2013年普通高等学校统一考试试题（江苏卷）
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分。请把答案填写在答题卡相印位置上。 1．函数y?3sin(2x?【答案】π
2π2π
【解析】T＝|ω |＝|2 |＝π．
2．设z?(2?i)2（i为虚数单位），则复数z的模为 ． 【答案】5
【解析】z＝3－4i，i2＝－1，| z |＝
＝5．
?4)的最小正周期为 ．
x2y2??1的两条渐近线的方程为 ． 3．双曲线
169【答案】y??
3x4
开始 n?1，a?2 x2y29x23??0，得y??【解析】令：??x． 1691644．集合{?1,0,1}共有 个子集．
a?20n ?n?1Y a?3a?2N 【答案】8 输出n 【解析】23＝8．
结束 5．右图是一个算法的流程图，则输出的n的值是 ．
【答案】3 （第5题） 【解析】n＝1，a＝2，a＝4，n＝2；a＝10，n＝3；a＝28，n＝4． 6．抽样统计甲、乙两位设计运动员的5此训练成绩（单位：环），结果如下： 运动员 甲 乙 第一次 87 89 第二次 91 90 第三次 90 91 第四次 89 88 第五次 93 92 则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为 ． 【答案】2
【解析】易得乙较为稳定，乙的平均值为：x?289?90?91?88?92?90．
5(89?90)2?(90?90)2?(91?90)2?(88?90)2?(92?90)2?2． 方差为：S?57．现在某类病毒记作XmYn，其中正整数m，n（m?7，n?9）可以任意选取，则m，n 都取到奇数的概率为 ．
【答案】
20 634?520?． 7?963【解析】m取到奇数的有1，3，5，7共4种情况；n取到奇数的有1，3，5，7，9共5种情况，则m，n都取到奇数的概率为
8．如图，在三棱柱A1B1C1?ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥F?ADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1?ABC的体积为V2，则V1:V2? ． 【答案】1：24
【解析】三棱锥F?ADE与三棱锥A1?ABC的相似比为1：2，故体积之比为1：8．
C1
B1
A1 F E A D
C
B
又因三棱锥A1?ABC与三棱柱A1B1C1?ABC的体积之比为1：3．所以，三棱锥F?ADE与三棱柱A1B1C1?ABC的体积之比为1：24．
9．抛物线y?x2在x?1处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D(包含三角形内部和边界) ．若点P(x,y)是区域D内的任意一点，则x?2y的取值范围是 ． 1【答案】[—2，2 ]
1z2【解析】抛物线y?x在x?1处的切线易得为y＝2x—1，令z＝x?2y，y＝—2 x＋2 ． 11
画出可行域如下，易得过点(0，—1)时，zmin＝—2，过点(2 ，0)时，zmax＝2 ．
y y＝2x—1 O x 1y＝—2 x
10．设D，E分别是?ABC的边AB，BC上的点，AD?12AB，BE?BC， 23
若DE??1AB??2AC（?1，?2为实数），则?1??2的值为 ． 1
【答案】2
【解析】DE?DB?BE?1212AB?BC?AB?(BA?AC) 232312??AB?AC??1AB??2AC
63所以，?1??112，?2?，?1??2?2 ． 6311．已知f(x)是定义在R上的奇函数。当x?0时，f(x)?x2?4x，则不等式f(x)?x 的解集用区间表示为 ．
【答案】(﹣5，0) ∪(5，﹢∞)
【解析】做出f(x)?x2?4x (x?0)的图像，如下图所示。由于f(x)是定义在R上的奇函数，利用奇函数图像关于原点对称做出x＜0的图像。不等式f(x)?x，表示函数y＝f(x)的图像在y＝x的上方，观察图像易得：解集为(﹣5，0) ∪(5，﹢∞)。
y P(5,5) y＝x y＝x2—4 x x Q(﹣5, ﹣5)
x2y212．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的标准方程为2?2?1(a?0,b?0)，右焦点为
abF，右准线为l，短轴的一个端点为B，设原点到直线BF的距离为d1，F到l的距离为d2，
若d2?6d1，则椭圆C的离心率为 ． 【答案】
3 3 y B b O a c F l a2a2b2【解析】如图，l：x＝，d2＝－c＝，由等面
cccb2bcbc积得：d1＝。若d2?6d1，则＝6，整理
aacx b?b??b?222得：6a?ab?6b?0，两边同除以：a，得：6??????6?0，解之得：＝
a?a??a?236?b?，所以，离心率为：e?1????．
33?a?
13．在平面直角坐标系xOy中，设定点A(a,a)，P是函数y?
21
（x?0）图象上一动点， x
若点P，A之间的最短距离为22，则满足条件的实数a的所有值为 ． 【答案】1或10 【解析】
14．在正项等比数列{an}中，a5?1，a6?a7?3，则满足a1?a2???an?a1a2?an的 2最大正整数n的值为 ． 【答案】12
1??a1q4?【解析】设正项等比数列{an}首项为a1，公比为q，则：?2??a1q5(1?q)?3＝2，an＝2
6－n
1
，得：a1＝32 ，q
2n?1．记Tn?a1?a2???an?，?n?a1a2?an?2522?1?2，化简得：
n1211n?n?522(n?1)n2．Tn??n，则
2n?1?225(n?1)n2，当n?121113?121n?n?5时，当n??12．222n＝12时，T12??12，当n＝13时，T13??13，故nmax＝12．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说
明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分） 已知a＝(cos?,sin?)，b?(cos?,sin?)，0??????．
（1）若|a?b|?2，求证：a?b；
（2）设c?(0,1)，若a?b?c，求?,?的值． 解：（1）a－b＝(cosα－cosβ，sinα－sinβ)，
|a－b|2＝(cosα－cosβ)2＋(sinα－sinβ)2＝2－2(cosα·cosβ＋sinα·sinβ)＝2， 所以，cosα·cosβ＋sinα·sinβ＝0， 所以，a?b． （2）??cos??cos??0?sin??sin??1①1，①2＋②2得：cos(α－β)＝－2 ． ②所以，α－β＝
22?，α＝?＋β， 3312?3?＋β)＋sinβ＝cosβ＋2 sinβ＝sin(＋β)＝1， 332带入②得：sin(
??＋β＝． 325??所以，α＝，β＝．
66所以，
16．（本小题满分14分）
如图，在三棱锥S?ABC中，平面SAB?平面SBC，AB?BC，AS?AB，过A作AF?SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点．求证： （1）平面EFG//平面ABC；
S
（2）BC?SA． 证：（1）因为SA＝AB且AF⊥SB， G E 所以F为SB的中点． F 又E，G分别为SA，SC的中点， C
A 所以，EF∥AB，EG∥AC．
又AB∩AC＝A，AB?面SBC，AC?面ABC， 所以，平面EFG//平面ABC． B （2）因为平面SAB⊥平面SBC，平面SAB∩平面SBC＝BC，
AF?平面ASB，AF⊥SB． 所以，AF⊥平面SBC． 又BC?平面SBC， 所以，AF⊥BC．
又AB⊥BC，AF∩AB＝A， 所以，BC⊥平面SAB． 又SA?平面SAB， 所以，BC?SA．
17．（本小题满分14分）
y 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l:y?2x?4．
l A 设圆C的半径为1，圆心在l上． （1）若圆心C也在直线y?x?1上，过点A作圆C的切线， 求切线的方程；
（2）若圆C上存在点M，使MA?2MO，求圆心C的横坐 标a的取值范围．
O x ?y?x?1解：（1）联立：?，得圆心为：C(3，2)．
y?2x?4?设切线为：y?kx?3，