北师大版初中数学知识点归纳
xy?k(k?0) ←→ 变量y与x成反比例，比例系数为k.
※判断两个变量是否是反比例函数关系有两种方法：①按照反比例函数的定义判断；②看两个变量的乘积是否为定值<即xy?k>。（通常第二种方法更适用）
※反比例函数的图象由两条曲线组成，叫做双曲线
※反比例函数的画法的注意事项：①反比例函数的图象不是直线，所“两点法”是不能画的；
②选取的点越多画的图越准确；
③画图注意其美观性（对称性、延伸特征）。
※反比例函数性质：
①当k>0时，双曲线的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小； ②当k<0时，双曲线的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大； ③双曲线的两支会无限接近坐标轴（x轴和y轴），但不会与坐标轴相交。 ※反比例函数图象的几何特征:(如图4所示) 点P(x,y)在双曲线上都有S矩形OAPB?|xy|?|k|S?AOB?11|xy|?|k| 22B O P A P B A O 第六章 频率与概率
※在频率分布表里，落在各小组内的数据的个数叫做频数； ．．
?每一小组的频数与数据总数的比值叫做这一小组的频率； 即：频率? ．．4 数据总数图实验次数在频率分布直方图中，由于各个小长方形的面积等于相应各组的频率，而各组频率的和等于1。因此，各个小长方形的面积的和等于1。
※频率分布表和频率分布直方图是一组数据的频率分布的两种不同表示形式，前者准确，后者直观。 用一件事件发生的频率来估计这一件事件发生的概率。 可用列表的方法求出概率，但此方法不太适用较复杂情况。
※假设布袋内有m个黑球，通过多次试验，我们可以估计出布袋内随机摸出一球，它为白球的概率； ※要估算池塘里有多少条鱼，我们可先从池塘里捉上100条鱼做记号，再放回池塘，之后再从池塘中捉上200条鱼，如果其中有10条鱼是有标记的，再设池塘共有x条鱼，则可依照
频数频数10010?估算出鱼的条数。x200（注意估算出来的数据不是确切的，所以应谓之“约是XX”）
※生活中存在大量的不确定事件，概率是描述不确定现象的数学模型，它能准确地衡量出事件发生的可能性的大小，并不表示一定会发生。
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北师大版初中数学九年级(下册)知识点汇总
第一章 直角三角形边的关系
※一. 正切：
定义：在Rt△ABC中，锐角∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即tanA?．．
?A的对边;
?A的邻边①tanA是一个完整的符号，它表示∠A的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”； ②tanA没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A的对边与邻边的比； ③tanA不表示“tan”乘以“A”；
④初中阶段，我们只学习直角三角形中，∠A是锐角的正切；
⑤tanA的值越大，梯子越陡，∠A越大； ∠A越大，梯子越陡，tanA的值越大。 ※二. 正弦： ．．定义：在Rt△ABC中，锐角∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即
sinA??A的对边;
斜边※三. 余弦：
定义：在Rt△ABC中，锐角∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即
cosA??A的邻边;
斜边※余切：
定义：在Rt△ABC中，锐角∠A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作cotA，即
cotA??A的邻边;
?A的对边※一个锐角的正弦、余弦、正切、余切分别等于它的余角的余弦、正弦、余切、正切。 （通常我们称正弦、余弦互为余函数。同样，也称正切、余切互为余函数，可以概括为：一个锐角的三角函数等于它的余角的余函数）用等式表达：若∠A为锐角，则 ①sinA?cos(90???A)；
cosA?sin(90???A) 90???A)； ②tanA?cot(cotA?tan(90???A)
※当从低处观测高处的目标时，视线与水平线
所成的锐角称为仰角 ．．※当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成 的锐角称为俯角 ．．
※利用特殊角的三角函数值表，可以看出，(1)当
角度在0°～90°间变化时，正弦值、正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)；余弦值、余切值随
sinα cosα tanα cotα 0o 0 1 0 — 30 o 1 245 o 60 o 90 o 1 0 — 0 3 23 32 22 21 1 3 21 23 3 33 北师大版初中数学知识点归纳 第 32 页 共 41 页
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着角度的增大(或减小)而减小(或增大)。(2)0≤sinα≤1，0≤cosα≤1。 ※同角的三角函数间的关系：
倒数关系：tgα·ctgα=1。
※在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和二个锐角。由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。
◎在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有 (1)三边之间的关系：a2+b2=c2；
(2)两锐角的关系：∠A＋∠B=90°； (3)边与角之间的关系：
sinA?a,cbsinB?,cbcosA?,cacosB?,ctanA?a,bbtanB?,abcotA?;
aacotB?;
b11ab?chc(hc为C边上的高); 22a?b?c(5)直角三角形的内切圆半径r?
