d＝
|3k?3?2|1?k23?r?1，得：k?0ork??．
4or3y??x?3．
4故所求切线为：y?02222（2）设点M(x，y)，由MA?2MO，知：x?(y?3)?2x?y，
化简得：x2?(y?1)2?4，
即：点M的轨迹为以(0，1)为圆心，2为半径的圆，可记为圆D． 又因为点M在圆C上，故圆C圆D的关系为相交或相切． 故：1≤|CD|≤3，其中CD?12
解之得：0≤a≤5 ．
18．（本小题满分16分）
如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径。一种是从A沿直线步行 到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两 位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min．在甲出发2min后，乙从 A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从匀速步行到C．假设缆车匀速直线运动的
速度为130m/min，山路AC长为1260m，经测量，cosA?（1）求索道AB的长；
（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？ （3）为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟， 乙步行的速度应控制在什么范围内？ 解：（1）如图作BD⊥CA于点D，
设BD＝20k，则DC＝25k，AD＝48k， B AB＝52k，由AC＝63k＝1260m，
D 知：AB＝52k＝1040m．
C （2）设乙出发x分钟后到达点M，
a2?(2a?3)2．
123，cosC?． 135M N A
此时甲到达N点，如图所示．
则：AM＝130x，AN＝50(x＋2)，
由余弦定理得：MN2＝AM2＋AN2－2 AM·ANcosA＝7400 x2－14000 x＋10000， 35
其中0≤x≤8，当x＝37 (min)时，MN最小，此时乙在缆车上与甲的距离最短． 1260126
（3）由（1）知：BC＝500m，甲到C用时：50 ＝5 (min)．
12614186
若甲等乙3分钟，则乙到C用时：5 ＋3＝5 (min)，在BC上用时：5 (min) ． 861250
此时乙的速度最小，且为：500÷5 ＝43 m/min．
12611156
若乙等甲3分钟，则乙到C用时：5 －3＝5 (min)，在BC上用时：5 (min) ．
56625
此时乙的速度最大，且为：500÷5 ＝14 m/min． 1250625
故乙步行的速度应控制在[43 ，14 ]范围内．
19．（本小题满分16分）
设{an}是首项为a，公差为d的等差数列(d?0)，Sn是其前n项和．记bn?nSn， n2?cn?N*，其中c为实数．
（1）若c?0，且b1，b2，b4成等比数列，证明：Snk?n2Sk（k,n?N*）； （2）若{bn}是等差数列，证明：c?0． 证：（1）若c?0，则an?a?(n?1)d，Sn?2n[(n?1)d?2a](n?1)d?2a，bn?．
22当b1，b2，b4成等比数列，b2?b1b4，
d?3d???2即：?a???a?a??，得：d?2ad，又d?0，故d?2a．
2?2???由此：Sn?n2a，Snk?(nk)2a?n2k2a，n2Sk?n2k2a． 故：Snk?n2Sk（k,n?N）．
*2(n?1)d?2anS2（2）bn?2n?， 2n?cn?c(n?1)d?2a(n?1)d?2a(n?1)d?2an2?c?c222 ?2n?c(n?1)d?2ac(n?1)d?2a2． (※) ??22n?cn2若{bn}是等差数列，则bn?An?Bn型． 观察(※)式后一项，分子幂低于分母幂，
(n?1)d?2a(n?1)d?2a(n?1)d?2a2c?0故有：，即，而≠0， ?0222n?c故c?0．
c经检验，当c?0时{bn}是等差数列．
20．（本小题满分16分）
设函数f(x)?lnx?ax，g(x)?e?ax，其中a为实数．
x（1）若f(x)在(1,??)上是单调减函数，且g(x)在(1,??)上有最小值，求a的取值范围； （2）若g(x)在(?1,??)上是单调增函数，试求f(x)的零点个数，并证明你的结论． 解：（1）f?(x)?故：a≥1．
11?a≤0在(1,??)上恒成立，则a≥，x?(1，??)． xx
g?(x)?ex?a，
若1≤a≤e，则g?(x)?ex?a≥0在(1,??)上恒成立，
此时，g(x)?ex?ax在(1,??)上是单调增函数，无最小值，不合；
若a＞e，则g(x)?ex?ax在(1，lna)上是单调减函数，在(lna，??)上是单调增函数，gmin(x)?g(lna)，满足． 故a的取值范围为：a＞e．
（2）g?(x)?ex?a≥0在(?1,??)上恒成立，则a≤ex，
1
故：a≤e ．
f?(x)?11?ax?a?xx(x?0)．
11
(ⅰ)若0＜a≤e ，令f?(x)＞0得增区间为(0，a )； 1
令f?(x)＜0得减区间为(a ，﹢∞)．
当x→0时，f(x)→﹣∞；当x→﹢∞时，f(x)→﹣∞；
111
当x＝a 时，f(a )＝﹣lna－1≥0，当且仅当a＝e 时取等号． 11
故：当a＝e 时，f(x)有1个零点；当0＜a＜e 时，f(x)有2个零点． (ⅱ)若a＝0，则f(x)＝﹣lnx，易得f(x)有1个零点． (ⅲ)若a＜0，则f?(x)?1?a?0在(0，??)上恒成立， x即：f(x)?lnx?ax在(0，??)上是单调增函数， 当x→0时，f(x)→﹣∞；当x→﹢∞时，f(x)→﹢∞． 此时，f(x)有1个零点．
11
综上所述：当a＝e 或a＜0时，f(x)有1个零点；当0＜a＜e 时，f(x)有2个零点．