差分方程在数学模型中的应用
皇甫慧 20101104821
数学科学学院 数学与应用数学专业 10级2班
指导老师 李伟军
摘要：差分方程是描述客观事物的数量关系的一种重要的数学模型。在科学
研究和生产实际中，经常碰到处理对象涉及的变量是连续的，但从建模的目的考虑，把连续变量离散化处理，从而将连续模型（微分方程）化为离散型（差分方程）问题。
关键字：差分、变量、模型
1.种群生态学中的虫口模型:
在种群生态学中，考虑像蚕、蝉这种类型的昆虫数目的变化 ，他的变化规律是：每年夏季这种昆虫成虫产卵后全部死亡，第二年春天每个虫卵孵化成一个虫子。建立数学模型来表现虫子数目的变化规律。
模型假设与模型建立：假设第n年的虫口数目为Pn，每年一个成虫平均产
Pn?1?cPn，卵c个（这个假设有点粗糙，应当考虑更具体的产卵分布状况），则有：
这是一种简单模型；如果进一步分析，由于成虫之间会有争斗以及传染病、天敌等的威胁，第n+1年的成虫数会减少，如果考虑减少的主要原因是虫子之间的两两争斗，由于虫子配对数为而有:
2Pn?1?cPn?bPn
112pn(pn?1)?pn，故减少数应当与它成正比，从22这个
:xn?1??xn(1?xn)一阶非线性差分方程。这个模型的解的
稳定性可以用相应一阶差分方程的判断方法。
如果还考虑其它的影响成虫孵卵及成活的因素的定量关系，这个模型在此基础上仍可进一步改进，更加符合实际情形。这种关系一方面可以通过机理分析，确定减少量与影响因素的定量关系，另一方面也可以用统计的方法来线性估计影响程度。或者还可以用影响曲线的方法来直观表现影响的比例关系、周期关系、
增量关系等等。
2.具周期性的运动过程的差分方程模型
建立差分方程描述振动台上的乒乓球垂直运动的方程，即把运动过程中的某些离散变化取值的变量的变化规律表现出来。
模型假设与建立：乒乓球与振动台之间的振动恢复系数为?,??1，振动台面的上下位移是??sin?t，乒乓球初始时刻在离台面垂直距离为H处为自由落体运动???H。 又假设tj为第j 次碰撞时刻，第 j次碰撞前的速度为?u(tj)，碰撞后的速度为v(tj)。假设u(tj?1)?v(tj)。振动台台面的运动速度为
~?(t)?d2?v， (??sin?t)???cos?t；又记???t,v?dtg~~~~则有：tj?1?tj?
2v(tj?1)g，??tj?1?tj????j?1??j?vj~2??jg~
（1）
另外，由碰撞规律分析可知:
vj?1??(tj?1)??(?uj?1??(tj?1))
该式经简化处理后可得：
?j?vj) （2） vj?1??vj??cos(由（1）和（2）式联立可得二阶差分非线性方程组
?j?1??j?vj???j??j)?vj?1??vj??cos(3.蛛网模型
在自由市场经济中，有些商品的生产、销售呈现明显的周期性。农业产品往往如此，在工业生产中，许多商品的生产销售是有周期性的，表现在：商品的投资、销售价格、产量、销售量在一定时期内是稳定的，因而整个某个较长的时期内这些经济数据表现为离散变量的形式。在这些因素中，我们更关心的是商品的销售价格与生产产量这两个指标，它们是整个经营过程中的核心因素，要想搞好经营，取得良好的经济效益，就必须把握好这两个因素的规律，作好计划。试分
析市场经济中经营者根据市场经济的规律，如何建立数学模型来表现和分析市场趋势的。
模型的假设与建立：记第k时段商品的数量为xk，价格为yk，k?1,2,?.在这里我们把时间离散化为时段, 1个时段相当于商品的1个生产周期,如蔬菜,水果是一个种植周期,肉类是牲畜的饲养周期。
现以猪肉价格的变化与需求和供给关系来研究上述振荡现象。 设第n个时期（长度假定为一年）猪肉的产量为
sQn，价格为Pn，产量与价格的关系为Pn?fs(Qn)，
P P?f(Q) Q?g(P) A3 本时期的价格又决定下一时期的产量，因此，
dQn?1?g(Pn)。这种产销关系可用下述过程来描述：
A4 A2 A1 Q1s?sP1?Q2?sP2?Q3?sP3???Qn?Pn??，