21 (6)直角三角形的外接圆半径R?c
2(4)面积公式:S??◎解直角三角形的几种基本类型列表如下：
◎解直角三角形的几种基本类型列表如下：
B i=h:l h C A l 图2
图3
图4
※ 如图2，坡面与水平面的夹角叫做坡角 (或叫做坡比)。用字母i表示，即i?．．．．
h?tanA l◎从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图3，OA、OB、OC．．．的方位角分别为45°、135°、225°。
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◎指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。如图4，OA、．．．OB、OC、OD的方向角分别是；北偏东30°，南偏东45°(东南方向)、南偏西为60°，北偏西60°。
第二章 二次函数
※二次函数的概念：形如y?ax2?bx?c(a、、b、是常数，a?0)的函数，叫做x的二次函数。自变量．．．．的取值范围是全体实数。 y?ax2(a?0)是二次函数的特例，此时常数b=c=0.
※在写二次函数的关系式时，一定要寻找两个变量之间的等量关系，列出相应的函数关系式，并确定自变．．量的取值范围。 ．．．．．．※二次函数y＝ax2的图象是一条顶点在原点关于y轴对称的曲线，这条曲线叫做抛物线。 ．．．
描述抛物线常从开口方向、对称性、y随x的变化情况、抛物线的最高（或最低）点、抛物线与x轴的交点等方面来描述。
①函数的定义域是全体实数；
②抛物线的顶点在(0，0)，对称轴是y轴(或称直线x＝0)。
③当a＞0时，抛物线开口向上，并且向上方无限伸展。当a＜0时，抛物线开口向下，并且向下方无限伸展。 ④函数的增减性：
;?x?0时,y随x增大而减小A、当a＞0时? B、当a＜0时
x?0时,y随x增大而增大.?;?x?0时,y随x增大而增大 ?.?x?0时,y随x增大而减小
⑤当｜a｜越大，抛物线开口越小；当｜a｜越小，抛物线的开口越大。
⑥最大值或最小值：当a＞0，且x＝0时函数有最小值，最小值是0；当a＜0，且x＝0时函数有最大值，最大值是0． ※二次函数y?ax2?c的图象是一条顶点在y轴上且与y轴对称的抛物线
bb4ac?b2※二次函数y?ax?bx?c的图象是以x??为对称轴，顶点在（?，）的抛物
2a2a4a2线。（开口方向和大小由a来决定）
※|a|的越大，抛物线的开口程度越小，越靠近对称轴y轴，y随x增长（或下降）速度越快；|a|的越小，抛物线的开口程度越大，越远离对称轴y轴，y随x增长（或下降）速度越慢。 ※二次函数y?ax2?c的图象中，a的符号决定抛物线的开口方向，|a|决定抛物线的开口程度大小，c决定抛物线的顶点位置，即抛物线位置的高低。 ※二次函数y?ax2?bx?c的图象与y＝ax2的图象的关系：
y?ax2?bx?c的图象可以由y＝ax2的图象平移得到，其步骤如下：
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b4ac?b2 ①将y?ax?bx?c配方成y?a(x?h)?k的形式；（其中h=?，k=）；
2a4a22②把抛物线y?ax2向右（h>0）或向左（h<0）平移|h|个单位，得到y=a(x-h)2的图象； ③再把抛物线y?a(x?h)2向上（k>0）或向下（k<0）平移| k|个单位，便得到y?a(x?h)2?k的图象。
※二次函数y?ax2?bx?c的性质：
b24ac?b2二次函数y?ax?bx?c配方成y?a(x?)?则抛物线的
2a4a22bb4ac?b①对称轴：x=? ②顶点坐标：（?，）
2a2a4a③增减性： 若a>0，则当x
若a<0，则当x
bb时，y随x的增大而减小；当x>时，y随x的增大?．．．．．．．2a2abb时，y随x的增大而增大；当x>时，y随x的增大?．．．．．．．2a2a4ac?b24ac?b2bb④最值：若a>0，则当x=?时，y最小?；若a<0，则当x=?时，y最大?
2a2a4a4a※画二次函数y?ax2?bx?c的图象：
我们可以利用它与函数y?ax2的关系，平移抛物线而得到，但往往我们采用简化了的描点法----五点法来画二次函数来画二次函数的图象，其步骤如下：
2b ①先找出顶点（?b，4ac?b），画出对称轴x=?；
2a2a4ab②找出图象上关于直线x=?对称的四个点（如与坐标的交点等）；
2a③把上述五点连成光滑的曲线。
¤二次函数的最大值或最小值可以通过将解析式配成y=a(x-h)2+k的形式求得，也可以借助图象观察。
¤解决最大（小）值问题的基本思路是：
①理解问题；
②分析问题中的变量和常量，以及它们之间的关系； ③用数学的方式表示它们之间的关系；
④做数学求解；
⑤检验结果的合理性、拓展性等。
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