简答题（每题5分，共15分）。
1．请写出达朗伯方程及其推迟势的解．
2．当你接受无线电讯号时，感到讯号大小与距离和方向有关，这是为什
么？
3．请写出相对论中能量、动量的表达式以及能量、动量和静止质量的关
系式。
证明题（共15分）。
当两种绝缘介质的分界面上不带面电荷时，电力线的曲折满足：
tan?2tan?1??2?1，其中?1和?2分别为两种介质的介电常数，?1和?2分别为界面两
侧电力线与法线的夹角。（15分） 四. 综合题（共55分）。
1．平行板电容器内有两层介质，它们的厚度分别为l1和l2，介电常数为?1和
?2，今在两板上接上电动势为U的电池，若介质是漏电的，电导率分别为?1和?2，当电流达到稳恒时，求电容器两板上的自由电荷面密度?f和介质分界面上的自由电荷面密度?f。（15分）
2．介电常数为?的均匀介质中有均匀场强为E0，求介质中球形空腔内的电场（分离变量法）。（15分）
?3．一对无限大平行的理想导体板，相距为d，电磁波沿平行于板面的z轴方向传播，设波在x方向是均匀的，求可能传播的波型和相应的截止频率．（15分）
4．一把直尺相对于?坐标系静止，直尺与x轴夹角为?，今有一观察者以速度v沿x轴运动，他看到直尺与x轴的夹角?'有何变化？（10分） 二、简答题
?22??1???1?A22?????1、达朗伯方程：?A?2 ???j0222c?t?0c?t???r?j?x?,t????c??dV? , ??x,t??0r4?推迟势的解：A?x,t?????04???x?,t??????r??c?rdV?
?2、由于电磁辐射的平均能流密度为S??2??P32??0cR232?22sin?n，正比于sin?，反比于
2R，因此接收无线电讯号时，会感到讯号大小与大小和方向有关。
3、能量：W?m0c1?u222c2；动量：P??Wc22m01?u2???iW??u,ic???P,?；能量、动量2c??c和静止质量的关系为：P?
三、证明：如图所示
?E1??m0c
22?1??1?2E2 在分界面处，由边值关系可得：
切线方向 E1t?E2t （1） 法线方向 D1n?D2n （2）
??又 D??E （3）
由（1）得：
E1sin?1?E2sin?2 （4） 由（2）（3）得：
?1E1cos?1??2E2cos?2 （5） 由（4）（5）两式可得：
tan?2? ?2 证毕。
tan?1?1四、综合题 1、 解：如图所示，
?由电流稳定时，??j?0，则介质分界
?1?D1l1面上有 j1n?j2n，即： ?1E1n??2E2n , E2n???由于E与n方向一致，
???1?? ?E2?E1 , E1?E1n
?1?2?2E1n
?D2l2?2又由 U????E?dl????E1?dl?l1???E2?dl?E1l1?E2l2
l2 ?E1l1??1?2?E1l2
?E1?l1?U?2U?2l1??1l2?1?2
l2由于均匀介质
?? ?D1??1E1??1?2U?2l1??1l2?n
???1?E1? D2??2E2??2?2?1U?2l1??1l2?2?n
电容器上板面自由面电荷密度为： ?f1?D1n?0??1?2U?2l1??1l2
下板面的为： ?f1?0?D2n???2?1U?2l1??1l2
介质分界面上自由面电荷密度为： ?f3?D2n?D1n??2?1U?2l1??1l2??1?2U?2l1??1l2?U??2?1??1?2??2l1??1l2
?2、解：如图所示，取E0方向为z轴方向。
由题意知，球内外均满足 ?2??0 (1) 又轴对称，则 ?1? ?2?R0 ?E0 1 2 ?z
?[anrPn(cos?)?nnbnrn?1Pn(cos?)] (r?R0) (2)
?[cnrPn(cos?)?nndnrn?1Pn(cos?)] (r?R0) (3)
当r?0 ?1有限，则 bn?0 ?1??annrPn(cos?) (4)
n当r?? ?2??E0rcos? ?2??E0rcos???ndnrn?1Pn(cos?) (5)
在介质球面r?R0上有边值关系 ?1??2 ???2?rr?R0 (6)
(7)
??0??1?rr?R0将(4)、(5)代入(6)、(7)中解得 ?1??3?E0rcos? (8)
y?0?2? ?2??E0rcos???0??E0R0cos??0?2?r23x
b xo x
球腔内的电场强度为：
? E1????1?3??E0
?0?2?3、解：
由亥姆霍茨方程：
??2 ?E?kE?0 (1)
2根据题意kx?0，场与x无关。可设场为 E(y,z,t)?E(y)ei(k?2dE(y)dy2??zz??t) (2)
将(2)代入(1)中，得振幅满足的亥姆霍茨方程为
??kE(y)?0 （3）
2y分量通解为
E(y)?Acoskyy?Bsinkyy 利用y?0，b 边界条件 Ex?Ez?0，得：Ex?A1sinkyyei(kzz??t)?Ey?y?0 (4)
Ey?A2coskyye Ez?A3sinkyye其中ky?m?bi(kzz??t)i(kzz??t) (5)
m?0,1,2? (6)
而 kz?k2?ky?2(?c)?(2m?b) (7)
2由此得截止频率为
m?b ?c?c (8)
??由于此波型(5)满足??E?0。因此A1、A2、A3不独立，将(5)中三式代入??E?0中得
?A2ky?iA3kz?0，即 A2?ikzkyA3 (9)
?4、解：如图所示，设观察者的坐标系为??，根据运动尺度缩短，x方向上，在??坐标系中，直尺的长度为：
2 l??lv2xx1?c2?lcos?1?vc2 而?y方向上，在??坐标系中，直尺的长度为：
l?y?ly?lsin? 则
tan???l?yl?x ?lsin?2?tan?lcos?1?vc21?v2c2
?y? ?y???lv?xx?