二章-信息量和熵习题解
2.1 莫尔斯电报系统中，若采用点长为0.2s，1划长为0.4s，且点和划出现的概率分别为2/3和1/3，试求它的信息速率(bits/s)。
214?0.2??0.4?秒 3315231 每个符号的熵为?log??log3?0.9183比特/符号
32315所以，信息速率为0.9183??3.444比特/秒
4解: 平均每个符号长为:
2.2 一个8元编码系统，其码长为3，每个码字的第一个符号都相同(用于同步)，若每秒产生1000个码字，试求其信息速率(bits／s)。
解: 同步信号均相同不含信息,其余认为等概,每个码字的信息量为 3*2=6 比特；
所以，信息速率为6?1000?6000比特/秒
2.3 掷一对无偏的骰子，若告诉你得到的总的点数为：(a) 7；(b) 12。
试问各得到了多少信息量?
6 366 所以，得到的信息量为 log2( 比特 )?2.585361 (b) 一对骰子总点数为12的概率是
361 所以，得到的信息量为 log2?5.17 比特
36 解: (a)一对骰子总点数为7的概率是
2.4 经过充分洗牌后的一付扑克(含52张牌)，试问：
(a) 任何一种特定排列所给出的信息量是多少?
(b) 若从中抽取13张牌，所给出的点数都不相同时得到多少信息量?
解: (a)任一特定排列的概率为
1, 52!1?225.58 比特 52!所以，给出的信息量为 ?log213!?413413?13 (b) 从中任取13张牌,所给出的点数都不相同的概率为 13A52C52 1
13C52所以，得到的信息量为 log213?13.21 比特.
42.5 设有一个非均匀骰子，若其任一面出现的概率与该面上的点数成正比，试求各点
出现时所给出的信息量，并求掷一次平均得到的信息量。
解:易证每次出现i点的概率为
I(x?i)??log2i,所以 21i,i?1,2,3,4,5,621I(x?1)?4.392比特I(x?2)?3.392比特I(x?3)?2.807比特I(x?4)?2.392比特I(x?5)?2.070比特I(x?6)?1.807比特H(X)???i?16
iilog2?2.398比特21212.6 园丁植树一行，若有3棵白杨、4棵白桦和5棵梧桐。设这12棵树可随机地排列，
且每一种排列都是等可能的。若告诉你没有两棵梧桐树相邻时，你得到了多少关于树的排列的信息?
解: 可能有的排列总数为
12!?27720
3!4!5!没有两棵梧桐树相邻的排列数可如下图求得，
Y X Y X Y X Y X Y X Y X Y X Y
图中X表示白杨或白桦，它有????种排法，Y表示梧桐树可以栽种的位置，它有????种排法，
所以共有??5??*??3??=1960种排法保证没有两棵梧桐树相邻，
????因此若告诉你没有两棵梧桐树相邻时，得到关于树排列的信息为
?7??3??8??5??8??7?log227720?log21960=3.822 比特
2.7 某校入学考试中有1/4考生被录取，3/4考生未被录取。被录取的考生中有50%来自本市，而落榜考生中有10％来自本市，所有本市的考生都学过英语，而外地落榜考生中以及被录取的外地考生中都有40%学过英语。
(a) 当己知考生来自本市时，给出多少关于考生是否被录取的信息?
2
(b) 当已知考生学过英语时，给出多少有关考生是否被录取的信息?
(c) 以x表示是否落榜，y表示是否为本市学生，z表示是否学过英语，x、y和z
取值为0或1。试求H(X)，H(Y|X)，H(Z|YZ)。
解: X=0表示未录取，X=1表示录取；
Y=0表示本市，Y=1表示外地；
Z=0表示学过英语，Z=1表示未学过英语，由此得
31p(x?0)?,p(x?1)?,44p(y?0)?p(x?0)p(y?0x?0)?p(x?1)p(y?0x?1)31111?????,41042514p(y?1)?1??,
55p(z?0)?p(y?0)p(z?0y?0)?p(y?1)p(z?0y?1)144013???,55100251312p(z?1)?1??,2525?
