??111?36?P??2?111??623??111? ???362??有
Q(x111)?2,Q(x2)?Q(x3)?4
w(y111)?2?2?14?(16?13)?38w(y)?111112?3?4?(122?6)?3
w(y?1111173)2?6?4?(3?2)?24因为
P(xp(x1)p(y1x1)11)??2?1221yw(y1)3?
83P(xp(x1)p(y2x1)1?1211y2)?w(y?31?
2)32P(x?p(x1)p(y3x1)12?121y3)w(y?67?
3)247xp(x2)p(y3x2)1?1P(2y3)?w(y?4323)7?
247P(xp(x3)p(y3x3)1?13y3)??423w(y3)7?
247所以
最大后验概率译码为： y1和y2判为x1,y3判为x3。译码错误概率为：
26
pe?Q(x1)P(y3x1)?Q(x2)?Q(x3)(1?p(y3x3))11111????(1?)2644211?24?
若按最大似然译码准则译码为：y1判为x1,y2判为x2,y3判为x3 译码错误概率为：
pe?Q(x1)(1?P(y1x1))?Q(x2)(1?P(y2x2))?Q(x3)(1?p(y3x3))111111?????(1?)2242421?2?
可见,最大似然译码的译码错误概率大于最大后验概率译码的译码错误概率。
第七章 信道编码
1. 设(7,3)码的生成矩阵为
?1011100?? G??0110110????0001111??(1) 写出该码的一致校验矩阵H； (2) 写出该码的所有许用码字；
(3) .写出该码的“译码表”---标准译码表或简化(伴随式)译码表； (4) 写出接收矢量R=1000001的错误图样,并译相应的许用码字；
(5) 写出该码在
BSC(错误转移概率为p)中传输的(平均)正确译码
概率pc的表达式；
(6) 写出该码在
BSC(错误转移概率为p)中传输的漏检概率Pud(也
27
称不可检测错误概率)的表达式.
解: (1) G不为系统码形式,我们通过初等行变换变为系统码形式
?1011100??1011100??~?1101010? 0110110 G????????0001111????0001111???1011100?? 1101010 ~?????0111001??因此
?1?0?H??0?0??000110?100011??010101? 001111???(2) 由C=MG得该码的许用码字为
0000000,0111001,1101010,1010011,1011100,1100101,0110110,0001111 该码的最小汉明距离为4。
(3) 该码的标准阵由16个陪集构成, 在BSC(错误转移概率为p<1/2)应将重量最小的错误图样选作陪集首, 故该码的标准译码表为
许用码字 0000000 (陪集首) 0000001 0000010 0000100 禁用码字 0001000 0010000 0100000 1000000 0111000 0111011 0111101 0110001 0101001 0011001 1111001 1101011 1101000 1101110 1100010 1111010 1001010 0101010 1010010 1010001 1010111 1011011 1000011 1110011 0010011 1011101 1011110 1011000 1010100 1001100 1111100 0011100 1100100 1100111 1100001 1101101 1110101 1000101 0100101 0110111 0110100 0110010 0111110 0100110 0010110 1110110 0001110 0001101 0001011 0000111 0011111 0101111 1001111 0111001 1101010 1010011 1011100 1100101 0110110 0001111 28
0000011 0000101 0001001 0010001 0100001 1000001 1001000 1110000 0111010 0111100 0110000 0101000 0011000 1111000 1110001 1001001 1101001 1101111 1100011 1111011 1001011 0101011 0100010 0011010 1010000 1010110 1011010 1000010 1110010 0010010 0011011 0100011 1011111 1011001 1010101 1001101 1111101 0011101 0010100 0101100 1100110 1100000 1101100 1110100 1000100 0100100 0101101 0010101 0110101 0110011 0111111 0100111 0010111 1110111 1111110 1000110 0001100 0001010 0000110 0011110 0101110 1001110 1000111 1111111 译码规则为若接收矢量在第i列出现,则译码输出为对应列中的码字,也就是陪集首为可纠正错误图样. 伴随式译码表为
伴随式 0000 0111 1101 1011 0001 0010 0100 1000 1010 1100 0110 0101 0011 1111 1001 1110 陪集首 0000000 0000001 0000010 0000100 0001000 0010000 0100000 1000000 0000011 0000101 0001001 0010001 0100001 1000001 1001000 1110000
(4) 接收矢量R=1010101出现在标准译码表的第五列, 译码输出为
29
1011100, 错误图样为0001001.
(5) 该码标准译码表的陪集首重量分布为 A0=1,A1=7,A2=7,A3=1,A4=A5=A6=A7=0 所以正确译码概率pc为
7Pi3c??Aip(1?p)7?i?(1?p)7?7p(1?p)6?7p2(1?p)5?p(1?p)4i?0注意：i=0
(6) 该码的重量分布为
A0=1,A1=A2=A3=0,A4=7,A5=A6=A7=0 所以该码在BSC中传输的漏检概率Pud为
7Piiud??Aip(1?p)7??7p4(1?p)3
i?1注意：i=1
30