o 图1：蛛网模型图 Q 设
sssA1?(Q1s,P1),A2?(Q2,P1),A3?(Q2,P2),A4?(Q3,P2)?，
ssA2k?1?(Qk,Pk),A2k?(Qk?1,Pk)。以产量Q和价格P分别作为坐标系的横轴和纵轴，
绘出图1。这种关系很像一个蜘蛛网，故称为蛛网模型。
对于蛛网模型，假定商品本期的需求量Qtd决定于本期的价格Pt，即需求函数为Qtd?f(Pt)，商品本期产量Qts决定于前一期的价格Pt?1，即供给函数为
Qts?g(Pt?1)。根据上述假设，蛛网模型可以用下述联立方程式来表示
?Qtd????Pt?s?Qt????Pt?1， ?Qd?Qstt?其中，?,?,?,?均为常数且均大于零。
蛛网模型分析了商品的产量和价格波动的三种情况。现在只讨论一种情形：供给曲线斜率的绝对值大于需求曲线斜率的绝对值。即当市场由于受到干扰偏离原有的均衡状态以后，实际价格和实际产量会围绕均衡水平上下波动，但波动的幅度越来越小，最后会回复到原来的均衡点。
假设，在第一期由于某种外在原因的干扰，如恶劣的气候条件，实际产量由均衡水平Qe减少为Q1。根据需求曲线，消费者愿意支付P1的价格购买全部的产量Q1，于是，实际价格上升为P1。根据第一期较高的价格水平P1，按照供给曲线，生产者将第二期的产量增加为Q2；在第二期，生产者为了出售全部的产量Q2，接受消费者所愿意支付的价格P2，于是，实际价格下降为P2。根据第二期的较低的价格水平P2，生产者将第三期的产量减少为Q3；在第三期，消费者愿意支付P3的价格购买全部的产量Q3，于是，实际价格又上升为P3。根据第三期较高的价格水平P3，生产者又将第四期的产量增加为Q4。如此循环下去（如图2所示），实际产量和实际价格的波动幅度越来越小，最后恢复到均衡点e所代表的水平。
d P1P3 PeP2 s e o Q1Q3QeQ4Q2 Q 图2：收敛型蛛网 由此可见，图2中的平衡点e所代表的平衡状态是稳定的。也就是说，由于外在的原因，当价格和产量偏离平衡点(Pe,Qe)后，经济制度中存在着自发的因素，能使价格和产量自动地恢复均衡状态。产量和价格的变化轨迹形成了一个蜘蛛网似的图形，这就是蛛网模型名称的由来。 4.线性时间离散弥漫网络模型
一个国家在一定时间段内的财富依赖于许多因素，不同国家的相互交流是重要的方面。建立数学模型，表现国家财富的变化与国家间财富的流动之间的关系。
模型假设：设有n个国家，用ui表示在时期t??0,1,2,...}的财富。假设只考
(t)虑这些国家之间仅仅两两国家之间有交流关系。并且假设财富流动的系数是?。
模型建立：国家间的财富关系应当满足：
u1(t?1)?u1(t)??(u2(t)?u1)??(un(t)(t)?u1)
(t)u(t?1)?u(t)??(u(t)(t)221?u2)??(u(t))3?u(t2)
………
u(t?1)n?1?u(t)(t)(t)n?1??(un?2?un?1)??(u(t)n?u(t)n?1) u(t?1)??(u(t)(t)(t)(t)n?u(t)n1?un)??(un?1?un)
用矩阵形式表示：
令u(t)?(u(t)(t)(t)1,u2,......,u/n)表示时期t 各个国家的财富状态；??2?100..0?1???12?10..00???0?12?1..00?? 令A........?n???.??........? ?.....2.?10????000..12?1????1000.0?12???则有： u(t?1)?(I??A)n)u(t (3) 记A~~tn?I??A(t)(0)n ，则u?Anu (4)
计算可知A)k?n的特征值为：?(k?4sin2n,1?k?n, A~)n的特征值为：1???(k?1`?4?sin2k?n 对应的特征向量为：v(k)?(v(k)(k))/1,......,vn......1?k?n
其中v(k)m?12km?n(cosn?sin2km?n) 为讨论方便起见，引入如下记号： ?(n)?0,v(n)?1n(1,1,...,1)/