《离散数学》练习题和参考答案
一、选择或填空（数理逻辑部分） 1、下列哪些公式为永真蕴含式？( )
(1)?Q=>Q→P (2)?Q=>P→Q (3)P=>P→Q (4)?P?(P?Q)=>?P 答：（1），（4） 2、下列公式中哪些是永真式？( )
(1)(┐P?Q)→(Q→?R) (2)P→(Q→Q) (3)(P?Q)→P (4)P→(P?Q) 答：（2），（3），（4） 3、设有下列公式，请问哪几个是永真蕴涵式?( ) (1)P=>P?Q (2) P?Q=>P (3) P?Q=>P?Q
(4)P?(P→Q)=>Q (5) ?(P→Q)=>P (6) ?P?(P?Q)=>?P 答：（2），（3），（4），（5），（6） 4、公式?x((A(x)?B(y，x))? ?z C(y，z))?D(x)中，自由变元是( )，约束变元是( )。答：x,y, x,z 5、判断下列语句是不是命题。若是，给出命题的真值。( )
北京是中华人民共和国的首都。 (2) 陕西师大是一座工厂。 (3) 你喜欢唱歌吗？ (4) 若7+8＞18，则三角形有4条边。 (5) 前进！ (6) 给我一杯水吧！ 答：（1） 是，T （2） 是，F （3） 不是 （4） 是，T （5） 不是 （6） 不是
6、命题“存在一些人是大学生”的否定是( )，而命题“所有的人都是要死的”的否定是( )。 答：所有人都不是大学生，有些人不会死
7、设P：我生病，Q：我去学校，则下列命题可符号化为( )。 (1) 只有在生病时，我才不去学校 (2) 若我生病，则我不去学校 (3) 当且仅当我生病时，我才不去学校(4) 若我不生病，则我一定去学校 答：（1） ?Q?P （2） P??Q （3） P??Q （4）?P?Q 8、设个体域为整数集，则下列公式的意义是( )。 (1) ?x?y(x+y=0) (2) ?y?x(x+y=0)
答：（1）对任一整数x存在整数 y满足x+y=0（2）存在整数y对任一整数x满足x+y=0 9、设全体域D是正整数集合，确定下列命题的真值：
(1) ?x?y (xy=y) ( ) (2) ?x?y(x+y=y) ( )
(3) ?x?y(x+y=x) ( ) (4) ?x?y(y=2x) ( )答：（1） F （2） F （3）F （4）T 10、设谓词P(x)：x是奇数，Q(x)：x是偶数，谓词公式 ?x(P(x)?Q(x))在哪个个体域中为真?( ) (1) 自然数 (2) 实数 (3) 复数 (4) (1)--(3)均成立 答：（1） 11、命题“2是偶数或-3是负数”的否定是（ ）。 答：2不是偶数且-3不是负数。 12、永真式的否定是（ ）
(1) 永真式 (2) 永假式 (3) 可满足式 (4) (1)--(3)均有可能 答：（2） 13、公式(?P?Q)?(?P??Q)化简为（ ），公式 Q?(P?(P?Q))可化简为（ ）。答：?P ，Q?P 14、谓词公式?x(P(x)? ?yR(y))?Q(x)中量词?x的辖域是（ ）。答：P(x)? ?yR(y)
15、令R(x):x是实数，Q(x):x是有理数。则命题“并非每个实数都是有理数”的符号化表示为（ ）。
1
答：??x(R(x)?Q(x)) （集合论部分）
16、设A={a,{a}}，下列命题错误的是（ ）。
(1) {a}?P(A) (2) {a}?P(A) (3) {{a}}?P(A) (4) {{a}}?P(A) 答：(2) 17、在0（ ）?之间写上正确的符号。
(1) = (2) ? (3) ? (4) ? 答：(4) 18、若集合S的基数|S|=5，则S的幂集的基数|P(S)|=（ ）。 答：32
2219、设P={x|(x+1)?4且x?R},Q={x|5?x+16且x?R},则下列命题哪个正确（ ）
