?(0)??(n),v(0)?则有：n为偶数时：
1n(1,1,...1)/,
0??(0)??(n)?...??(k)??(n?k)?...??n(?1)2??n(?1)2?...??n()2??n(n?)2?4,
n 为奇数时：
0??(0)??(n)?...??(k)??(n?k)?...??(n?1)2??(n?1)2?4
记：Vk为由v(k),v(n?k)张成的子空间， 则：u(0)???v(k),u(0)?v(k)
k?0n?1 u(t)?Anun?1~t(0)???vk?0n?1(k),u(0)?Anv(k)
~t??(1??(k)?)t?v(k),u(0)?v(k)
k?on[]2
???(1??(k)?)t??,u(0)??k?0??Vk由此式进一步分析可以获得：当t??时，un的渐进变化状态的规律。 5.人口的控制和预测模型
人口数量的发展变化规律及特性可以用偏微分方程的理论形式来表现和模拟。但在实际应用中不是很方便，需要建立离散化的模型，以便于分析、应用。人口数量的变化取决于诸多因素，比如：女性生育率、死亡率、性别比、人口基数等。试建立离散数学模型来表现人口数量的变化规律。
模型假设：以年为时间单位记录人口数量，年龄取周岁。设这个地区最大年龄为m岁，第t年为i岁的人数为xi?t?,i?1,2?m,t?0,1,2?，这个数量指标是整个问题分析、表现的目标和载体，我们的目的就是找出这些变量的变化规律、内在的普遍联系。
设第t年为i岁的人口平均死亡率为di(t),即这一年中i岁人口中死亡数与基数之比:
(t)
即：xi?1(t?1)??1?di(t)?xi(t),i?i,2,?,m?1;t?0,1,2?
设第t 年i岁女性的生育率：即每位女性平均生育婴儿数为bi(t)，?i1,i2?为生育区间。ki(t)为第t年i岁人口的女性比（占全部i岁人口数） 由此可知：第t 年出生的人数为：
记第t 年婴儿的死亡率为d00?t?，则x0?t???1?d00(t)?f?t? 设 hi(t)?bi?t??bi?t? ，它表示i岁女性总生育率，则bt(t)???t?hi?t?,??t??b?t?ii?i1i2如果假设t童年后女性出生率保持不变，则
可见，??t?表示每位妇女一生中平均生育的婴儿数，称之为总和生育率。它反映了人口变化的基本因素。
模型建立：根据上面的假设
……………………………………。
为了全面系统地反映一个时期内人口数量的状况， 令 x(t)??xi(t),x2(t),?,xm(t)?,
则此向量x?t?满足方程：
即： x?t?1??(A(t)??(t)B(t))x(t) （5） 这是一阶差分方程
其中?(t)是可控变量，x(t)是状态变量，并且关于?(t)和x(t)都是线性的，故称其为双线性方程。
模型分析：在稳定的社会环境下，死亡率 、生育模式、女性比例、婴儿存活率是可以假设为不变的，故A?t??A,B?T??B为常数矩阵。从而：
x?t?1??(A??(t)B(t))x(t) （6）
只要总生育率?(t)确定下来，则人口的变化规律就可以确定下来。为了更全面地反映人口的有关信息，下面再引入一些重要的指标： 人口总数：N(t)??xi(t)
i?0m1m人口平均年龄：R(t)?ixi?t? ?N(t)i?0?j?平均寿命：S?t???exp???di?t??，这里假定从第t年分析，如果以后每年的
j?0?i?0?m死亡率是不变的，即：di(t)?di?1(t?1)???
则?di(t)表示 t 年出生的人活到第j+1年期间的死亡率，这也表明其寿命
i?0j?j?为j岁，j=1,2…m.而exp???di?t??表示寿命。
?i?0?通过求出x?t?的变化规律，就可以对上面引入的3个指标进行更具体的分析，从而对人口的分布状况、变化趋势、总体特征等有科学的认识和把握。具体求解分析这里不再进行。 6.金融问题的差分方程模型 6.1金融问题
设现有一笔p万元的商业贷款，如果贷款期是n年，年利率是 r1，今采用月还款的方式逐月偿还，建立数学模型计算每月的还款数是多少？
模型分析：在整个还款过程中，每月还款数是固定的，而待还款数是变化的，找出这个变量的变化规律是解决问题的关键。
模型假设：设贷款后第K个月后的欠款数是Ak元，月还款为m元，月贷款利息为r?r1。 12模型建立：关于离散变量Ak，考虑差分关系有：Ak?rAk?Ak?1?m， 即： Ak?1?(1?r)Ak?m （7） 这里已知有：A0?100000,A24?0
令Bk?Ak?Ak?1，则Bk?Bk?1(1?r)?B1(1?r)k?1 ?Ak?A0?B1?B2?...?Bk
?A0?B1[1?(1?r)?...?(1?r)k?1] ?A0(1?r)k?m[(1?r)k?1],k?0,1,2,... r这就是差分方程（7）的解。把已知数据A0,r代入A12n?0中，可以求出月还款额m。例如：A0?10000,r?0.0052125,n?2时，可以求出：m?444.356元。
模型的进一步拓广分析：拓广分析包括条件的改变、目标的改变、某些特殊
mmm，并且当A0?时，总有Ak?，即表明：rrrm每月只还上了利息。只有当A0?时，欠款余额逐步减少，并最终还上贷款。
r结果等。如果令Ak?A，则A?6.2筹措教育经费
某家庭从现在着手从每月工资中拿出一部分资金存入银行，用于投资子女的教育。并计划20年后开始从投资帐户中每月支取1000元，直到10年后子女大学毕业用完全部资金。要实现这个投资目标，20年内共要筹措多少资金？每月要向银行存入多少钱？假设投资的月利率为0.5%。
模型假设与建立：设第n个月投资帐户资金为Sn元，每月存入资金为a元。于是，20年后关于Sn的差分方程模型为：
Sn?1?1.005Sn?1000。 （8） 并且S120?0,S0?x。
解方程（8），得通解：
Sn?1.005nC?1000?1.005nC?200000，
1?1.005以及
S120?1.005120C?200000?0,S0?C?200000?x,从而有：
x?200000?2000001.005120
?90073.45。
从现在到20年内，Sn满足的差分方程为：