几何画板辅助高中数学教学
浙江省金华市江南中学 朱胜泉
【摘要】“几何画板”是一个动态讨论和研究数学问题的工具，它可以模拟知识的发生过程，可以设计成一种实验课。在数学学科中，利用“几何画板”辅助教学往往能起到事半功倍的效果。因此“几何画板”对发展学生的思维能力，培养学生的创新精神、探索能力起着不可忽视的作用。 【关键词】几何画板 高中数学 辅助教学
几何画板为数学教学提供了现代化的手段。它能使几何图形产生动态的变化，以揭示图形内在的联系，创设情境使学生“看到”某些概念的形成过程，把抽象概念形象化，从而有利于学生的理解，提高教学效果。几何画板是数形结合方法的有效平台。它还是一个动态讨论和研究数学问题的工具，对发展学生的思维能力，创新能力有着不可忽视的作用。越来越多的教师和学生已经感觉到了几何画板给中学数学带来了一些变化。
1.应用“几何画板”使不容易讲清的数学概念讲清楚
几何画板是一个教学工具，给数学教学提供了现代化的教学手段。以往不容易讲清楚的教学概念适当使用几何画板，可能容易使学生理解，从而提高了教学效果。 解析几何中有些概念容易混淆，需要辨析。椭圆的离心角（下图以OA为终边的角）与旋转角（椭圆的半径与x轴的正半轴所成的角）是学生容易混淆的两个概念。几何画板能动态地显示这两角的关系。如下图，当您缓慢拖动主动点A绕着点O转动时，左上角显示出这两个角的大小都在改变。可以十分清楚地看出：在第一象限时，θ>∠XOM；当A拖动到y轴的正向时，θ=∠XOM=90o;继续拖动θ<∠XOM(A在第二象限)；当A拖动到y轴的负向时，θ=∠XOM=180o;不必继续，一个高二的学生自然知道：θ与∠XOM有四次“相等”，其他都不等；可以用椭圆离心角的范围来表示椭圆弧。
2.用几何画板创设情境，形成概念 OBθ= 50?度∠XOM = 37?度AMyxx数学概念是事物在数量关系和空间形式方面的本质属性，是通过一定量具体的实际例子，对所发现的属性进行抽象概括而成的.利用几何画板提供给学生一些动态的感性材料，呈现事物形成、变化、发展的全过程，凸现感知对象整体和各个局部以及它们之间的联系，便于学生形成清晰的表象，揭示感知对象的本质特征。
例1：教师利用在课前制作好的几何画板画出的
y?ax的图象。给学生观察下图：
然后拖动点A，改变点A的横坐标的大小也就是改变参数a的大小，这时图象跟着变化起来。（适
当请学生注意a?1时的图像正好是一条直线）
需要时，还可以选中函数图象，单击显示菜单的追踪对象（或者按Ctrl+T）追踪它，然后再拖动点A,观察随a的变化图象分布情况。
(a?1,y?a)追踪图像 (0?a?1,y?a)追踪图像
让学生通过动态的变换效果，从中总结出一般性的结论，再通过相关的习题强化训练，以进一步在视觉上加深对结论的印象。这样，可以利用“几何画板”制作的课件进行拖拉演示，使学生通过想象和“几何画板”制作课件的演示，使很难理解的东西形象化、具体化，从而培养学生的想象能力。
利用几何画板画出函数图象，并利用跟踪功能感知、体会函数图象的形成过程，归纳函数图象的定义。几何画板动态地展示了函数实地看到函数的图象实质。
3.用几何画板改善认知环境；激发学生的学习兴趣，提高学习效率
xxy?ax（a?0,且a?1）的图象的形成过程，学生可以真
计算机的交互性使学生有参与的机会，能调动学生的积极性和学习兴趣，使其学习起来轻松愉快。
例2：我们在进行“三角函数线”的教学时这样操作(如图1)：
首先要求学生测算出∠XOP的正弦、余弦、正切、余切函数值，接着再测算出点P、M、T、S的坐标，并将这些数据动态地展现在屏幕上。
其次拖动点P(也可拖动点A)，让学生观察。此时学生即可发现：无论怎样改变点P的位置，yP、xM、yT、xS均分别等于∠XOP的正弦、余弦、正切、函数值。
这样为培养学生的观察、想象、归纳等能力创设了极好的“情景”，改善了认知环境，增强了教学的自主性和学生的参与性。 4.应用几何画板变静态为动态
应用《几何画板》将图形动起来，就可以使图形中各元素之间的位置关系和度量关系惟妙惟肖，使学生从各个不同的角度去观察图形。这样，不仅可以帮助学生理解和接受立体几何知识，还可以让学生的想象力和创造力得到充分发挥。
在讲二面角的定义时（如图2），当拖动面也随之转动，即改变二面角的大小，图形的利于帮助学生建立空间观念和空间想象力。
在讲棱台的概念时，可以演示由棱锥分割更可以让棱锥和棱台都转动起来，使学生在直
图2 A A 点A时，点A所在的半平直观地变动有
