福建省福建师大附中2013届5月高考三轮模拟试卷
数学理科试题参考答案
1-5 DCDAB 6-10 BCADB 11、32 12、3 13、216 14．
16．解：（Ⅰ）∵g(x)?sin(10 15. 32? 3?????∴OM?(2,1)． ?????????? 4分
?????故OM?22?12?5. ????????? 5分
（Ⅱ）由已知可得h(x)?sinx?3cosx?2sin(x?∵0?x??????x)?2cos??x??2sinx?cosx， ??? 2分 2?2??3)，??????7分 ?2336故h(x)??1,2?. ????????? 9分 ∵当x??0,， ∴
??x?????，w W w . x K b 1.c o M ???时，函数h(x)单调递增，且h(x)??3,2?； ????6?????当x??,?时，函数h(x)单调递减，且h(x)??1,2?. ?62?∴使得关于x的方程h(x)?t?0在[0,值范围为t??3,2． ? 13分
?2]内恒有两个不相等实数解的实数的取
?? 17．（Ⅰ）解：设“1名顾客摸球3次停止摸奖”为事件A，
2A31则 P(A)?3?， A441． ??????4分 4（Ⅱ）解：随机变量X的所有取值为0,5,10,15,20． ??????5分
1A21P(X?0)?， P(X?5)?2， ?4A264故1名顾客摸球3次停止摸奖的概率为2C11A21122?A2P(X?10)?2?3?， P(X?15)??， 3A4A46A46A31P(X?20)?3?． ??????10分
A444所以，随机变量X的分布列为:
X 0 5 10 15 20 P 1 41 61 61 61 4 ???11分
11111EX?0??5??10??15??20??10． ??????13分
4666418．（Ⅰ）证明：因为AB是直径，所以BC?AC ??????1分， 因为CD?平面ABC，所以CD?BC ??????2分， 因为CD?AC?C，所以BC?平面ACD ??????3分
因为CD//BE， CD?BE，所以BCDE是平行四边形，BC//DE，所以DE?平面ACD ??????4分， 因为DE?平面ADE，所以平面ADE?平面ACD ??????5分 1（Ⅱ）依题意，EB?AB?tan?EAB?4??1 ??????6分， 4111由（Ⅰ）知VC?ADE?VE?ACD??S?ACD?DE???AC?CD?DE 3321114??AC?BC??(AC2?BC2)??AB2?，当且仅当AC?BC?22612123时等号成立 ??????8分 如图所示，建立空间直角坐标系，则D(0,0,1)，E(0,22,1)，A(22,0,0)B(0,22,0)，
则
????DA?(22,0,?1,) ????????9分
?????????n1?DE?0z 设面DAE的法向量为n1?(x,y,z)，?????，?D??n1?DA?0即????AB?(?22,22,0)，
????BE?(0,0,1)，????DE?(0,22,0)，
??22y?0???22x?z?0??n1?(1,0,22)， Co EAB????O设面ABE的法向量为n2?(x,y,z)，
y ????? x??n2?BE?0，即????????n2?AB?0???z?0， ?n2?(1,1,0)?y?0???22x?22????n1?n212?cosn1,n2????? ?????12分
62?9n1n2??可以判断n1,n2与二面角D?AE?B的平面角互补?二面角D?AE?B的余弦值为
????????10分
?2。 ????????13分 619. 解法一：
（Ⅰ）设点P(x0,y0)，则x02?y02?34， （1） ????????1分 设线段OP的垂直平分线与OP相交于点M，则
x0y0,)，??2分 22x2y2椭圆C:??1的右焦点F(4,0)， ??????3分
259y0y02?0QMF?OP,?kOP?kMF??1，? ???1，
xx00?42?y02?x02?8x0?0， （2）??????????4分 1717由（1），（2），解得x0? ，?点P的横坐标为． ?????5分 44M(（Ⅱ）一般结论为：
x2y2“过圆x?y?a?b上任意一点Q(m,n)作椭圆2?2?1的两条切线，则这两条切线ab2222互相垂直．” ???????????6分
证明如下：
x2y2（ⅰ）当过点Q与椭圆2?2?1相切的一条切线的斜率 ab不存在时，此时切线方程为x??a，w W w .X k b 1.c O m Q点Q在圆x2?y2?a2?b2上 ，?Q(?a,?b)， x2y2?直线y??b恰好为过点Q与椭圆2?2?1相切的另一
ab条切线 ?两切线互相垂直．????????????7分
x2y2（ⅱ）当过点Q(m,n)与椭圆2?2?1相切的切线的斜率存在时，
ab可设切线方程为y?n?k(x?m)， ?x2y2?1,2??由?a2b2得 b2x2?a2?k(x?m)?n??a2b2?0， ?y?n?k(x?m),?整理得(b2?a2k2)x2?2a2k?n?km?x?a2(n?km)2?a2b2?0，?????8分 Q直线与椭圆相切， ???4a4k2(n?km)2?4(b2?a2k2)[a2(n?km)2?a2b2]?0，
整理得m2?a2k2?2mnk?n2?b2?0，?????????9分
