a1＋a199
2a100S199199
解析 b100＝b1＋b199＝T199＝299.
2
21.数列?an?的前n项和记为Sn,a1?1,an?1?2Sn?1?n?1?则?an?的通项公式 解：（Ⅰ）由an?1?2Sn?1可得an?2Sn?1?1?n??2，
两式相减得
an?1?an?2an,an?1?3an?n?2?
又a2?2S1?1?3 ∴a2?3a1 故?an?是首项为1，公比为3得等比数列 ∴an?3n?1
22.已知各项都为正数的等比数列{an}中，a2·a4＝4，a1＋a2＋a3＝14，则满足an·an＋1·an＋1
2>9的最大正整数n的值为________．答案 4
2
a4＝4.又a3>0，因解析 设等比数列{an}的公比为q，其中q>0，依题意得a3＝a2·
11
(2)n－1＝24－n，an·an此a3＝a1q＝2，a1＋a2＝a1＋a1q＝12，由此解得q＝2，a1＝8，an＝8×
2
＋1
·an＋2＝2
9－3n
111
9－3n
.由于2＝8>9，an因此要使2>9，只要9－3n≥－3，即n≤4，于是满足an·
－3
1
an＋2>9的最大正整数n的值为4. ＋1·
S1031
23.等比数列{an}的首项为a1＝1，前n项和为Sn，若S5＝32，则公比q等于________．
1
答案 －2
S10－S531－32S1031111
55
解析 因为S5＝32，所以S5＝32＝－32，即q＝(－2)，所以q＝－2.
三、解答题
24.（本小题满分12分）
已知等差数列?an?满足：a3?7，a5?a7?26，?an?的前n项和为Sn． （Ⅰ）求an及Sn； （Ⅱ）令bn=
1(n?N*)，求数列?bn?的前n项和Tn． 2an?11【解析】（Ⅰ）设等差数列?an?的公差为d，因为a3?7，a5?a7?26，所以有
?a1?2d?7，解得a1?3,d?2， ??2a1?10d?262n?1)=2n+1；Sn=3n+所以an?3?（n(n-1)?2=n2+2n。 21111111=?n+1，所以bn=2?(-)，== （Ⅱ）由（Ⅰ）知an?2an?1（2n+1)2?14n(n+1)4nn+1n11111111T?(1-+?+?+-)?(1-)===所以n，
4(n+1)4223nn+14n+1即数列?bn?的前n项和Tn=
n。
4(n+1)25.已知等比数列{an}的各项均为正数，且2a1?3a2?1,a32?9a2a6． （I）求数列{an}的通项公式．
1{}的前n项和． （II）设bn?log3a1?log3a2???log3an，求数列bn2解：
2232（Ⅰ）设数列{an}的公比为q，由a3?9a2a6得a3?9a4所以q?1． 9由条件可知c>0，故q?1． 31． 3由2a1?3a2?1得2a1?3a2q?1，所以a1?故数列{an}的通项式为an=
1． 3n（Ⅱ ）bn?log3a1?log3a2?...?log3an
??(1?2?...?n) n(n?1)??2故
1211????2(?) bnn(n?1)nn?1111111112n??...???2((1?)?(?)?...?(?))?? b1b2bn223nn?1n?1所以数列{}的前n项和为?1bn2n n?1
1111
26.已知{an}是各项均为正数的等比数列，且a1＋a2＝2(a1＋a2)，a3＋a4＋a5＝64(a3＋a4＋1a5)．
(1)求{an}的通项公式；
1
(2)设bn＝(an＋an)2，求数列{bn}的前n项和Tn.
n
解析 (1)设{an}的公比为q，则an＝a1q－1.
由已知，有
??a＋aq＝2?＋?aaq?，?11??1
?aq＋aq＋aq＝64?aq＋aq＋aq?，
1
1
1
1
12
13
14
12131411
?a1q＝2，
6 化简，得??a21q＝64.
又a1>0，故q＝2，a1＝1. 所以an＝2
n－1
2
.
1?11?n－1222(2)由(1)知，bn＝?an＋an?＝an＋an＋2＝4＋4n－1＋2.
