7．(1)EX?(2) L(?)?1?n(2?),令EX?X?xi??1(2?) ,得?X(1?)
?(?e?i?1)??ne???xii?1n(2?)
?lnL(?)nnlnL(?)?nln????xi????xi?0???i?1i?1??n?1(1?) ?nX?Xini?1(2?)
参考数据：t0.05?15??1.7531,??2??0.9772 ,t0.025?15??2.1315,??1??0.8413一、填空题：（每空2分，共20分）
__??1．设P?A??0.6,P?B??0.5，A与B相互独立，则P?A?B?=
??模拟二
2．袋中有5个球,其中3个新球,2个旧球,每次取一个,无放回地取两次,则两次取到的均为新球的概率为
3． 设随机变量XN(1,4)，则P(?1?X?3)? ;若P(X?a)?0.5, 则a?
???14,0?x?44．设X的密度函数f?x???，则分布函数F?x???
?其它??0,5．设X~B?10000,0.1?，使用中心极限定理计算P?X?1030??
26． 设E?X??1,EX=3，则D?2X?1?? ??7． 设随机变量X,Y相互独立,且X~N(0,1),Y~N(1,4),则分布X?Y~
8．X1,X2是来自总体N(?,?)的样本,当a,b满足___________时，aX1?bX2是?的无偏估计． 9．设样本均值和样本方差为X?20,S2?16,样本容量n?16，写出正态总体均值?的置信水平为0.95的置信区间
二、求解下列概率问题（2小题，共28分） 1、（本题16分）已知离散型随机变量X的分布律为： －2 －1 0 1 X 2111 336 (1) 求P??1.5?X?1.5?; (2) 求分布函数F(x); (3) 求出期望E(X), 方差D(X)．
pi 1 6?x,0?x?1?2、（本题12分）设随机变量X的密度函数f(x)??2?x,1?x?2 , (1) 求P?X?0.5?; (2) 求
?0,其他?出期望E(X), 方差D(X)．
三、求解下列各题（3小题，共28分）
1、（本题8分）设随机变量X的密度函数f(x)???1,1?x?22X, 求Y?e的概率密度．
其他?0,2、（本题8分）设随机变量X,Y相互独立，且E?X??1,E?Y??2,D?X??2,D?Y??4,求
E?X2?,相关系数?XY,D?XY?．
3、（本题12分）设?X,Y?的联合概率分布为
Y 1 2 3 X 0 0．1 0．2 0．1 1 0．2 0．1 0．3 （1）求边缘分布律；（2）判别X与Y是否相互独立；（3）求Cov(X,Y)． 四、求解下列数理统计问题（3小题，共24分）
???x??1,0?x?11、（本题8分）设总体X的密度函数为 f(x)?? ，??0为未知参
其他??0,数,X1,X2,,Xn,是取自总体的样本,求?的矩估计．
??e??x,x?02、（本题8分）设总体X的密度函数为f(x)??，??0为未知参数,X1,X2,其他?0,自总体的样本,求?的最大似然估计．
,Xn,是取
3、（本题8分）要求一种元件使用寿命不得低于1000小时，今从这批元件中随机抽取25个，测得其寿命的平均值为950小时． 已知该种元件寿命服从标准差为??100小时的正态分布．试在显著性水平??0.05下确定这批元件是否合格？设总体均值为?,即检验假设
H0:??1000 ? H1:??1000． ( 参考值：u0.05?1.645,u0.025?1.96)
参考答案
?0,x?0?1?一、填空题：1．0.7 2． 0.3 3． 0.6826,1 4． F(x)??x,0?x?4 5．0.8413
?4x?41,??6． 8 7． N(?1,5) 8．a?b?1 9．(20?2.1315)?(17.8685,22.1315) 二、求解下列概率问题
1．(1)P??1.5?x?1.5??P?X??1??P?X?0??P?X?1??5
6?0,?1?6, (2)
??F(x)??1,2??56,???1,74?E?X2??,6?2?x??1 (3)
112?1?x?0D(X)?E(X2)??EX??4?120?x?1x??2x?11E?X???,212317P(X?0.5)?xdx?(2?x)dx??? 2．(1) ?0.5?1828(2)E?X???102x?xdx??x(2?x)dx?1
12122271D(X)?E(X)?(EX)??x?xdx??x2(2?x)dx?1??1?
