该努力训练，提高自身的能力。
4概率论在博弈学中的运用
博弈学中概率论运用的十分广泛，同样也起着十分重要的作用。
4.1赌本分配问题
例7.甲，乙两个赌徒在每一局的获胜的概率都是1/2。两人约定谁先赢得一定的局数就能得到全部的赌本，但是赌博在中途因外来因素被打断了，请问在以下各种情况下，应如何合理分配赌本：
（1）甲，乙两个赌徒都各需赢k局才能获胜；
（2）甲赌徒还需赢2局才能获胜，乙赌徒还需赢3局才能获胜； （3）甲赌徒还需赢n局才能获胜，乙赌徒还需赢m局才能获胜[7]。 解:为了表示赌局的公平性，合理分配的赌注，就要按照甲乙两人最终获胜的概率大小来分赌本。
（1）由于在这种情况下，甲乙两人都需要赢k局才能获胜，而且每一局甲乙两人的赢率是一样的，甲乙两人所处的地位是对称的，所以甲乙两人最终获胜的概率都是1/2，甲获得全部赌本的1/2，乙获得全部赌本的1/2。
（2）甲赌徒还需要再赢2局，乙赌徒还需要再赢3局，那么最多再进行4局就能够分出胜负，设Ai表示如果再继续赌下去的第i局中为甲获胜，i=1，2，3，4，则甲最终获胜的概率P1=P(A1A2)+P(A1A2 A3)+P(A1A2A3)+P(A1A2A3A4)+P
（A1A2A3A4）+P（A1A2A3A4)=（1/2）2+2×(1/2)3+3×(1/2)4=11/16
所以甲赌徒最终获胜的概率为11/16，乙赌徒获胜的概率为5/16，赌本的分配应当为甲分得全部赌本的11/16，乙分得全部赌本的5/16。
（3）甲赌徒还需要赢n局，乙赌徒还需要赢m局，那么最多再赌n+m-1局必分胜负，则存在有2n?m?1种可能的情况，如果甲最终获胜了:那么在这n+m-1局种甲赢
1m?1了n局，那么乙最多只能赢m-1局，则共有C0n?m?1+Cn?m?1+??+Cn?m?1种情况，设
1m?1 a=C0+C+??+Cn?m?1n?m?1n?m?1
b=C
mn?m?1+C
m?1n?m?1+??+C
n?m?1n?m?1
[8]
a+b=2
n?m?1 —6—
则甲最终获胜的概率为P2=
a2n?m?1 乙最终获胜的概率为P3=
b2n?m?1
根据甲乙赢的概率来公平分赌本的话，所以甲得全部赌本的a/2n?m?1，乙得全部赌本b/2n?m?1。 4.2赌博中的庄家盈利
赌博中庄家常常给赌徒制造一种幻觉性心理，让赌徒觉得自己有很大的赢率，实际上这种心理是不切实际的。可以通过概率的方法来解释这一现象的不实际性。
例8．新年前夕，人们采办年货的时候，总会有一些人摆出小赌摊，这个赌摊的主人准备了一个红色的袋子，袋子从外面是看不到里面的，赌摊的主人准备了8个黑色的小球和8个白色的小球，将这些球都放入袋子里面，并规定是这样的，想要来尝试的人需要交1元钱，然后从袋子里面摸出5个小球。如果摸到的是5个黑色小球奖励20元，如果摸到的是4个黑色的小球就奖励2元，如果摸到的有3个白子则赌摊的主人会送你一个价值5角的新春“福”字，如果摸到的是其他的，主人也会送你一句新春祝福。那么
（1） 摸到能够奖励20元的小球的概率有多少呢？ （2） 能获得2元钱的概率有多少呢？
（3） 如果每天有1000人来到这个赌摊这里摸球，赌摊的主人可以得到多少钱
的收益呢？
5解:一共有16个小球，从这16个小球中间摸出5个小球的会出现的情况有C16种。5（1）其中摸出的球中5个均是白球的可能情况数为C8，由此可以得出任意摸出的555个小球为白球的概率为C8/ C16?0.0128，也就是说赢得20元的概率不到2%。
41（2）其中摸出5个球中有4个白球和1个黑球的可能性为C8C8种。那么任意摸415出的5个小球中有4个白球1个黑球的概率为C8C8/ C16?0.1282，也就是说，赢得
2元的概率为12.82%[9]。
32（3）任意摸出的5个小球中有3个白球，2个黑球的可能性为C8C8，则可以换325到新春“福”字的概率为C8C8/ C16?0.3590。如果每天有1000次参与这个赌博，
那么大约有13个人可以获得20元，有128个人可以获得2元，有359可以获得“福”
