眼科病床的合理安排
摘要
在医院里就医要排队，这是个非常普遍的问题。对于医院来说，建立一个良好的排队等待接受服务的系统，对于保证医院秩序的正常是很有必要的。
问题一，我们选用了服务强度?、队长Ls、平均等待时间Wq和平均逗留时间Ws8.69＝5.721.52>1，得出单位时间内离开系统的人数少于单位时间内到达的人数，因此，系统的人数会越来越多。
问题二，我们进行了数据的统计分析，得出病床安排规则如下表： 星期 入住病床安排规则（从左到右优先权依次降低） 一，二 外伤、白内障单眼、青光眼和视网膜疾病、白内障双眼 三，四，五 外伤、青光眼和视网膜疾病、白内障双眼、白内障单眼 六，日 外伤、白内障双眼、白内障单眼、青光眼和视网膜疾病 四个指标来对当前病床安排模型进行评价，通过计算服务强度?=??＝
按照此规则得出结果，进行统计分析可得出此时的服务强度???＜?＝1.52，说明此优化模型比医院当前的病床安排规则FCFS好。
8.69?＝=1.117.85?问题三，根据问题二中模型的排队规则，对门诊病人进行入院时间、手术时间、
出院时间进行预测，得出门诊病人的入住时间，可在其门诊时告知大致入住时间。
问题四，由于住院部周六日不安排手术，所以周四、周五的优先级别会发生如下改变，见下表： 星期 入住病床安排规则（从左到右优先权依次降低） 一、二 外伤、白内障单眼、青光眼和视网膜疾病、白内障双眼 三 外伤、青光眼和视网膜疾病、白内障双眼、白内障单眼 四、五、六、日 外伤、白内障双眼、白内障单眼、青光眼和视网膜疾病 按照此规则，得出了医院手术新的时间安排。 问题五，将眼科门诊中可安排的病床首先安排外伤病人住院，然后按比例分配给其他几类病人，建立了非线性规划模型，用Matlab解出按比例分配模型下的平均最短逗留时间，为8.1953天。
关键词 ： 排队论 优先级 排序法 泊松分布 优化模型
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一、问题的背景
医院就医排队是大家都非常熟悉的现象，它以这样或那样的形式出现在我们面前，例如，患者到门诊就诊、到收费处划价、到药房取药、到注射室打针、等待住院等，往往需要排队等待接受某种服务。
现在某医院眼科门诊每天开放，住院部共有病床79张。该医院眼科手术主要分四大类：白内障、视网膜疾病、青光眼和外伤。
白内障手术较简单，而且没有急症。目前该院是每周一、三做白内障手术，此类病人的术前准备时间只需1、2天。做两只眼的病人比做一只眼的要多一些，大约占到60%。如果要做双眼是周一先做一只，周三再做另一只。
外伤疾病通常属于急症，病床有空时立即安排住院，住院后第二天便会安排手术。
其他眼科疾病比较复杂，有各种不同情况，但大致住院以后2-3天内就可以接受手术，主要是术后的观察时间较长。这类疾病手术时间可根据需要安排，一般不安排在周一、周三。由于急症数量较少，这些眼科疾病可不考虑急症。
二、问题的提出与重述
现在该医院眼科手术条件比较充分，在考虑病床安排时可不考虑手术条件的限制，但考虑到手术医生的安排问题，通常情况下白内障手术与其他眼科手术（急症除外）不安排在同一天做。当前该住院部对全体非急症病人是按照FCFS（First come, First serve）规则安排住院，但等待住院病人队列却越来越长，医院方面希望你们能通过数学建模来帮助解决该住院部的病床合理安排问题，以提高对医院资源的有效利用。
请完成以下五个问题：
问题一：试分析确定合理的评价指标体系，用以评价该问题的病床安排模型的优劣。
问题二：试就该住院部当前的情况，建立合理的病床安排模型，以根据已知的第二天拟出院病人数来确定第二天应该安排哪些病人住院。并对你们的模型利用问题一中的指标体系作出评价。
问题三：作为病人，自然希望尽早知道自己大约何时能住院。能否根据当时住院病人及等待住院病人的统计情况，在病人门诊时即告知其大致入住时间区间。
问题四：若该住院部周六、周日不安排手术，请你们重新回答问题二，医院的手术时间安排是否应作出相应调整?
