《概率论与数理统计》模拟试卷
一、填空题
1．三只考签由三个学生轮流放回抽取一次,每次取一只,设Ai表示第i只考签被抽到(i?1,2,3),则“至少有一只考签没有被抽到”这一事件可表示为 . ．．
2．设P(A)?0.4,P(B)?0.3,P(AB)?0.6,则P(AB)? .
3．已知一袋中装有10个球,其中3个黑球,7个白球,先后两次不放回从袋中各取一球,则第二次取到的是黑球的概率为 .
?0,x?0?4．已知随机变量X的分布函数为F(x)??0.4,0?x?1,则P{X?1}? .
?1,x?1?5．设随机变量X~N(?,25),且P{X?5}?0.5,则?? .
?Ax,0?x?1,则常数A? .
?0,其它7．设随机变量X服从参数为n,p的二项分布,且n?16,D(X)?4,则p? . 8．设二维随机变量(X,Y)的分布律为
X 0 1 2 Y 0.1 0.1 0.1 0 0.1 0.2 0.1 1 0.1 0.1 0.1 2 则P{X?Y}? . 9．设随机变量X服从参数为1的泊松分布,则P{X?E(X2)}? .
10．设随机变量X~N(1,1),Y~N(?1,1),且X与Y相互独立,则E[(X?Y)2]? . 11．已知D(X)?1,D(Y)?9,?XY?0.5,则D(3X?2Y?1)? . 12．设X和Y的方差DX和DY都存在,且满足D(X?Y)?D(X?Y),则X与Y的相关系数?XY? . 6．设随机变量X的概率密度函数为f(x)??13．设X1,X2,,X10是来自总体X2N(0,1)的简单随机样本,则统计量X12?X2?2服从自由度?X10n? 的?2分布.
14．设来自总体X~N(?,1)的容量为16的样本的样本均值x?5.11,其未知参数?的置信水平为1??的置信区间为(4.62,5.60),则?? .
15．设正态总体X~N(?,?2),其中?,?2均未知,X1,X2,,Xn为来自总体X的简单随机样本,记
n1n2X??Xi,Q??(Xi?X)2,则检验假设H0:??0,H1:??0的t检验方法使用统计量
ni?1i?1t? . 二、计算题
?x,0?x?1?1．设随机变量X的概率密度函数f(x)??2?x,1?x?2 ,求⑴P{X?1};⑵分布函数F(x).
?0,其他?2．设随机变量X的概率密度函数fX(x)??数学期望E(Y).
?1,0?x?1X,⑴求Y?e的概率密度函数fY(y);⑵求Y的
其他?0,?x?y,0?x?1,0?y?13．设X,Y的联合概率密度函数为f(x,y)??,⑴求X和Y的边缘概率密度函数
0,其他?fX(x)和fY(y);⑵判断X与Y的是否独立?
4．将两封信随意投入3个邮筒,设X和Y分别表示投入第1和2号邮筒中信的数目,⑴求X和Y的联合分布律;⑵求X与Y的协方差Cov(X,Y).
?2x?,0?x??5．设总体X的概率密度函数f(x;?)???2,其中??0为未知参数,X1,X2,?,Xn是来自总
??0,其他体X的样本.⑴求未知参数?的矩估计量??;⑵判断所求的估计量??是否为?的无偏估计量.
x|1?|?e(???x???),其中??0为未知参6．设总体X的概率密度函数f(x;?)?2?数,?6,?3,?1,2,4,7,8,9为来自总体的X样本值,求?的极大似然估计值．
参考答案
一、填空题
1．A1A2A3 2．0.3 3．0.3 4．0.6 5．5
1 10．6 2eX11．27 12．0 13．10 14．0.05 15．n(n?1) Q6．2 7．0.5 8．0.4 9．三、计算下列概率问题
1．解：⑴P{X?1}?1?P{X?1}?1??10xdx?0.5
⑵当x?0时,F(x)?0; 当0?x?1时,F(x)?当1?x?2时,F(x)??x0x2xdt?;
2?10xdx??x1x2(2?x)dx?2x??1; 当x?2时,F(x)?1;
20，x?0??2x?,0?x?1?2所以F(x)??.