0166三、求解下列各题 1． f?x????1,1?x?2,,FY(y)?P(Y?y)?P(e2x?y)
其他?0,11lny)?F(lny), fY(y)?FY?(y)., 22 当y?0时，FY(y)?0; 当y?0,时，FY(y)?P(X??124?,e?y?e于是fY(y)??2y
?0,others?2．E(X2)?D(X)?(EX)2?2?1?3 由于X,Y相互独立，故?XY?0
D(XY)=E?XY??(E(XY))2?E(X2Y2)??EXEY??3?8?4?20
3． 解（1）:
22X 0 1 Y pi? 0．4 0．6 p?j 1 0．3 2 0．3 3 0．4 (2)P?X?0,Y?1??P?X?0?P?Y?1?,故X,Y不独立（其他做法也可以） （3）E(X)?0*0.4?1*0.6?0.6 ，E(Y)?1*0.3?2*0.3?3*0.4?2.1
E(XY)?1.3, Cov(X,Y)?E(XY)?EXEY?1.3?0.6*2.1?0.04
四、求解下列数理统计问题 1．矩估计EX??10x??xnn??12． MLE: L(?)???e?i?1?XiE(X)???X?. , 从而???1?E(X)??1?1?X?ndlnL(?)??1. ?0, 得??lnL(?)?nln????Xi令
d?Xi?1dx??2, ??3．拒绝域R????,?u??????,?1.645? X??0??n950?1000??2.5??1.645
1005所以拒绝原假设H0,即认为这批元件不合格．
模拟三
可能用到的数据：?(1)?0.8413,?(2)?0.9772,t0.025(35)?1.99006,t0.025(36)?1.98667 一、填空题（本题共10空格，每空格3分，共30分）
1．抛一枚骰子，记录其出现的点数，该随机试验的样本空间为 ________．
111,P(B)?,P(BA)?,则P(A?B)?__，P(AB)?__． 423?cx2,x?(0,1)3．设连续型随机变量X的概率密度函数f(x)??，则常数c?________．
?0,其它4．设随机变量X的概率分布律为 -1 0 3 X 2．设A,B为两随机事件，且 P(A)?pi 则P{X?EX?0.5}?_________．
5．设随机变量X服从[0,10]上的均匀分布，则关于y的二次方程y?4y?X?0有实根的概率为
_________． 6．设随机变量X的期望为1，方差为4，随机变量Y的期望为0，方差为1，且X,Y的相关系数?XY??0.2，则Z?X?2Y?1的数学期望为____________，方差为____________． 7． 设总体X是(a,a?1)上的均匀分布，X1,X2,若X?k为a的无偏估计量，则k?_____
20．25 0．5 0．25 1n,Xn是来自总体的样本，X??Xi为样本均值，
ni?18．设总体X~N(?,?2)，?未知，抽取容量为36的样本，算得样本均值为66．5，样本标准差为15,统计假设为H0:??70,H1:??70，检验统计量为T?拒绝)H0．
二、（本题15分）某厂生产电子产品，其月产量X~N(20,252)（单位：万件），在产量不超过18万件时，其产品的次品率为0．01，而当产量超过18万件时，次品率则为0.09．（1）求该厂某月产量超过18万件的概率；（2）现从该月生产的总产品中任取一件，求取出的这件产品是次品的概率．
2X??0，则在显著水平0.05下应___(填接受或
S/n?x?,0?x?2三、（本题10分）设随机变量X的概率密度函数为fX(x)??2，求Y?3X?2的概率密度函
??0,其它数．
四、（本题10分）设离散型随机变量X的概率分布律为
X -2 -1 0
pi 0．25 0．1 0．3
21 0．35 试求Y?X的期望和方差． 五、（本题15分）设随机变量(X,Y)的联合概率分布律为：
Y -1 1 X 0 0．1 0．2 1 0．3 0．4 试求（1）X,Y的边缘概率概率分布律；（2）判别X,Y是否相互独立？（3）COV(X,Y)． 六、（本题10分）设总体X的概率分布律为P{X?i}?数． X1,X2,1?,i?1,2,,?，未知参数?为正整
,Xn为来自总体的一组样本，求?的矩估计量．
,Xn为
??x??1,0?x?1七、（本题10分）设总体X具有概率密度f(x)??，??0为未知参数，X1,X2,?0,其它来自总体的一组样本．求?的最大似然估计量．
参考答案
一、填空题：
211, 3．3 4．05．0.4 6．2,9.6 7．? 8．接受
234X?2018?20?}??(1)?0.8413 二解： (1)P{X?18}?P{221．{1,2,3,4,5,6} 2．(2)全概率公式
0.09P{X?18}?0.01P{X?18}?0.09?(1)?0.01(1??(1))?0.077304
三、y?g(x)?3x?2为严格增函数，
?y?2,?2?y?4?则fY(y)??18
??0,其它2四、(1)X的概率分布律为 1 4 0．45 0．25 EX＝0?0.3+1?0.45+4?0.25=1.45 EX2?02?0.3?12?0.45?42?0.25?4.45
X pi 0 0．3 DX?EX2?(EX)2?4.45?1.452?2.3475 五、（1）X的边缘概率分布律为 X 0 pi 0．3 Y的边缘概率分布律为 X -1 pi 0．4 （2）不独立 （3）EX?0.7,EY?0.2
1 0．7 1 0．6 E(XY)?0.1
cov(X,Y)?E(XY)?EX?EY??0.04
?11??六、EX??i?
2i?1?1??令X?
2??2X?1 得?七、L(?)???xi?1n??1i??(?xi)??1
ni?1nnlnL(?)?nln??(??1)ln(?xi)
i?1?lnL(?)nn??????lnxi?0 ????i?1
n?lnXi?1n
i