七、(本题满分6分)
为清除井底的淤泥,用缆绳将抓斗放入井底,抓起污泥后提出井口(见图).已知井深30m,抓斗自重400N,缆绳每米重50N,抓斗抓起的污泥重2000N,提升速度为3m/s,在提升过程中,污泥以20N/s的速率从抓斗缝隙中漏掉.现将抓起污泥的抓斗提升至井口,问克服重力需作多少焦耳的功?
(说明:①1N?1m=1Jm,N,s,J分别表示米,牛,秒,焦.②抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不计.)
八、(本题满分7分)
x22设S为椭球面
y22?2?z?1的上半部分,点P(x,y,z)?S,?为S在点P处的切平面,?(x,y,z)为点
O(0,0,0)到平面?的距离,求??zS?(x,y,z)dS.
九、(本题满分7分)
?设a?40tannn?xdx:
?(1)求?1an?an?2)的值.
n?1n(?(2)试证:对任意的常数??0,级数?an?收敛.
n?1n
十、(本题满分8分) ?a?1c?
设矩阵A???5b3??,其行列式|A|??1,又A的伴随矩阵A*有一个特征值?0,属于?0的一个??1?c0?a??特征向量为α?(?1,?1,1)T,求a,b,c和?0的值.
十一、(本题满分6分)
设A为m阶实对称矩阵且正定,B为m?n实矩阵,BT为B的转置矩阵,试证BTAB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r(B)?n.
十二、(本题满分8分)
设随机变量X与Y相互独立,下表列出了二维随机变量(X,Y)联合分布率及关于X和关于Y的边缘分
布率中的部分数值,试将其余数值填入表中的空白处. X Y y1 y2 y3 P(X?xi)?pi? x11 8 x2 18 P(Y?y1i)?p?j 6 1
十三、(本题满分6分)
?设X的概率密度为f(x)??6x3(??x) 0< x????,X1,X2,?,Xn是取自总体X的简单随机样本
??0 其它(1)求?的矩估计量??. (2)求??的方差D(??).
2000年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)?12=_____________.
02x?xdx(2)曲面x2?2y2?3z2?21在点(1,?2,?2)的法线方程为_____________. (3)微分方程xy???3y??0的通解为_____________.
?121??x1??1?(4)已知方程组??23a?2???????x2???3?无解,则a= _____________.
??1a?2????x3????0??(5)设两个相互独立的事件A和B都不发生的概率为19,A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概
率相等,则P(A)=_____________.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(1)设f(x)、g(x)是恒大于零的可导函数,且f?(x)g(x)?f(x)g?(x)?0,则当a?x?b时,有 (A)f(x)g(b)?f(b)g(x) (B)f(x)g(a)?f(a)g(x)
(C)f(x)g(x)?f(b)g(b)
(D)f(x)g(x)?f(a)g(a)
(2)设S:x2?y2?z2?a2(z?0),S1为S在第一卦限中的部分,则有
(A)??xdS?4??xdS
(B)
??ydS?4??xdS
SS1SS1(C)??zdS?4??xdS
(D)??xyzdS?4??xyzdS
SS1SS1?(3)设级数?un收敛,则必收敛的级数为
n?1??(A)?(?1)nun
(B)?u2n
n?1nn?1??(C)?(u2n?1?u2n)
(D)?(un?un?1)
n?1n?1(4)设n维列向量组α1,?,αm(m?n)线性无关,则n维列向量组β1,?,βm线性无关的充分必要条件为 (A)向量组α1,?,αm可由向量组β1,?,βm线性表示 (B)向量组β1,?,βm可由向量组α1,?,αm线性表示
(C)向量组α1,?,αm与向量组β1,?,βm等价
(D)矩阵A?(α1,?,αm)与矩阵B?(β1,?,βm)等价
(5)设二维随机变量(X,Y)服从二维正态分布,则随机变量??X?Y与 ??X?Y不相关的充分必要条件为
(A)E(X)?E(Y) (B)E(X2)?[E(X)]2?E(Y2)?[E(Y)]2
(C)E(X2)?E(Y2)
(D)E(X2)?[E(X)]2?E(Y2)?[E(Y)]2
三、(本题满分6分)
1求lim2?exsinxx??(4?exx).
1?
四、(本题满分5分)
设z?f(xy,x)?g(x),其中f具有二阶连续偏导数,g具有二阶连续导数,求
?2zyy?x?y.
五、(本题满分6分)
计算曲线积分I???xdy?ydx4x2?y2,其中L是以点L(1,0)为中心,R为半径的圆周(R?1),取逆时针方向.
六、(本题满分7分)
设对于半空间x?0内任意的光滑有向封闭曲面S,都有???xf(x)dydz?xyf(x)dzdx?e2xzdxdy?0,S其中函数f(x)在(0,??)内具有连续的一阶导数,且limf(x)?1,求f(x).
x?0?
七、(本题满分6分)
?1xn 求幂级数?n的收敛区间,并讨论该区间端点处的收敛性.
n?13?(?2)nn
八、(本题满分7分)
设有一半径为R的球体,P0是此球的表面上的一个定点,球体上任一点的密度与该点到P0距离的平方成正比(比例常数k?0),求球体的重心位置.
九、(本题满分6分)
设函数f(x)在[0,?]上连续,且??f(x)dx?0,??f(x)cosxdx?0.试证:在(0,?)内至少存在两个不同
00的点?1,?2,使f(?1)?f(?2)?0.
十、(本题满分6分) ?1000??0100?
设矩阵A的伴随矩阵A*????1010?,且ABA?1?BA?1?3E,其中E为4阶单位矩阵,求矩阵??0?308??B.