2?2x?x?1,1?x?2?2?1,x?2??1,0?x?1,2．解：⑴f?x??? FY(y)?P{Y?y}?P{eX?y}
其他?0, 当y?0时,FY(y)?0; 当y?0,时,FY(y)?P{X?lny}?FX(lny),
?1?,1?y?efY(y)?FY?(y),于是fY(y)??y
?0,其他?⑵E(Y)?E(e)?X?edx?e?1
01x3．解：⑴当0?x?1时,fX(x)??????f(x,y)dy??(x?y)dy?x?011； 21?x?,0?x?1??fX(x)?? 2?0,其他? 当0?y?1时,fY(y)??????f(x,y)dx??(x?y)dx?y?011； 21??y?,0?y?1?fY(y)?? 2?0,其他?⑵ f(x,y)?fX(x)fY(y)?X与Y不是相互独立的。 4．解：⑴X和Y各自的可能取值均为0,1,2,由古典概型计算得联合分布律
X 0 1 2 Y 19 29 19 0 29 29 0 1 19 0 0 2
⑵E(X)?0?49?1?49?2?19?23 , E(Y)?0?49?1?49?2?19?23
E(XY)?0?0?19?0?1?29?0?2?19?1?0?29?1?1?29?1?2?0
?2?0?19?2?1?0?2?2?0?29, Cov(X,Y)?E(XY)?EXEY?29?49??29
三、求解统计问题（本大题15分）
2?, ?0?23??3X. 以X代替?,得?的矩估计量为?23333?2x?⑵E(?)?E(X)?E(X)?E(X)??x2dx?? ??是?的无偏估计量. 22220?1．解：⑴??E(X)??x2xdx?|xi|1??|xi|1??i?1e?nne2．解：L(?)??f(xi;?)?? 2?2?i?1i?11nlnL(?)??nln2?nln???|xi|
nn1?1n?i?1dlnL(?)n1n???2?|xi|?0
d???i?11n??1(|?6|?|?3|?|?1|?|2|?|4|?|7|?|8|?|9|)?5 ??MLE??|xi| ?MLE8ni?1
试题一
一 、选择题（10小题，共30分）
1．设A,B为随机事件,则A,B中至少有一个发生可表示为( )．
B B．AB C．A?B D．AB
2．对于任意两个事件A与B,则必有P(A-B)= ( )．
A．AA．P(A)-P(AB) B．P(A)-P(B)+P(AB) C．P(A)-P(B) D．P(A)+P(B) 3．设连续型随机变量X的密度函数为f(x)???x0?x?A, 则常A?( )．
?0其他A．1 B．2 C．2 D．4
1,则D(X?Y)? ( )． 2A．2 B．4 C．5 D．6
5． 某人射击中靶的概率为p(0?p?1),则在第2次中靶之前已经失败3次的概率为( )．
4． 设DX?DY?2,X与Y相关系数?XY?A．4p2(1?p)3 B．4p(1?p)3 C．10p2(1?p)3 D．p2(1?p)3
26． 设随机变量X服从参数为1的泊松分布，则PX?EX?（ ）．
??1?1e 27． 设总体X~N(?,9)，其中?为未知参数，X1,X2,X3为来自总体的容量为3的样本．下面四个关于?的估计中，（ ）是无偏的．
211131A．X1?X2?X3 B．X1?X2?X3
333444111111C． X1?X2?X3 D． X1?X2?X3
66663228．设X1,X2,X8是来自总体XN(0,1)的样本,则统计量X12?X2?X82( )．
A．1 B．2 C．e D．
?1
A．?2(8) B．t(8) C．F(1,8) D．N(0,8)
9． 设来自总体X~N(?,1)的容量为25的样本，样本均值为X,其未知参数?的置信水平为1??的置信区间为(X?0.392,X?0.392),则??（ ）．
A．0.05 B．0.01 C．0.025 D．0.1 10． 设总体XN(?,?2),?,?2均未知, X1,X2,22Xn为来自总体X的样本,X为样本均值,S2为样本
(n?1)S2方差,欲检验假设H0:?2??0;H1:?2??0,则检验统计量为( )． A．U?X??0?n B．??2(n?1)S2?02 C．??2?2 D．t?X??0Sn 二、计算题（7小题，每题10分，共70分）
1．已知男子有5%是色盲患者，女子有2%是色盲患者，今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者,问此人是男性的概率是多少？ 2．设离散型随机变量X分布律为 0 ?1 X 1 4 pk 0.1 0.2 a 0.4 （1）求常数a;（2）设Y?X,求Y的分布律;
3． 设随机变量(X,Y)分布律为
20.00 0.05 0.05 0.10 0.10 0.15 0.10 0.15 0.00 （1）求X和Y边缘分布律;（2）求U?max(X,Y)的分布律． X Y 0 1 2 ?1 0 1 2 0.20 0.05 0.05 ?4x3，0?x?14． 设X服从f?x???，求(1)p?0.5 ?0，其他5． 已知随机变量X服从[0,2]上的均匀分布，求Y?3X?1的概率密度函数． ?4xy,0?x?1,0?y?16． 设X,Y的联合概率密度函数为：f(x,y)??求（1）X,Y的边缘概率密度函 0,其它?数;（2）COV(X,Y) ??e??xx?07． 设总体X的密度函数为f(x)??，其中??0为未知参数，X1,X2,x?0?0的一组样本，求:（1）?的矩估计量；(2）?的最大似然估计量。 参考答案 一、选择题： AABDA,DDAAB 二、计算题： 1 设B表示色盲，A1表示取自男性，A2表示取自女性。 ,Xn为来自总体 (1)P(B)?P(B|A1)P(A1)?P(B|A2)P(A2)?0.5?0.05?0.5?0.02?0.035 (5?) 0.5?0.055(2)P(A1|B)??0.0357(5?) 2 (1)a?0.3 (5?)(5?) 116??0(2)Y~???0.20.40.4? 3 12???10(1)X~??0.20.30.20.3??12??0Y~??(2?)?0.30.40.3?(2)U4、 (3?) 12??0???0.050.40.55?1(5?)(1)p(0.5?X?2)??4x3dx?0.515162(5?)14(2)EX??4xdx?0514(2?);EX??4x5dx?023(2?) DX?EX2?(EX)2?275(1?)?1?,0?x?25． fX(x)??2(1?) ??0，其它y?1y?1FY(y)?P{Y?y}?P{X?}?FX()(4?)33?1?1?y?5y?11?求导得到：fY(y)?fX()???633?其他?0 (5?)?2x,0?x?1?2y,0?y?1?6． (1) fX(x)??(3) , fY(y)??(2?) ?0,其它?0,其它224(1?) , EY?(1?) , E(XY)?(1?) (2) EX?339Cov(X,Y)?E(XY)?EX?EY?0(2?)