成棱台的过程（如图3），观掌握棱台的定义，并通
过棱台与棱锥的关系由棱锥的性质得出棱台的性质的同时，让学生欣赏到数学的美，激发学生学习数
í?3í?4学的兴趣。
在讲锥体的体积时，可以演示将三棱柱分割成三个体积相等的三棱锥的过程（如图4），既避免了学生空洞的想象而难以理解，又锻炼了学生用分割几何体的方法解决问题的能力。
在用祖暅原理推导球的体积时，运用动画和轨迹功能作图5，当拖动点O时，平行于桌面的平面截球
和柱锥所得截面也相应地变动，直观美丽的画面在学生学得知识的同时，给人以美的感受，创建一个轻松、乐学的氛围。
5.应用几何画板开展“数形结合”，变抽象为形象
Oí?5数学家华罗庚说过：“数缺少形时少直觉，形缺少数时难入微”。“数形结合”是学习数学的重要方法，用图形解释抽象的数学现象形象、直观。
在数学的学习过程中，有些知识太抽象，使学生只记住一些理论、符号、公式，而对具体事实及事物的本质特征没有完全感知，使感性与理性脱节。
数学的抽象性往往是困扰学生学习数学的一大障碍，如何变抽象为形象，也一直是数学学科与信息技术整合的主要内容之一。几何画板强大的计算、作图功能以及个人电脑屏幕的的大尺寸、高分辨率为一些抽象的数学问题提供了直观验证的可能，成为帮助学生克服数学学习抽象性的有力工具。
例3：2006年浦东新区高考模拟卷（理）最后一题第（3）题：当0?a?1时，就函数y?ax与y?logax的图像的交点情况提出你的问题，并加以解决。
（说明：①函数f(x)?xlnx有如下性质：在区间(0,]上单调递减，在区间[,1)上单调递增．解题过程中可以利用；②将根据提出和解决问题的不同层次区别给分。）
本题的结论是：当a?(0,e?e)时，函数y?ax与y?logax的图像有3个交点；当a?[e?e,1)时，函数y?ax与
y?logax的图像有1个交点（具体解答从略）但在课后，虽然学生承认结论的成立，但很多学生还是表现
1e1e出难以信服的表情。有的同学虽然借助计算器计算有关数据得到了一定的直观论证，但始终难以将
a?(0,e?e)时函数y?ax与y?logax的图像的3个交点直观的画出来，迫切地吵着要我画出直观图。究其原因，主要是手工画图误差较大，即使TI图形计算器，由于分辨率不高也不能达到很好的展示效果。 为此，笔者借助几何画板自制课件： ①先作出点(e?e,0)供参照；
②作连接原点和单位点的线段，在此线段上任取一点E，计算E点横坐标xE； ③利用“图表”菜单“绘制函数”功能画出函数
图6 图7 图8
f(x)?(xE) 和g(x)?logxEx的图像；
④拖动点E控制两个函数的底xE在?0,1?内递减变化。
直观地演示了当xE?(e?e,1)时的1个交点（如图6）、到当xE?e?e时的一个切点（如图7）、直到xE?(0,e?e)时的3个交点（如图8）的整个过程，有效地验证了用数学方法解得的结论，同学们都露出了恍然大悟的微笑。
6．用几何画板能够揭示知识之间的内在联系
静态的图形、图像使原本相互联系的关系可能割裂开来，不易揭示知识之间的内在联系，可能使学生只注意事物的局部而忽视整体，通过几何画板的演示可以克服这一缺陷。
例4：在讲授函数y＝Asin(ωx+φ)+b的图像时，要用几个课时的时间分别对A、ω、φ、k的不同取值做出图象，然后再“观察”总结，没有动态的演示，没有更多的比较、更多的探索。y＝Asin(ωx十φ)中
x的ω变化时是一个曲线族。一般的传统教学是取有限的几个ω值，在同一坐标系中分别作出它们的图像，然后进行归纳。现在，利用《几何画板》(如图2)，只要学生用鼠标拖动A、ω、φ，改变其中任意一个值，就可以看到函数图像连续变化的过程。 7.应用几何画板启发学生思维能力
运用几何画板分辨实质，理解数学概念；突破难点，启发学生思维。对容易混淆的数学概念使用计算机来认知、辨析就会变得更加清晰，有助于学生区分及正确认识和理解。
推证三棱锥的体积公式是高中立体几何的一个难点，没有实物、没有模型而凭空想象，是空间想象中最难的一种，是最高的思维境界。在教学的时候，如果给出实物让学生去做实验，效果会好些；但如果仅有实物，则只可观察外形，对于内部结构，以及如何用图形来表示等问题都不是很容易解决的。
利用几何画板就可以给学生找出解决问题的有效途径(如图3)，只要双击[展开]、[复原]等按扭，或者拖动控点就能改变三棱柱的外形，以及对图形进行分割、拼凑，既形象又直观。在这一过程中，三棱锥与三棱柱的关系被几何画板淋漓尽致地动态演示出来了。给学生以非常直观的印象，达到了过目不忘、记忆