《离散数学》练习题和参考答案(6)

?1??2（1）?24334??1???

?1??4?233324??1???1??=?123344??2??

?1??4（2）??1??4=?25253232464653536??1???1??4=??1??6?23253532414652536??1???

?1??4?22332544325546536??6??

6??1??

26??1???6??1???4??1=?21、试求出8阶循环群的所有生成元和所有子群。 解：

设G是8阶循环群，a是它的生成元。则G={e,a,a2,..,a7}。由于ak是G的生成元的充分必要条件是k与8互素，故a,a3,a5,a7是G的所有生成元。

因为循环群的子群也是循环群，且子群的阶数是G 的阶数的因子，故G的子群只能是1 阶的、2阶的、4 阶的或8阶的。因为|e|=1,|a|=|a3|=|a5|=8,|a2|=|a6|=8, |a4|=2,且G 的子群的生成元是该子群中a的最小正幂，故G的所有子群除两个平凡子群外，还有{e,a4},{e,a2,a4,a6}。

22、I上的二元运算*定义为：?a,b?I，a*b=a+b-2。试问是循环群吗？解：

是循环群。因为是无限阶的循环群，则它只有两个生成元。1和3是它的两个生成元。因为an=na-2(n-1)，故1n=n-2(n-1)=2-n。从而对任一个k?I,k=2-(2-k)=12-k，故1是的生成元。又因为1和3 关于*互为逆元，故3 也是的生成元。

23、设是群，a?G。令H={x?G|a·x=x·a}。试证：H 是G 的子群。 证明：

? c，d?H，则对?c，d?HK，c·a=a·c,d·a=a·d。故(c·d) ·a=c·(d·a)=c·(a·d)=(c·a) ·d=(a·c) ·d=a·(c·d)。

从而c·d?H。

由于c·a=a·c,且·满足消去律，所以a ·c-1=c-1·a。故c-1?H。 从而H 是G的子群。

24、证明：偶数阶群中阶为2 的元素的个数一定是奇数。 证明：

设是偶数阶群，则由于群的元素中阶为1 的只有一个单位元，阶大于2 的元素是偶数个，剩下的元素中都是阶为2 的元素。故偶数阶群中阶为2 的元素一定是奇数个。 25、证明：有限群中阶大于2的元素的个数一定是偶数。 证明：

设是有限群，则?a?G，有|a|=|a-1|。且当a 阶大于2时，a?a-1。故阶数大于2 的元素成对出现，从而其个数必为偶数。

26、试求中每个元素的阶。 解：

0是中关于+6的单位元。则|0|=1；|1|=|5|=6，|2|=|4|=3，|3|=2。

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27、设是群，a,b?G，a?e，且a4·b=b·a5。试证a·b?b·a。 证明：

用反证法证明。

假设a·b=b·a。则a4·b= a3·（a·b）= a3·(b·a)=(a5·b)·a =(a2·(a·b))·a=（a2·（b·a））·a=((a2·b)·a)·a=(a·(a·b))·(a·a) =(a·(b·a))·a2=((a·b)·a)·a2 =((b·a)·a)·a2=(b·a2)·a2 =b·(a2·a2)=b·a4。

因为a4·b= b·a5，所以b·a5= b·a4。由消去律得，a=e。 这与已知矛盾。

28、I上的二元运算*定义为：?a,b?I，a*b=a+b-2。试证：为群。 证明：

（1）?a,b,c?I，(a*b)*c=(a*b)+c-2=(a+b-2)+c-2=a+b+c-4, a*(b*c) =a+(b*c)-2=a+(b+c-2)-2=a+b+c-4。故(a*b)*c= a*(b*c)，从而*满足结合律。 （2）记e=2。对?a?I，a*2=a+2-2=a=2+a-2=2*a.。故e=2是I关于运算*的单位元。

（3）对?a?I，因为a*（4-a）=a+4-a-2=2=e=4-a+a-2=(4-a)*a。故4-a是a关于运算*的逆元。 综上所述，为群。

29、设为半群，a?S。令Sa={ai | i?I+ }。试证是的子半群。 证明：

?b，c?Sa，则存在k,l?I+，使得b=ak,c=al。从而b·c=ak·al=ak+l。因为k+l?I+，所以b·c?Sa，即Sa关于

运算·封闭。故是的子半群。 30、单位元有惟一逆元。 证明：

设是一个群，e是关于运算?的单位元。 若e1,e2都是e的逆元，即e1*e=e且e2*e=e。

因为e是关于运算?的单位元，所以e1=e1*e=e=e2*e=e2。 即单位元有惟一逆元。

31、设e和0是关于A上二元运算*的单位元和零元，如果|A|>1，则e?0。 证明：

用反证法证明。假设e=0。

对A的任一元素a，因为e和0是A上关于二元运算*的单位元和零元， 则a=a*e=a*0=0。即A的所有元素都等于0,这与已知条件|A|>1矛盾。 从而假设错误。即e?0。

