福建省福建师大附中2013届5月高考三轮模拟试卷
数学理科试题
注意事项：
1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答，答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、准考证号、姓名；
2．本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟．
参考公式：
样本数据x1，x2，?，xn的标准差 s?1?222x1?x???x2?x?????xn?x?? ??n?锥体体积公式： 1V?Sh，其中S为底面面积，h为高 3其中x为样本平均数 柱体体积公式 V?Sh 其中S为底面面积，h为高 球的表面积、体积公式 S?4?R2，V?43?R 3其中R为球的半径 第Ⅰ卷 （选择题 共50分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目要求的，把答案填在答题卡的相应位置．） 1．复数z?1?i（是虚数单位）在复平面内对应的点是位于（ ） i B．第二象限 C．第三象限
D．第四象限
A．第一象限 2．设a?R，则“a?4”是“直线l1:ax?2y?3?0与直线l2:2x?y?a?0平行”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知集合M?xlog2(x?1)?2，N?xa?x?6 ,且M?N??2,b?,则a?b?（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
?????x?2y?0,?4．设z=x+y，其中x，y满足?x?y?0,当Z的最大值为6时，k的值为（ ）
?0?x?k,? A.3 B.4 C.5 D.6
5．阅读如下图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入m?72,n?30，则输出n的值为（ ） A. 12
B. 6 C. 3 D. 0 开始 输入正整数m, n 6．?ABC的三个内角A,B,C对应的边分别a,b,c，且acosC,bcosB,ccosA成等差数列，则角B等于（ ） A .300
B. 600
D. 1200
n = r 求m除以n的余数r m = n C. 900 7．设a??r = 0? ?2cosx?sinxdx，则二项式???x??0?3a??x?6是否输出n 结束 展开式中的x项的系数为（ ）
A .?20 B. 20 第5题图 C.?160 D. 160
D18.如下图所示，在棱长为2的正方体ABCD?A1B1C1D1内（含正方体表面）任取一点M，则AA1?AM?1的概率p?（ ） A1A. MDABC1B1C3111 B. C. D. 42489．已知平面上的线段及点P，在上任取一点Q，线段PQ长度的最小值称为点P到线段的距离，记作d(P,l)．设是长为2的线段，点集D?{P|d(P,l)?1}所表示图形的面积为（ ）
A. 第8题图
? B. 2? C. 2?? D. 4??
10．如下图所示，有三根针和套在一根针上的n个金属片，按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上。
（1） 每次只能移动一个金属片； 2 3 1 （2） 在每次移动过程中，每根针上较大的金属片不能
放在较小的金属片上面。
若将n个金属片从1号针移到3号针最少需要移动的次数记为f(n)，则f(5)=（ ）
A. 33 B. 31 C.17 D. 15
第10题图
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置． 11．在样本频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其它10个长方形的面积和的
1，且样本容量为160，则中间一组的频数为 4x2y2??1的焦距为8，则m?
12.在平面直角坐标系Oxy中，若双曲线mm2?413.如图，矩形AnBnCnDn的一边AnBn在x轴上，另外两个顶点Cn,Dn在函数
f?x??x?1(x?0)的图象上.若点Bn的坐标为?n,0?(n?2,且 n?N*)，记矩形 xAnBnCnDn的周长为an，则a2?a3???a10? 14．已知某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为
1 y 2 1 1
DnCn正视图 2 侧视图 第14题图 2 第13题图 俯视图 15.我国齐梁时代的数学家祖暅（公元5-6世纪）提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异．”这句话的意思是：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任何平面所截，如果截得的两个截面的面积总是相等，那么这两个几何体的体积相等． 设：由曲线x?4y和直线x?4，y?0所围成的平面图形，绕y轴旋转一周所得到的旋转体为?1；由同时满足x?0，x?y?16，x?(y?2)?4，x?(y?2)?4的点(x,y)构成的平面图形,绕y轴旋转一周所得到的旋转体为?2.根据祖暅原理等知识，通过考察?2可以得到?1的体积为 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答写在答题卡相位置，应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．(本小题满分13分)
2222222OAnBnx?????O已知为坐标原点，对于函数f(x)?asinx?bcosx，称向量OM?(a,b)为函数f(x)?????的伴随向量，同时称函数f(x)为向量OM的伴随函数．
?????????（Ⅰ）设函数g(x)?sin(?x)?2cos??x?，试求g(x)的伴随向量OM的模；
2?2??????（Ⅱ）记ON?(1,3)的伴随函数为h(x)，求使得关于x的方程h(x)?t?0在[0,]内
2恒有两个不相等实数解的实数的取值范围．xKb 1.Co m
17．（本小题满分13分）
某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满300元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下：
奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球．顾客不放回的每次摸出1个球，若摸到黑球则停止摸奖，否则就要将奖盒中的球全部摸出才停止．规定摸到红球奖励10元，摸到白球或黄球奖励5元，摸到黑球不奖励． （Ⅰ）求1名顾客摸球3次停止摸奖的概率；
（Ⅱ）记X为1名顾客摸奖获得的奖金数额，求随机变量X的分布列和数学期望．
18．（本小题满分13分）
如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上除A、B外的一个动点，DC垂直于半圆O所在的平面， DC∥EB，DC?EB，AB?4，tan?EAB?⑴证明：平面ADE?平面ACD； ⑵当三棱锥C?ADE体积最大时，求二面 角D?AE?B的余弦值．
19．（本小题满分13分）
AD1． 4CO?OEBx2y2??1． 已知圆O:x?y?34，椭圆C:25922（Ⅰ）若点P在圆O上，线段OP的垂直平分线经过椭圆的右焦点，求点P的横坐标； （Ⅱ）现有如下真命题：
x2y2“过圆x?y?5?3上任意一点Q(m,n)作椭圆2?2?1的两条切线，则这两条
532222切线互相垂直”；
x2y2“过圆x?y?4?7上任意一点Q(m,n)作椭圆2?2?1的两条切线，则这两条
472222切线互相垂直”．
据此,写出一般结论，并加以证明．
20．（本小题满分14分）已知函数f(x)??x?x?bx，g(x)?alnx?x（a?0） （1）若函数f(x)存在极值点，求实数b的取值范围； （2）求函数g(x)的单调区间；
32?f(x),x?1（3）当b?0且a?0时，令F(x)??，P(x1,F(x1))，Q(x2,F(x2))为曲
g(x)?x,x?1?线y=F(x)上的两动点，O为坐标原点，能否使得?POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且斜边中点在y轴上？请说明理由。
21．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题做答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．
（1）(本小题满分7分)选修4－2：矩阵与变换
?2?a2?有一个属于特征值1的特征向量
. ???????1b?1???? (Ⅰ) 求矩阵A；
1?1? (Ⅱ) 若矩阵B=??01?，求直线x?y?1?0先在矩阵A，再在矩阵B的对应变换作用下??的像的方程. （2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程．
已知矩阵A=???x??3t?2,?5已知曲线C的极坐标方程是??2sin?，直线的参数方程是?（为参数）．
4?y?t5?（Ⅰ）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）设直线与x轴的交点是M,N是曲线C上一动点,求MN的最大值. (3)（本小题满分7分）选修4?5：不等式选讲
（I）试证明柯西不等式：a?b?22??x2?y2??ax?by?1?2?m,n,a,b?R?
222（II）已知x?y?2，且x?y，求
?x?y?2?1?x?y?的最小值．