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字，也就是价值5角，也就是说赌摊的主人要支付的钱为695.5元。但是这1000个人用于尝试的钱为1000元，那么主人可以净赚300多元，可见，根据概率的方法计算，赌博中的庄家是一定会赢利的，这也说明了赌博是一种欺诈的行为。
5概率论在密码学中的运用
随着电脑的普及，电子文件所占的比重越来越大，在广泛使用的同时，怎样保证其安全性和可靠性呢？这就出现了常见的加密文件。加密文件中密码的存在极大的加强了文件的安全性，采用加密措施的文件，其被破译出来的可能性很小。这一点可以通过概率计算的方法加以验证。
例9：某加密文件的密钥长度为10，其中每一位的密钥可能为26个英文字母中的任意一个，且区分大小些，也可能为[0，9]区间内的任意整数。若采取穷举攻击的方法破译密码，设尝试一个组合的时间为0.1秒，当破译时间超过7天则该文件破译所花费的带价将高于文件本身的价值，破译者将选择放弃破译。那么这个加密文件是否有破译的价值呢？若是破译者已知密钥的前5位为同一个英语字母，而后5位为数字，那么这份文件是否存在破译的价值？
解：26个英语字母区分大小写，共有52种可能性[10]。加上十个数字，那么任意一位有62种可能性。这个加密文件的密钥长度为10，那么密码组合的可能性为
101911C162× C62×??× C62=62=52036560683837093888≈5.2×10
10个
一天为24个小时，为86400秒，由此可得破译出这个密码大约需要6×1011天。这说明破译出这个密码是一个小概率事件，其花费的代价远远大于文件本身的价值，所以破译者会放弃破译，文件的安全性得到了保障。
若是破译者已知密钥的前5位为英语字母，而后5位为数字，则其组合的可能性
6111为C152×C10× C10×??× C10=5.2×10 所以破译这个密码需要6天，那么这个
5个
文件是可以尝试去破译的。
6概率论在保险中的运用
保险是一项使投保人和保险公司能够同时取得利益的活动，投保人缴纳一定数额的保险金，如果遇到投保范围内的问题时，保险公司将支付投保人数倍甚至更多的金
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额，能够在一定程度上帮助投保人解决问题。若是投保人没有出现问题时，其缴纳的保险金是不予以退还的。一般情况下，投保人遇到问题的概率是相对稳定的，那么保险公司就需要确定合理的赔率来保证公司的盈利，这就涉及到了概率的应用。 例10:有10000名条件背景基本相同的人参加了某保险公司的一项人寿保险，该公司的规定是，每一位投保人在年初的时候需要交纳200元的保险金，若是在这一年的时间范围内不幸死亡，那么其收益人将从保险公司获得100000的赔偿金。已知，这类型的投保人的死亡率为0.001.那么该保险公司开展这项业务获利的概率为多少？至少获利500000的概率为？
解:设X为10000名投保人在一年内死亡的人数，保险公司这一项人寿保险业务一年的总收入为10000×200=2000000（元）。投保人一年内死亡的概率为0.001，于是有n=10000，p=0.001两者差异较大，所以用?=np=10的泊松分布进行近似计算。 当X＞20时，保险公司就会亏损，因此只要X＜20时，该项将获利，其概率为
10k?10
P（X＜20）≈?e=0.998
k?0k!20这说明保险公司的这一项业务盈利的概率达到了99.8%，也就是说亏损的可能性是极小的。
保险公司在这项业务上面至少可以获利500000就相当于X≤15。其概率为
10kP（X≤15）≈? e?10=0.951
k?0k!15这说明保险公司在这一项业务上有95.1%的概率获利达到500000，该保险公司设置保险赔偿的金额是合理的。 小结
概率论在生活中已经得到了广泛的应用，为方方面面带来了便利[11]，同样也合理的解释了许多现象，解决了很多问题，本文仅就其中五个方面举出了一些例子，以说明其应用，相信随着科技的发展，概率论必将在生活中有越来越多的应用。
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参考文献：
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