32、证明在元素不少于两个的群中不存在零元。 证明：（用反证法证明）

设在素不少于两个的群中存在零元?。对?a?G, 由零元的定义有 a*?=?。

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? 是群，?关于*消去律成立。? a=e。即G中只有一个元素，这与|G|?2矛盾。故在元素不少于两个的群中不存在零元。

33、证明在一个群中单位元是惟一的。 证明：

设e1,e2都是群〈G,*〉的单位元。 则e1=e1*e2=e2。 所以单位元是惟一的。

34、设a是一个群〈G，*〉的生成元，则a-1也是它的生成元。 证明：

?x?G，因为a是〈G，*〉的生成元，所以存在整数k，使得x=a。

k故x=((a)

k?1)

?1=((a

?1))

k?1=(a

?1)

?k。从而a-1也是〈G，*〉的生成元。

35、在一个偶数阶群中一定存在一个2阶元素。 证明：

群中的每一个元素的阶均不为0 且单位元是其中惟一的阶为1的元素。因为任一阶大于2 的元素和它的逆元的阶相等。且当一个元素的阶大于2 时，其逆元和它本身不相等。故阶大于2 的元素是成对的。从而阶为1的元素与阶大于2 的元素个数之和是奇数。

因为该群的阶是偶数，从而它一定有阶为2 的元素。

36、代数系统是一个群，则G除单位元以外无其它等幂元。 证明：

设e是该群的单位元。若a是的等幂元，即a*a=a。

因为a*e=a，所以a*a=a*e。由于运算*满足消去律，所以a=e。 即G除单位元以外无其它等幂元。

37、设是一个群，则对于a,b∈G，必有唯一的x∈G，使得a?x=b。 证明：

因为a-1*b∈G，且a*(a-1*b)=(a*a-1)*b=e*b=b，所以对于a,b∈G，必有x∈G，使得a?x=b。 若x1,x2都满足要求。即a?x1=b且a?x2=b。故a?x1=a?x2。 由于*满足消去律，故x1=x2。

从而对于a,b∈G，必有唯一的x∈G，使得a?x=b。

38、设半群中消去律成立，则是可交换半群当且仅当?a,b?S，（a·b）2=a2·b2。 证明：

??a,b?S，（a·b）2=(a·b)·(a·b)=((a·b)·a)·b

=(a·(a·b))·b=((a·a)·b)·b=(a·a)·(b·b)=a2·b2;

? ?a,b?S，因为（a·b）2=a2·b2，所以(a·b)·(a·b)=(a·a)·(b·b)。故a·((b·a)·b)=a·(a·(b·b))。

由于·满足消去律，所以(b·a)·b=a·(b·b)，即(b·a)·b=(a·b)·b。从而a·b=b·a。故·满足交换律。 39、设群除单位元外每个元素的阶均为2，则是交换群。

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证明：

对任一a?G，由已知可得a*a=e，即a-1=a。

对任一a,b?G，因为a*b=(a*b)-1=b-1*a-1=b*a，所以运算*满足交换律。 从而＜G,*＞是交换群。

40、设*是集合A上可结合的二元运算，且?a,b?A,若a*b=b*a，则a=b。试证明： （1）?a?A,a*a=a，即a是等幂元； （2） ?a,b?A,a*b*a=a; （3） ?a,b,c?A,a*b*c=a*c。 证明：

（1）?a?A,记b=a*a。因为*是可结合的，故有b*a=(a*a)*a=a*(a*a)=a*b。由已知条件可得a=a*a。 （2）?a,b?A,因为由（1），a*(a*b*a)=(a*a)*(b*a)=a*(b*a), (a*b*a)*a=(a*b)*(a*a)=(a*b)*a=a*(b*a)。 故a*(a*b*a)=(a*b*a)*a，从而a*b*a=a。

