{xn}极限存在,并求此极限.
四、(本题共2小题,每小题6分,满分12分)
(1)计算曲面积分??(2x?z)dydz?zdxdy,其中S为有向曲面z?x2?y2(0?x?1),其法向量与z轴正
S向的夹角为锐角. 2222
(2)设变换 u?x?2yzv?x?ay可把方程6?z?x2??z?x?y??z?y2?0简化为
??u?v?0,求常数a.
五、(本题满分7分)
?求级数?12n的和.
n?1(n?1)2
六、(本题满分7分)
设对任意x?0,曲线y?f(x)上点(x,f(x))处的切线在y轴上的截距等于
1x?x0f(t)dt,求f(x)的一
般表达式.
七、（本题满分8分）
设f(x)在[0,1]上具有二阶导数,且满足条件f(x)?a,f??(x)?b,其中a,b都是非负常数,c是(0,1)b2.
内任意一点.证明f?(c)?2a? 八、（本题满分6分）
设A?I?ξξT,其中I是n阶单位矩阵,ξ是n维非零列向量,ξT是ξ的转置.证明 (1)A2?A的充分条件是ξTξ?1. (2)当ξTξ?1时,A是不可逆矩阵. 九、（本题满分8分）
22?cx3?2x1x2?6x1x3?6x2x3的秩为2, 已知二次型f(x1,x2,x3)?5x12?5x2(1)求参数c及此二次型对应矩阵的特征值. (2)指出方程f(x1,x2,x3)?1表示何种二次曲面.
十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)
(1)设工厂A和工厂B的产品的次品率分别为1%和2%,现从由A和B的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件,发现是次品,则该次品属A生产的概率是____________.
(2)设?,?是两个相互独立且均服从正态分布N(0,(122))的随机变量,则随机变量???的数学期望
E(???)=____________.
十一、（本题满分6分）
设?,?是两个相互独立且服从同一分布的两个随机变量,已知?的分布率为P(??i)?又设X?max(?,?),Y?min(?,?).
(1)写出二维随机变量的分布率: X Y 13,i?1,2,3.
1 2 3 1 2 3 (2)求随机变量X的数学期望E(X).