????n2?b2， ?????????10分 ?k1k2?22m?a2222 ?点Q(m,n)在圆x?y?a?b上，?m2?n2?a2?b2， ?m2?a2?b2?n2，?k1k2??1，?两切线互相垂直，
综上所述，命题成立．???????????????????13分
解法二：
（Ⅰ）设点P(x0,y0)，则x02?y02?34， （1）???????????1分
x2y2椭圆C:??1的右焦点F(4,0)，????????????2分
259Q点F在线段OP的垂直平分线上， ?PF?OF，
?(x0?4)2?(y0?0)2?42 ， ?x02?8x0?y02?0， （2）??4分
1717由（1），（2），解得x0?， ?点P的横坐标为．?????5分
44（Ⅱ）同解法一．
2220. 解：（Ⅰ）f?(x)??3x?2x?b，若f(x)存在极值点，则f?(x)??3x?2x?b?0有两个不相等实数根。所以??4?12b?0， ?????2分
1解得b?? ?????3分 3aa?x(Ⅱ) g?(x)??1? ?????4分
xx当a?0时，?a?0，函数g(x)的单调递增区间为?0,???；?????5分
当a?0时，?a?0，函数g(x)的单调递减区间为?0,?a?，单调递增区间为??a,???。 ?????7分
??x3?x,x?1,假设使得?POQ是以O为直角顶点的直（Ⅲ） 当b?0且a?0时，F(x)???alnx,x?1????????角三角形，且斜边中点在y轴上。则OP?OQ?0且x1?x2?0。?????8分
????????32不妨设x1?t?0。故P(t,F(t))，则Q(?t,t?t)。OP?OQ??t2?F(t)(t3?t2)?0，(*)该方程有解
??????????????????9分
当0?t?1时，则F(t)??t3?t2，代入方程(*)得?t?(?t?t)(t?t)?0即
23232t4?t2?1?0，而此方程无实数解； ??????????10分
????????????????当t?1时，OP?(1,0),OQ?(?1,2)则OP?OQ?0； ????11分
当t?1时，则F(t)?alnt，代入方程(*)得?t?alnt(t?t)?0即
2321?(t?1)lnt， ?????????????12分 a1设h(x)?(x?1)lnx(x?1)，则h?(x)?lnx??1?0在?1,???上恒成立。?h(x)在?1,???x上单调递增，从而h(x)?h(1)?0，则值域为?0,???。 ?当a?0时，方程
1?(t?1)lnt有解，即方程(*)有解。????13分 a综上所述，对任意给定的正实数a，曲线上总存在P,Q两点，使得?POQ是以O为直角顶点
的直角三角形，且斜边中点在y轴上。????????????14分 21．（1）【解析】(Ⅰ)由已知得???2a?2?2，?a2??2??2?，所以 ????2分 ??????1????????2?b??1，?1b???1???1??a?2，22? 解得? 故A=??13?. ????????????????????3分
???b?3，
(Ⅱ) BA=??1?1??22??1?1???13?=??，因为矩阵BA 所对应的线性变换将直线变成直线01?????13?（或点），所以可取直线x?y?1?0上的两点（0，1），（-1，2）， ????????????????4分
?1?1??0??1??1?1??0???1?（0，1），（-1，2）在矩阵A所对应的???????，???????，由得：
?13??1???3??13??1???1?线性变换下的像是点（1，-3），（-1，-1） ???????????6分 从而直线x?y?1?0在矩阵BA所对应的线性变换下的像的方程为
x?y?2?0.????7分
（2）解：（Ⅰ）曲线C的极坐标方程可化为?2?2?sin?， 又x2?y2??2,x??cos?,y??sin?,
所以曲线C的直角坐标方程为x2?y2?2y?0 ???????3分 （Ⅱ）将直线l的参数方程化为直角坐标方程,得y??4(x?2),????4分 3 令y?0,得x?2,即M点的坐标为(2,0). 又曲线C为圆，圆C的圆心坐标为(0,1)， 半径r?1，则MC?5,????????????????????6分 所以MN≤MC?r?5?1.即MN的最大值为5?1????????7分 （3）（Ⅰ）证明：左边=ax?ay?bx?by, 右边=ax?2abxy?by, 左边?右边?ay?bx?2abxy?(ay?bx)?0 , ??????2分 ?左边?右边 , 命题得证 . ?????????3分
22222222222222222u?vu?v, ,y?222222 ?x?y?2, ?(u?v)?(u?v)?8 , ?u2?v2?4 , ?????????4分
11 由柯西不等式得：(2?2)(u2?v2)?4, ?????????5分
uv当且仅当u?v?2，即x??2,y?0，或x?,0y??2时???6分
11 的最小值是1 . ????????7分 ?22(x?y)(x?y)（Ⅱ）令u?x?y,v?x?y，则x?解法2：?x?y?2,??x?y???x?y??4 ,
222211?22???x?y???x?y????4, ??????4分 22?(x?y)(x?y)?????11??1， ?????????5分
(x?y)2(x?y)2
当且仅当x??2,y?0，或x?0,y??2时 ???????6分
11的最小值是1. ??????7分 ?(x?y)2(x?y)2
X|k | B| 1 . c|O |m