第二十二章 二次函数
22.1.1 二次函数
一、阅读教科书第28—29页 二、学习目标：
1．知道二次函数的一般表达式； 2．会利用二次函数的概念分析解题； 3．列二次函数表达式解实际问题． 三、知识点：
一般地，形如____________________________的函数，叫做二次函数。其中x是________，a是__________，b是___________，c是_____________． 四、基本知识练习
3
1．观察：①y＝6x2；②y＝－ x2＋30x；③y＝200x2＋400x＋200．这三个式子中，虽然函数有一项的，两项的
2或三项的，但自变量的最高次项的次数都是______次．一般地，如果y＝ax2＋bx＋c（a、b、c是常数，a≠0），那么y叫做x的_____________．
2．函数y＝(m－2)x2＋mx－3（m为常数）． （1）当m__________时，该函数为二次函数； （2）当m__________时，该函数为一次函数．
3．下列函数表达式中，哪些是二次函数？哪些不是？若是二次函数，请指出各项对应项的系数． （1）y＝1－3x2 （2）y＝3x2＋2x （3）y＝x (x－5)＋2
（4）y＝3x3＋2x2
五、课堂训练 1．y＝(m＋1)x
m2?m6．为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围住（如图）．若设绿化带的BC边长为x m，绿化带的面积为y m2．求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
六、目标检测
1．若函数y＝(a－1)x2＋2x＋a2－1是二次函数，则（ ） A．a＝1 B．a＝±1 C．a≠1 2．下列函数中，是二次函数的是（ ） A．y＝x2－1
B．y＝x－1
8
C．y＝
x
D．a≠－1
8
D．y＝2
x
1
（5）y＝x＋
x
－3x＋1是二次函数，则m的值为_________________．
2．下列函数中是二次函数的是（ ） 1
A．y＝x＋
2
B． y＝3 (x－1)2
C．y＝(x＋1)2－x2
1
D．y＝2 －x
x
3．在一定条件下，若物体运动的路段s（米）与时间t（秒）之间的关系为 s＝5t2＋2t，则当t＝4秒时，该物体所经过的路程为（ ） A．28米 B．48米 C．68米 D．88米
4．n支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛．写出比赛的场次数m与球队数n之间的关系式
_______________________．
5．已知y与x2成正比例，并且当x＝－1时，y＝－3． 求：（1）函数y与x的函数关系式；
（2）当x＝4时，y的值；
1
（3）当y＝－ 时，x的值．
3
1
3．一个长方形的长是宽的2倍，写出这个长方形的面积与宽之间的函数关系式．
4．已知二次函数y＝－x2＋bx＋3．当x＝2时，y＝3，求 这个二次函数解析式．
22.1.2 二次函数y＝ax2的图象与性质
一、阅读课本：P29—31上方 二、学习目标：
1．知道二次函数的图象是一条抛物线； 2．会画二次函数y＝ax2的图象；
3．掌握二次函数y＝ax2的性质，并会灵活应用． 三、探索新知：
画二次函数y＝x2的图象．
【提示：画图象的一般步骤：①列表（取几组x、y的对应值；②描点（表中x、y的数值在坐标平面中描点（x，y）；③连线（用平滑曲线）．】 列表： x ? －3 －2 －1 0 1 2 3 ? y＝x2 ? ? 描点，并连线
由图象可得二次函数y＝x2的性质：
1．二次函数y＝x2是一条曲线，把这条曲线叫做______________．
2．二次函数y＝x2中，二次函数a＝_______，抛物线y＝x2的图象开口__________． 3．自变量x的取值范围是____________．
4．观察图象，当两点的横坐标互为相反数时，函数y值相等，所描出的各对应点关于________对称，从而图象关于___________对称．
5．抛物线y＝x2与它的对称轴的交点（ ， ）叫做抛物线y＝x2的_________． 因此，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的_____________． 6．抛物线y＝x2有____________点（填“最高”或“最低”） ．
四、例题分析
例1 在同一直角坐标系中，画出函数y＝1
x2，y＝x22，y＝2x2的图象．
解：列表并填：
x ? －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 ? y＝1 x2 2 ? ?
2
y＝x2的图象刚画过，再把它画出来． x ? －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ? y＝2x2 ? ?
归纳：抛物线y＝1
2 x2，y＝x2，y＝2x2的二次项系数a_______0；顶点都是__________； 对称轴是_________；顶点是抛物线的最_________点（填“高”或“低”） ．
例2 请在例1的直角坐标系中画出函数y＝－x2，y＝－1
2 x2， y＝－2x2的图象．
列表： x ? －3 －2 －1 0 1 2 3 ? y＝x2 ? ?
x ? －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 ? y=－12 x2 ? ?
x ? －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 ? y＝－2x2 ? ?