(1) Q?P (2) Q?P (3) P?Q (4) P=Q 答：（3） 20、下列各集合中，哪几个分别相等( )。
(1) A1={a,b} (2) A2={b,a} (3) A3={a,b,a} (4) A4={a,b,c} (5) A5={x|(x-a)(x-b)(x-c)=0} (6) A6={x|x2-(a+b)x+ab=0} 答：A1=A2=A3=A6， A4=A5
21、若A-B=Ф，则下列哪个结论不可能正确？( ) (1) A=Ф (2) B=Ф (3) A?B (4) B?A 答：（4）
22、判断下列命题哪个为真?( )
(1) A-B=B-A => A=B (2) 空集是任何集合的真子集
(3) 空集只是非空集合的子集 (4) 若A的一个元素属于B，则A=B 答：（1）
23、判断下列命题哪几个为正确？( )
(1) {Ф}∈{Ф,{{Ф}}} (2) {Ф}?{Ф,{{Ф}}} (3) Ф∈{{Ф}} (4) Ф?{Ф} (5) {a,b}∈{a,b,{a},{b}} 答：（2），（4）
24、判断下列命题哪几个正确？( )
(1) 所有空集都不相等 (2) {Ф}?Ф (4) 若A为非空集，则A?A成立。 答：（2）
25、设A∩B=A∩C，A∩B=A∩C，则B( )C。 于）
26、判断下列命题哪几个正确？( ) (1) 若A∪B＝A∪C，则B＝C (2) {a,b}={b,a} (3) P(A∩B)?P(A)∩P(B) （P(S)表示S的幂集）
(4) 若A为非空集，则A?A∪A成立。 27、Ａ，Ｂ，Ｃ是三个集合，则下列哪几个推理正确：
2
答：=（等答：（2）
(1) A?B，B?C=> A?C (2) A?B，B?C=> A∈B (3) A∈B，B∈C=> A∈C 答：（1） （二元关系部分）
28、设Ａ＝｛1,2,3,4,5,6｝，B={1,2,3}，从Ａ到B的关系Ｒ＝｛〈x,y〉|x=y2｝，求(1)R (2) R-1 。 答：（1）R={<1,1>,<4,2>} (2) R
?1={<1,1>,<2,4>}
29、举出集合A上的既是等价关系又是偏序关系的一个例子。( ) 答：A上的恒等关系
30、集合A上的等价关系的三个性质是什么？( ) 答：自反性、对称性和传递性
31、集合A上的偏序关系的三个性质是什么？( ) 答：自反性、反对称性和传递性
32、设S={１,２,３,４}，Ａ上的关系Ｒ＝｛〈1,2〉，〈2,1〉，〈2,3〉，〈3,4〉｝求(1)R?R (2) R-1 。 答：R?R ={〈1,1〉，〈1,3〉，〈2,2〉，〈2,4〉}R-1 =｛〈2,1〉，〈1,2〉，〈3,2〉，〈4,3〉｝ 33、设Ａ＝｛1，2，3，4，5，6｝，Ｒ是A上的整除关系，求R= {( )}。 答：R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>,<5,5>,<6,6>,<1,2>,<1,3>,<1,4>, <1,5>,<1,6>,<2,4>,<2,6>,<3,6>}
34、设Ａ＝｛1,2,3,4,5,6｝，B={1,2,3}，从Ａ到B的关系Ｒ＝｛〈x,y〉|x=2y｝，求(1)R (2) R-1 。 答：（1）R={<1,1>,<4,2>,<6,3>} (2) R
?1={<1,1>,<2,4>,(36>}
35、设Ａ＝｛1,2,3,4,5,6｝，B={1,2,3}，从Ａ到B的关系Ｒ＝｛〈x,y〉|x=y2｝，求R和R-1的关系矩阵。
??100??000??000???00000?010??1???000?00100???0?答：R的关系矩阵=??000?? R
?1的关系矩阵=
??000000??
