对微元体应用平衡条件
?F?0，则
X??dxdydz??pdxdydz?0?x
4、结论：
X?同理，在y和z方向可求得：
1?p?0??x
Y?1?p?0??y 1?pZ??0??z （Ⅰ）
——欧拉平衡微分方程式
X、Y、Z——单位质量力在x、y、z轴方向的分量
?1?p1?p1?p????x、??y、??z单位质量流体所受的表面力在x、y、z轴方向上的分量
说明：
（1） 公式的物理意义：
平衡流体中单位质量流体所受的质量力与表面力在三个坐标轴方向的分量的代数和为零。 （2）公式适用条件：
理想流体、实际流体；绝对、相对静止；可压缩与不可压缩流体。 二、方程的积分（压强分布公式）
1、利用Euler平衡微分方程式求解静止流体中静压强的分布，可将Euler方程分别乘以dx，dy，dz，然后相加，得
?p?p?pdx?dy?dz??(Xdx?Ydy?Zdz)?x?y?z （1）
因为 p＝p（x，y，z），所以上式等号左边为压强p的全微分dp，则上式可写为
dp??(Xdx?Ydy?Zdz) （Ⅱ）
2、势函数（力函数）
对于不可压缩流体：ρ＝const
因为Ⅱ式左边是压强p的全微分，从数学角度分析，方程式的右边也应该是某个函数U(x,y,z)的全微分，即：
Xdx?Ydy?Zdz?dU
?U?U?UdU?dx?dy?dz?x?y?z又因为
?U?U?UY?X?Z??y ?x ?z （Ⅲ） 则有
该函数 U(x,y,z) 称为势函数。
显然， U(x,y,z)在 x，y，z 方向的偏导数正好等于单位质量力分别在各坐标轴上的投影。因为在所有的空间上的任一点都存在质量力，因此，这个空间叫质量力场或势力场。
?U?U?Udx?dy?dz?x?y?z把 代入Ⅱ式得
dp??dU
所以 p??U?C
dU?令 p＝p0时，U＝U0 ， 则 C＝p0－ρU0
p?p0???U?U0? （Ⅳ）
——帕斯卡（Pascal）定律：
在平衡状态下的不可压缩流体中，作用在其边界上的压力，将等值、均匀地传递到流体的所有各点。
三、等压面
1、定义：同种连续静止流体中，静压强相等的点组成的面。（p＝const） 2、方程：
由Ⅱ式 dp??(Xdx?Ydy?Zdz) 由 p＝const → dp＝0 得 Xdx?Ydy?Zdz?0 3、 等压面性质
① 等压面就是等势面。因为 。
② 作用在静止流体中任一点的质量力必然垂直于通过该点的等压面。
dp??dU????证明：沿等压面移动无穷小距离dL?idx?jdy?kdz
则由空间解析几何：单位质量力做的功应为
所以，质量力与等压面相垂直。 ③ 等压面不能相交
相交 → 一点有2个压强值：错误 ④ 绝对静止流体的等压面是水平面 X＝Y＝0，Z＝－g + 性质②
⑤ 两种互不相混的静止流体的分界面必为等压面
证明：在分界面上任取两点A、B，两点间势差为dU，压差为dp。因为它们同属于两种流体，设一种为ρ1，另一种为ρ2，则有：
dp＝ ρ1 dU 且 dp＝ ρ2 dU 因为 ρ1≠ ρ2≠0
所以 只有当dp、 dU均为零时，方程才成立。 说明：
等压面可能是水平面、斜面、曲面、分界面。
??F?ds??X,Y,Z???dx,xy,dz??Xdx?Ydy?Zdz?0
第三节 重力作用下的流体平衡
本节只研究流体相对于地球没有运动的静止状态。 一、静力学基本方程式
1、坐标系的原点选在自由面上，z轴垂直向上，液面上的压强为p0，则
X＝0，Y＝0，Z＝－g 代入公式： dp??(Xdx?Ydy?Zdz) （1） 得： dp??(?g)dz???dz
dz?1 （2）
对于不可压缩流体(公式使用条件之一)，γ＝const，积分（2）式得：
?dp?0z?z1?p???C
p1?z2?p2 （3）
——静力学基本方程形式之一 2、由（3）式得 p???z?C? 代入边界条件：z＝0时，p＝p0 则 p0＝C’
所以 p?p0??z （4） 令 -z＝h（点在液面以下的深度h）
0则 （5）
——静力学基本方程形式之二。
3、说明：
（1）适用条件：静止、不可压缩流体。
（2）静止流体中任一点的压强p由两部分组成，即液面压强p0与该点到液面间单位面积上
?p?p??h的液柱重量?h。
推广：已知某点压强求任一点压强
（3） 静止流体中，压强随深度呈线性变化
用几何图形表示受压面上压强随深度而变化的图，称为压强分布图。 大小：静力学基本方程式
方向：垂直并且指向作用面（特性一） 例题：
p2?p1???h
（4） 同种连续静止流体中，深度相同的点压力相同。连通器：
二、几种压强的表示（基准不同）
1、绝对压强： p绝
是以绝对真空为零点而计量的压强。
2、相对压强（表压）：p相 或 p表
是以当地大气压为零点而计量的压强。
3、真空压强（真空度）： pv或p真
当绝对压强小于当地大气压时，当地大气压与绝对压强的差值。
p绝＝pa??h?0
p表＝p绝－pa??h
p真＝pa－p绝??p表??h真?0
注：① 只有当p表?0时，才用真空度的概念
② 气体的压强都是绝对压强
③ 尽可能用表压：pa在液体内部等值传递的
三、压强的度量
1、应力单位： Pa ， Kgf/cm2（即at），dyn/cm2 2、大气压单位：
1atm＝760mmHg＝1.0336 Kgf/cm2= 10.336mH2O=1.013×105N/m2 1at＝735mmHg＝1 Kgf/cm2＝9.8×104Pa＝10mH2O=9.8×104Pa 3、 液柱高单位：mmHg，mH2O
四、静力学基本方程式的意义