(a)p(x?0y?0)?p(y?0x?0)p(x?0)/p(y?0)?1313?/?104581115p(x?1y?0)?p(y?0x?1)p(x?1)/p(y?0)??/?2458p(x?0y?0)p(x?1y?0)I(X;y?0)?p(x?0y?0)log2?p(x?1y?0)log2
p(x?0)p(x?1)3535?log28?log28381844?0.4512比特 3
(b)p(x?0z?0)?(p(z?0y?0,x?0)p(y?0x?0)?p(z?0y?1,x?0)p(y?1x?0))p(x?0)/p(z?0)19431369?(??)?/?101010425104p(x?1z?0)?(p(z?0y?0,x?1)p(y?0x?1)?p(z?0y?1,x?1)p(y?1x?1))p(x?1)/p(z?0)11211335?(??)?/?225425104I(X;z?0)?p(x?0z?0)log2p(x?0z?0)p(x?0)69356935?log2104?log21043104110444?0.02698比特?p(x?1z?0)log2p(x?1z?0)p(x?1)(c)H(X)?341log2?log24?0.8113比特434H(YX)?p(x?0)p(y?0x?0)log2p(y?0x?0)?p(x?0)p(y?1x?0)log2p(y?1x?0)p(x?1)p(y?0x?1)log2p(y?0x?1)?p(x?1)p(y?1x?1)log2p(y?1x?1)3139101111??log210??log2??log22??log2241041094242?0.6017比特
2.8 在A、B两组人中进行民意测验，组A中的人有50%讲真话(T)，30%讲假话(F)，20%拒绝回答(R)。而组B中有30%讲真话，50%讲假话和20%拒绝回答。设选A组进行测验的概率为p，若以I(p)表示给定T、F或R条件下得到的有关消息来自组A或组B的平均信息量，试求I(p)的最大值。
解:令X??A,B?,Y??T,F,R?，则
4
P(T)?P(TA)P(A)?P(TB)P(B)?0.5p?0.3?(1?p)?0.3?0.2p同理P(F)?0.5?0.2p,P(R)?0.2I(p)?I(X;Y)?H(Y)?H(YX)??(0.3?0.2p)log2(0.3?0.2p)?(0.5?0.2p)log2(0.5?0.2p)?0.2log20.2?(0.5plog22?0.3plog210?0.2plog25?0.3(1?p)log210?0.5(1?p)log22?330.2(1?p)log25)?0.3log20.3?0.5log20.5?(0.3?0.2p)log2(0.3?0.2p)?(0.5?0.2p)log2(0.5?0.2p)令I'(p)?0.2log2(0.5?0.2p)?0,得p?0.50.3?0.2p?I(p)max?I(p)p?0.5?0.03645比特
2.9 随机掷三颗骰子，以X表示第一颗骰子抛掷的结果，以Y表示第一和第二颗骰子抛掷的点数之和，以Z表示三颗骰子的点数之和。试求H(Z|Y)、H(X|Y)、H(Z|XY)，H(XZ|Y)和H(Z|X)。
解:令X=X1,Y=X1+X2,Z=X1+X2+X3,
H(X1)=H(X2)=H(X3)=log26 比特 H(X)= H(X1) =log26=2.585 比特 H(Y)= H(X2+X3)
=
2(12363364365361log236?log2?log2?log2?log2)?log26 363623633643656= 3.2744比特
H(Z)= H(X1+X2+X3)
?2(1321662161021615216log2216?log2?log2?log2?log2216216321662161021615 212162521627216log2?log2?log2)216212162521627= 3.5993 比特 所以
H(Z/Y)= H(X3)= 2.585 比特
H(Z/X) = H(X2+X3)= 3.2744比特
H(X/Y)=H(X)-H(Y)+H(Y/X) = 2.585-3.2744+2.585 =1.8955比特 H(Z/XY)=H(Z/Y)= 2.585比特
H(XZ/Y)=H(X/Y)+H(Z/XY) =1.8955+2.585 =4.4805比特
5