归纳：抛物线y＝－x2，y＝－1
2
x2， y＝－2x2的二次项系数a______0，顶点都是________， 对称轴是___________，顶点是抛物线的最________点（填“高”或“低”） ．
五、理一理
1．抛物线y＝ax2的性质 图象（草图） 开口 有最高或方向 顶点 对称轴 最低点 最值 a＞0 当x＝____时， y有最_______ 值，是______． 当x＝____时，a＜0 y有最_______ 值，是______．
2．抛物线y＝x2与y＝－x2关于________对称，因此，抛物线y＝ax2与y＝－ax2关于_______ 对称，开口大小_______________．
3．当a＞0时，a越大，抛物线的开口越___________； 当a＜0时，｜a｜ 越大，抛物线的开口越_________；
因此，｜a｜ 越大，抛物线的开口越________，反之，｜a｜ 越小，抛物线的开口越________．
六、课堂训练 1．填表： 开口方向 顶点 对称轴 有最高或最低点 最值 y＝2当x＝____时，y有最3 x2 _______值，是______． y＝－8x2
2．若二次函数y＝ax2的图象过点（1，－2），则a的值是___________． 3．二次函数y＝(m－1)x2的图象开口向下，则m____________． 4．如图， ① y＝ax2 ② y＝bx2 ③ y＝cx2 ④ y＝dx2
比较a、b、c、d的大小，用“＞”连接． ___________________________________
七、目标检测
1．函数y＝3
7 x2的图象开口向_______，顶点是__________，对称轴是________，
当x＝___________时，有最_________值是_________．
2．二次函数y＝mxm2?2有最低点，则m＝___________．
3．二次函数y＝(k＋1)x2的图象如图所示，则k的取值 范围为___________．
4．写出一个过点（1，2）的函数表达式_________________．
3
22.1.3 二次函数y＝ax2＋k的图象与性质
一、阅读课本：P32—33上方 二、学习目标：
1．会画二次函数y＝ax2＋k的图象；
2．掌握二次函数y＝ax2＋k的性质，并会应用； 3．知道二次函数y＝ax2与y＝的ax2＋k的联系． 三、探索新知：
在同一直角坐标系中，画出二次函数y＝x2＋1，y＝x2－1的图象． 解：先列表
x y＝x2＋1 y＝x2－1 描点并画图
观察图象得： 1． y＝x2 y＝x－1 y＝x2＋1 2 开口方向 顶点 对称轴 有最高（低）点 y＝ax2 y＝ax2＋k a＞0时，当x＝______时，y有最____值为________； a＜0时，当x＝______时，y有最____值为________． ? ? ? －3 －2 －1 0 1 2 3 ? ? ? 最值 增减性
2．抛物线y＝2x2向上平移3个单位，就得到抛物线__________________； 抛物线y＝2x2向下平移4个单位，就得到抛物线__________________．
因此，把抛物线y＝ax2向上平移k（k＞0）个单位，就得到抛物线_______________； 把抛物线y＝ax2向下平移m（m＞0）个单位，就得到抛物线_______________．
3．抛物线y＝－3x2与y＝－3x2＋1是通过平移得到的，从而它们的形状__________，由此可得二次函数y＝ax2
开口方向 顶点 对称轴 有最高（低）点 最值 与y＝ax2＋k的形状__________________．
五、课堂巩固训练
1．填表 函数 草图 开口方向 顶点 对称轴 最值 对称轴右侧的增减性 y＝3x2
2．可以发现，把抛物线y＝x2向______平移______个单位，就得到抛物线y＝x2＋1；把抛物线y＝x2向_______平移______个单位，就得到抛物线y＝x2－1．
3．抛物线y＝x2，y＝x2－1与y＝x2＋1的形状_____________．
四、理一理知识点 1．
4
y＝－3x2＋1 y＝－4x2－5 2．将二次函数y＝5x2－3向上平移7个单位后所得到的抛物线解析式为_________________． 3．写出一个顶点坐标为（0，－3），开口方向与抛物线y＝－x2的方向相反，形状相同的抛
物线解析式____________________________．
4．抛物线y＝4x2＋1关于x轴对称的抛物线解析式为______________________．
六、目标检测
1．填表 函数 开口方向 顶点 对称轴 最值 对称轴左侧的增减性 y＝－5x2＋3 y＝7x2－1
2．抛物线y＝－1 x2－2可由抛物线y＝－1
x233＋3向___________平移_________个单位得到的．3．抛物线y＝－x2＋h的顶点坐标为（0，2），则h＝_______________． 4．抛物线y＝4x2
－1与y轴的交点坐标为_____________，与x轴的交点坐标为_________．
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