（3） ?a,b,c?A,（a*b*c）*（a*c）=（（a*b*c）*a）*c=(a*(b*c)*a)*c 且(a*c)*(a*b*c)=a*(c*(a*b*c))=a*(c*(a*b)*c))。 由（2）可知a*(b*c)*a=a且c*(a*b)*c=c， 故（a*b*c）*（a*c）=(a*(b*c)*a)*c=a*c 且(a*c)*(a*b*c)= a*(c*(a*b)*c))= a*c， 即（a*b*c）*（a*c）=(a*c)*(a*b*c)。 从而由已知条件知，a*b*c=a*c。

41、设是群，作f:G?G,a?a-1。证明：f是G的自同构?G是交换群。 证明：

? 设f 是G的自同构。对?a，b?G，a·b=(b-1·a-1)-1=(f(b) ·f(a))-1=(f(b·a))-1=((b·a)-1)-1=b·a。故

运算·满足交换律 ，即G是可交换群。

?因为当a?b时，a-1?b-1，即f(a)?f(b)，故f是G到G中的一个单一函数。又对?a?G，有f(a-1)=(a-1)-1=a。

故f是G到G上的满函数。从而f是G到G上的自同构。

对?a，b?G，因为G是可交换群，故f(a·b)=(a·b)-1=(b·a)-1=a-1·b-1=f(a)·f(b)。故f满足同态方程。 从而f是G 的自同构。

42、若群的子群满足|G|＝2|H|，则一定是群的正规子群。 证明：

由已知可知，G关于H 有两个不同的左陪集H，H1和两个不同的右陪集H，H2。因为H?H1=?且H?H1=G，H?H2=?且H?H2=G，故H1=G-H=H2。

对?a?G，若a?H，则aH=H,Ha=H。否则因为a?G-H，故aH?H,Ha?H。从而aH=Ha=G-H。故H是G的不变子群。 43、设H和K都 是G的不变子群。证明：H?K也是G 的不变子群。

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证明：

因为H和K都 是G的不变子群，所以H?K是G 的子群。对?a?G，h?H?K，有a·h·a-1?a·H·a-1，·h·a-1?a·K·a-1。因为H和K都 是G的不变子群，所以a·h·a-1?H且a·h·a-1?K。从而a·h·a-1?H?K。故H?K是G 的不变子群。

44、设群G的中心为C（G）={a?G|?x?G,a·x=x·a}。证明C（G）是G的不变子群。 证明：

先证C（G）是G的子群。

?a,b?C（G），对?x?G,有a·x=x·a ，b·x=x·b。故（a·b）·x= a·(b·x)= a·(x·b)=(a·x)·b=(x·a)·b=x·(a·b),

a-1·x=x·a-1。从而a·b，a-1?C（G）。 故C（G）是G 的子群。 再证C（G）是G的不变子群。

?h?C(G)，对?a?G，记b=a·h·a-1。下证b?C(G)。因为h?C(G)，所以b=(a·h) ·a-1=（h·a）·a-1=h·(a·a-1)=h?C(G)。

故C（G）是G的不变子群。

45、设是没有非平凡子群的有限群。试证：G是平凡群或质数阶的循环群。 证明：

若G是平凡群，则结论显然成立。

否则设的阶为n。任取a?G且a?e,记H=（a）(由a生成的G的子群)。显然H?{e}，且G没有非平凡子群，故H=G。从而G一定是循环群，且a是G 的生成元。

若n是合数，则存在大于1 的整数k,m，使得n=mk。记H={e,ak,(ak)2,?,(ak)m-1}，易证H是G 的子群，但1<|H|=m

综上所述，G是平凡群或质数阶的循环群。

46、设H和K都是G 的有限子群，且|H|与|K|互质。试证：H?K={e}。 证明：

用反证法证明。

若H?K?{e}。则H?K是一个元素个数大于1的有限集。 先证H?K也是G的子群，从而也是H和K的子群。

?a,b? H?K,则a,b? H且a,b?K。因为H和K都 是G的子群，故 a·b,a-1? H且a·b,a-1? K。从而a·b?

H?K,a-1? H?K。故H?K是G的子群，从而也是H和K的子群。 由拉格朗日定理可知，|H?K|是|H|和|K|的因子，这与已知矛盾。 47、素数阶循环群的每个非单位元都是生成元。 证明：

设是p阶循环群，p是素数。

对G中任一非单位元a。设a的阶为k,则k?1。

由拉格朗日定理，k是p的正整因子。因为p是素数，故k=p。即a的阶就是p，即群G的阶。故a是G的生成元。

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