十一、(本题满分8分)
某适应性生产线每年1月份进行熟练工与非熟练工的人数统计,然后将16熟练工支援其他生产部门,其缺额由招收新的非熟练工补齐.新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有25成为熟练工.设第n年1月份统
计的熟练工与非熟练工所占百分比分别为x?xn?n和yn,记成向量?y?.
?n?(1)求?x?n?1??x?与?n??x?的关系式并写成矩阵形式:?n?1???A?x?n??.
?yn?1??yn??yn?1??yn?(2)验证η1??4???,η??1?2???是A的两个线性无关的特征向量,并求出相应的特征值.
?1??1??1?(3)当?x1??????2??时,求?xn?1??y1???1???y?.
?2?n?1??
十二、(本题满分8分)
某流水线上每个产品不合格的概率为p(0?p?1),各产品合格与否相对独立,当出现1个不合格产品时.设开机后第1次停机时已生产了的产品个数为X,求X的数学期望E(X)和方差D(X).
十三、(本题满分6分)
;?)???2e?2(x??)设某种元件的使用寿命X的概率密度为f(xx???0x??,其中??0为未知参数.又设
x1,x2,?,xn是X的一组样本观测值,求参数?的最大似然估计值.
即停机检修2001年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)
(1)设y?ex(asinx?bcosx)(a,b为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解,则该方程为_____________.
(2)r?x2?y2?z2,则div(gradr)(1,?2,2)= _____________.
(3)交换二次积分的积分次序:?0dy?1?y＝_____________.
?12f(x,y)dx(4)设A2?A?4E?O,则(A?2E)?1= _____________.
(5)D(X)?2,则根据车贝晓夫不等式有估计P{X?E(X)?2}? _____________.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(1)设函数f(x)在定义域内可导,y?f(x)的图形如右图所示,则y?f?(x)的图形为
(A) (B)
(C)
(D)
(2)设f(x,y)在点(0,0)的附近有定义,且fx?(0,0)?3,fy?(0,0)?1则 (A)dz|(0,0)?3dx?dy
(B)曲面z?f(x,y)在(0,0,f(0,0))处的法向量为{3,1,1}
(C)曲线 z?f(x,y)y?0在(0,0,f(0,0))处的切向量为{1,0,3}
(D)曲线 z?f(x,y)y?0在(0,0,f(0,0))处的切向量为{3,0,1}
(3)设f(0)?0则f(x)在x=0处可导?
(A)limf(1?cosh)h2存在
(B) 存在
h?0limf(1?eh)h?0h(C)limf(h?sinh)h2存在
(D)limf(2h)?f(h)
h?0h?0h存在?1111??4000?(4)设?A??1111???000??,则A与B
?1111?,B??0?0000???1111????0000??(A)合同且相似 (B)合同但不相似 (C)不合同但相似
(D)不合同且不相似
(5)将一枚硬币重复掷n次,以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数, 则X和Y相关系数为 (A) -1 (B)0
(C)12
(D)1
三、(本题满分6分) x求?arctanee2xdx.
四、(本题满分6分)
设函数z?f(x,y)在点(1,1可)微,且f(1,1)?1,fx?(1,1)?2,fy?(1,1)?3,?(x)?f(x,f(x,x)),求
d3dx?(x)x?1.
五、(本题满分8分)
1?x2设f(x)? xarctaxn x?,将0?f(x)展开成x的幂级数,并求?(?1)n2的和.
1 x?0n?11?4n
六、(本题满分7分) 计算I???(y2?z2L)dx?(2z2?x2)dy?(3x2?y2)dz,其中L是平面 x?y?z?2与柱面x?y?1的交线,从Z轴正向看去,L为逆时针方向.
七、(本题满分7分)
设f(x)在(?1,1)内具有二阶连续导数且f??(x)?0.证明:
(1)对于?x?(?1,0)?(0,1),存在惟一的?(x)?(0,1),使 f(x)=f(0)+xf?(?(x)x)成立. (2)lim?x?0(x)?0.5.
八、(本题满分8分)
2设有一高度为h(t)(t为时间)的雪堆在融化过程,其侧面满足方程z?h(t)?2(x?y2)h(t)(设长度单位为
厘米,时间单位为小时),已知体积减少的速率与侧面积成正比(系数为0.9),问高度为130厘米的雪堆全部融化需多少时间?
九、(本题满分6分)
设α1,α2,?,αs为线性方程组AX?O的一个基础解系,
β1?t1α1?t2α2,β2?t1α2?t2α3,?,βs?t1αs?t2α1,
其中t1,t2为实常数,试问t1,t2满足什么条件时β1,β2,?,βs也为AX?O的一个基础解系?
十、(本题满分8分)
已知三阶矩阵A和三维向量x,使得x,Ax,A2x线性无关,且满足A3x?3Ax?2A2x.
(1)记P?(x,Ax,A2x),求B使A?PBP?1. (2)计算行列式A?E.
十一、(本题满分7分)
设某班车起点站上客人数X服从参数为?(??0)的泊松分布,每位乘客在中途下车的概率为
p(0?p?1),且中途下车与否相互独立.Y为中途下车的人数,求:
(1)在发车时有n个乘客的条件下,中途有m人下车的概率. (2)二维随机变量(X,Y)的概率分布.
十二、(本题满分7分)
设X~N(?,?2)抽取简单随机样本X1,X2,?,X2n(n?2), 样本均值X?12nn2n?Xi,Y??(Xi?X2n?i?2X),求E(Y).
i?1i?1