1
1－41－4n111
n－1n1n1－
因此，Tn＝(1＋4＋…＋4)＋(1＋4＋…＋4)＋2n＝1－4＋1＋2n＝3(4－4
1－4
n
－n
)＋2n＋1.
27.已知{an}为等比数列，a1?1,a5?256；Sn为等差数列{bn}的前n项和，
b1?2,5S5?2S8.
（1） 求{an}和{bn}的通项公式；（2） 设Tn?a1b1?a2b2??anbn，求Tn. 解：（1） 设{an}的公比为q，由a5=a1q4得q=4
所以an=4n-1.设{ bn }的公差为d，由5S5=2 S8得5(5 b1+10d)=2(8 b1+28d)，
d?33a1??2?3, 222+4·5+42·8+…+4n-1(3n-1),① 所以bn=b1+(n-1)d=3n-1.（2） Tn=1·4Tn=4·2+42·5+43·8+…+4n(3n-1),②
②-①得：3Tn=-2-3(4+42+…+4n)+4n(3n-1) = -2+4(1-4n-1)+4n(3n-1)
=2+(3n-2)·4n∴Tn=（n-
2n2）4+
332Sn12?an?1?n2?n?,n?N*. n3328.设数列?an?的前n项和为Sn.已知a1?1,
(Ⅰ) 求a2的值；
(Ⅱ) 求数列?an?的通项公式；
1117?????. (Ⅲ) 证明:对一切正整数n,有
a1a2an412,又S1?a1?1,所以a2?4；
331322 (Ⅱ) 当n?2时,2Sn?nan?1?n?n?n,
3312322Sn?1??n?1?an??n?1???n?1???n?1?
33122 两式相减得2an?nan?1??n?1?an??3n?3n?1???2n?1??
33aaaa 整理得?n?1?an?nan?1?n?n?1?,即n?1?n?1,又2?1?1
n?1n21【解析】(Ⅰ) 依题意,2S1?a2??1? 故数列?所以
a1?an??是首项为?1,公差为1的等差数列,
1?n?an?1??n?1??1?n,所以an?n2. n1711157?1???1???； (Ⅲ) 当n?1时,；当n?2时,a14a1a244411111???? 当n?3时,,此时 ann2?n?1?nn?1n11111111?11??11?1??1?????1??2?2???2?1???????????????a1a2an434n4?23??34??n?1n? ?1?111717????? 42n4n41117????. 综上,对一切正整数n,有?a1a2an4
2?29.设各项均为正数的数列?an?的前n项和为Sn，满足4Sn?an?1?4n?1,n?N,且
a2,a5,a14构成等比数列．
(1) 证明：a2?4a1?5； (2) 求数列?an?的通项公式； (3) 证明：对一切正整数n，有
1111?????． a1a2a2a3anan?12221.【解析】（1）当n?1时，4a1?a2?5,a2?4a1?5，?an?0?a2?4a1?5
222（2）当n?2时，4Sn?1?an?4?n?1??1，4an?4Sn?4Sn?1?an?1?an?4 22?an?0?an?1?an?2 an?1?an?4an?4??an?2?,
2?当n?2时，?an?是公差d?2的等差数列.
2?a2,a5,a14构成等比数列，?a5?a2?a14，?a2?8??a2??a2?24?，解得a2?3,
22由（1）可知，4a1?a2?5=4,?a1?1
?a2?a1?3?1?2? ?an?是首项a1?1,公差d?2的等差数列.
?数列?an?的通项公式为an?2n?1. （3）
1111111?????????? a1a2a2a3anan?11?33?55?7?2n?1??2n?1?1??1??11??11??11??????1??????????????2??3??35??57??2n?12n?1???
1?1?1???1??.2?2n?1??230.a2,a5是方程x2?12x?27?0的两根, 数列?an?是公差为正的等差数列，数列?bn?的前n项和为Tn,且Tn?1?1bnn?N?. 2??(1)求数列?an?,?bn?的通项公式;
(2)记cn=anbn,求数列?cn?的前n项和Sn.
2.解：(1)由a2?a5?12,a2a5?27.且d?0得a2?3,a5?9 …………… 2分
?d?a5?a2?2,a1?1?an?2n?1n?N? …………… 43??