36、集合A={1,2,?,10}上的关系R={
(1) 自反的 (2) 对称的 (3) 传递的，对称的 (4) 传递的 （代数结构部分）
37、设A={2,4,6}，A上的二元运算*定义为：a*b=max{a,b}，则在独异点中，单位元是( )，零元是( )答：2，6
38、设A={3,6,9}，A上的二元运算*定义为：a*b=min{a,b}，则在独异点中，单位元是( )，零元是( )答：9，3
（半群与群部分）
39、设〈G,*〉是一个群，则
(1) 若a,b,x∈G，a?x=b，则x=( )；
(2) 若a,b,x∈G，a?x=a?b，则x=( )。 答： （1） a?1?b b
40、设a是12阶群的生成元， 则a2是( )阶元素，a3是( )阶元素。
3
。 ； 2） 答：
（
6,4
41、代数系统
42、设a是10阶群的生成元， 则a4是( )阶元素，a3是( )阶元素。 答：5，10
43、群
44、素数阶群一定是( )群, 它的生成元是( )。 答：循环群，任一非单位元
45、设〈G,*〉是一个群，a,b,c∈G，则
(1) 若c?a=b，则c=( )；(2) 若c?a=b?a，则c=( )。 b
46、
答：
47、群＜A,*＞的等幂元有( )个，是( )，零元有( )个。 位元，0
48、在一个群〈G,*〉中，若G中的元素a的阶是k，则a-1的阶是( )。 49、在自然数集N上，下列哪种运算是可结合的？（ ）
(1) a*b=a-b (2) a*b=max{a,b} (3) a*b=a+2b (4) a*b=|a-b| 50、任意一个具有2个或以上元的半群，它（ ）。 (1) 不可能是群 (2) 不一定是群
(3) 一定是群 (4) 是交换群 51、6阶有限群的任何子群一定不是（ ）。
(1) 2阶 (2) 3 阶 (3) 4 阶 (4) 6 阶 （格与布尔代数部分）
52、下列哪个偏序集构成有界格（ ） (1) （N,?） (2) （Z,?）
(3) （{2,3,4,6,12},|（整除关系）） (4) (P(A),?) 53、有限布尔代数的元素的个数一定等于（ ）。
(1) 偶数 (2) 奇数 (3) 4的倍数 (4) 2的正整数次幂 （图论部分）
54、设G是一个哈密尔顿图，则G一定是( )。 (1) 欧拉图 (2) 树 (3) 平面图 (4) 连通图 55、下面给出的集合中，哪一个是前缀码？( ) (1) {0，10，110，101111} (2) {01，001，000，1}
4
答：（1） b?a?1 (2)
答：1，单答：k
(3) {b，c，aa，ab，aba} (4) {1，11，101，001，0011}
56、一个图的哈密尔顿路是一条通过图中( )的路。 答：所有结点一次且恰好一次
57、在有向图中，结点v的出度deg+(v)表示( )，入度deg-(v)表示( )。 答：以v为起点的边的条数， 以v为终点的边的条数 58、设G是一棵树，则G 的生成树有( )棵。 (1) 0 (2) 1 (3) 2 (4) 不能确定
59、n阶无向完全图Kn 的边数是( )，每个结点的度数是( )。
n(n?1)答：
2, n-1
60、一棵无向树的顶点数n与边数m关系是( )。 答：m=n-1
61、一个图的欧拉回路是一条通过图中( )的回路。 答：所有边一次且恰好一次
62、有n个结点的树，其结点度数之和是( )。 答：2n-2
63、下面给出的集合中，哪一个不是前缀码( )。 (1) {a，ab，110，a1b11} (2) {01，001，000，1} (3) {1，2，00，01，0210} (4) {12，11，101，002，0011} 答：(1)
64、n个结点的有向完全图边数是( )，每个结点的度数是( )。 答：n(n-1),2n-2
65、一个无向图有生成树的充分必要条件是( )。 答：它是连通图
66、设G是一棵树，n,m分别表示顶点数和边数，则 (1) n=m (2) m=n+1 (3) n=m+1 (4) 不能确定。 答：（3）
67、设T=〈V,E〉是一棵树，若|V|>1，则T中至少存在( )片树叶。 答：2
68、任何连通无向图G至少有( )棵生成树，当且仅当G 是( )，G的生成树只有一棵。 答：1，树
69、设G是有n个结点m条边的连通平面图，且有k个面，则k等于: (1) m-n+2 (2) n-m-2 (3) n+m-2 (4) m+n+2。 答：（1）
70、设T是一棵树，则T是一个连通且( )图。
5