问题五：有人从便于管理的角度提出建议，在一般情形下，医院病床安排可采取使各类病人占用病床的比例大致固定的方案，试就此方案，建立使得所有病人在系统内的平均逗留时间（含等待入院及住院时间）最短的病床比例分配模型。
三、基本假设
1.由于一个城市或任何地区的所有人都被认为是医院的可能“ 顾客”，这样大的数目可以认为是无限的；
2. 一般在日班门诊这段时间内到来的病人不会被拒绝； 3. 病人不会出现久治不愈的状况而长时间占着床位；
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4.如无特殊要求，医生进行手术的时间安排是固定不变的。
四、符号的说明
为了便于描述问题，我们用一些符号来代替问题中涉及的一些基本变量，如表1所示。其他一些变量将在文中陆续说明。
表1 主要符号说明一览表 符号 意义 平均到达率, 即单位时间平均到达的患者数 平均服务率，即单位时间能被服务完的患者数，所以1?就表示一个患者的平均服务时间 ? ? ? Ls 有效的平均到达率?与平均服务率?之比,即?=??(0
五、问题的分析
首先，对该医院眼科门诊病人的到达时间、排队等候时间、安排住院时间、术后恢复时间等进行统计分析，得出相关统计特征量，用于进一步的建模计算；其次，按病人到达间隔和服务时间的经验分布，对照病历实际并结合统计学方法进行检验，确定不同情况下的排队系统模型，最后，根据排队系统的理论分布类型，运用相应的数学计算公式和方法对排队系统进行描述。通过给定的条件建立相应数学模型，进行计算，给出不同情况下病人的平均等待时间，为实际工作提供可靠、科学、有预见性的指导。
题目的第一问要求我们建立适当的评价体系对当前的住院安排模型进行优劣分析，对数据的统计分析后发现该排队系统属于有优先级的排队模型，并且服务时间也是有一定限制的。因此据已知数据对该医院眼科门诊病人的到达时间、排队等候时间、安排住院时间、术后恢复时间等进行统计分析，计算出各个数量指标。
问题二要求优化模型，改进安排住院的规则。利用统计出的术后恢复时间等数据，用改进的模型对目前医院尚未出院的患者以及正在等待的病人进行预测，确定应该安排哪些病人住院。
对于问题三，我们利用问题二所建立的模型进行计算得出病人入住时间。
问题四是在模型二的基础上进行演化，此时周六日不安排手术，服务规则需要进行相应的调整。
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问题五将眼科门诊中可安排的病床首先安排外伤病人住院，然后按比例分配给其他几类病人，可建立非线性规划模型，用Matlab进行求解。
六、问题一的分析与求解
由于该眼科医院所在地区的人员是没有限制的，所以此系统的顾客源是无限的，患者就医到来的方式是一个一个的，间隔时间随机，顾客的到达是相互独立的，就是说，以前的到达情况对以后顾客的到来没有影响。患者任意时刻到达的概率与时间无关的，所以输入过程是平缓的。
评价和优化排队系统，需要通过一定的数量指标来反映。建立排队统模型主要数量指标有四个：服务强度、队长、等待时间与逗留时间。
设在任意时刻t系统中有n个患者的概率为Pn(t)。当系统达到稳定状态后，
Pn(t)趋于平衡且Pn与t无关。此时称系统处于统计平衡状态，并称为统计平衡状态
下的稳态概率Pn＝?1????n，n＝0，1，2, … 。 1. 服务强度
服务强度(?)为有效的平均到达率入与平均服务率?之比,即?=??(0
平均队长（Ls）指系统中的患者（包括排队等候的和正在接受服务的所有患者），若不考虑接受服务的患者，则将系统中排队等待服务的患者数称为队列长（Lq），一般情形下，平均对长Ls（或Lq)越大, 说明服务率越低。
??Ls＝?n?Pn＝＝ Lq＝
1?????n?1??(n?1)?Pn＝Ls－?n?1?＝?Ls
3.平均等待时间与平均逗留时间
平均等待时间（Wq）是一个患者在系统中排队等待的时间，是患者从到达系统时起到开始接受服务时止这一段时间，显然患者希望等待时间越短越好。
平均逗留时间（Ws）指患者在系统中的停留时间（包括等待时间和服务时间），据心理学调查，诊病问题中仅仅等待时间是患者们所关心的。
Wq=Ws-
1?=
LqLs1 Ws== ?????由以上建立的几个指标体系，我们可以对此病床安排模型进行基本的优劣评价。 利用统计学软件计算出模型中的平均到达率?＝8.69和平均服务率?＝5.72，由
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8.69＝1.52>1，说明了单位时间内离开系统的人数少5.72于单位时间内到达的人数，因此，系统的人数会越来越多。
记首次病人信息记录时间2008-7-13为t＝0的时刻，队列长度记为常数S，则t
此可计算出服务强度?=??＝
时刻的队列长度为 Ls(t)＝S+(???)t，Ls(t)是时间t的增函数，即队列长Ls随着时间的增加会越来越长。
T时刻到达的人需要等待的时间Wq=Ls?，因为Ls(t)是时间t的增函数，所以等待时间也越来越长。
综上所述，该排队系统中的人数越来越多，等待时间也越来越长，会导致该系统始终处于高负荷运转状态，但对于等待病人来说，是先到先服务，符合众人排队等待的心理，不容易产生“不公平”的心理。
七、问题二的分析与求解
由已知数据分析知：病人的术后恢复时间是稳定的，为加快病床的周转率，也即尽量缩短术前占用病床的时间，需要尽快进行手术，使?增大。考虑到各类疾病术前所需准备时间以及医院进行各类疾病的时间安排，即：
1外伤属于急症，病床有空时需立即安排住院，住院后第二天并会安排手术，○
所以它的优先级别是最高的；
2白内障双眼一般是周一做一只，周三再做一只，而且白内障单眼则是周一周○
三均可做手术，所以在周六、日白内障双眼、单眼的优先级别为其次。在周一、周二时，白内障单眼的优先级别是除了外伤之外的最高，而双眼则是最低；
3对于青光眼和视网膜疾病等，一般住院以后两到三天内即可接受手术，而其○
术后观察期较长，一般其手术时间不安排在周一和周三。因此，在周三、周四、周五时其优先级别高于白内障手术。
故综上可推测出该眼科医院进行住院安排的规则如下表2： 表2 星期 一，二 三，四，五 六，日 入住病床安排规则（从左到右优先权依次降低） 外伤、白内障单眼、青光眼和视网膜疾病、白内障双眼 外伤、青光眼和视网膜疾病、白内障双眼、白内障单眼 外伤、白内障双眼、白内障单眼、青光眼和视网膜疾病 设已知第二天拟出院病人数为n，并知第二天是星期几，则可根据上表相对应的优先级别来安排入院。假设第二天是星期一，需要安排外伤人员m个。若m＜n，则表示全部安排完外伤人员以后仍有空床，即可依次安排白内障单眼，青光眼和视
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