华北水利水电学院毕业论文
第3章 对公平选举方法的评定
3.1 研究方法—最小二乘法
对给定平面上的点（xi,yi）,i?1,2,...n,,进行曲线拟合有很多种方法，最小二乘法是
解决曲线拟合最常用的一种方法。最小二乘法的原理是求 Min δ=∑?i2 =∑[f(xi)其中δ
i-yi]2f(x),使
到曲线y=f(x)上（xi,
f(x)i为点（xi,yi）在直线x?xi上）的距离，曲线拟
合的实际含义是寻求一个函数y=f(x),使f(x)在上述准则下与所有数据点最为接近，即曲线拟合得最好最小二乘准则就是使所有散点到曲线距离平方和最小，拟合时选用一定的拟合函数f(x)形式，设拟合函数是一些简单的“基函数”的线性组合如： f(x)=c0?0(x) +现在要确定系数c0,此时δ就成为c0,
c1?1(x)+??cm?m(x)
c1??cm使得δ达到最小，为此，我们将f(x)的表达式代入δ 中，
c1??cm的函数，求δ的极小，可令δ对ci的偏导数等于零，于是得到
一个方程组，从中解出 ci.通常取基函数为1，x,x2,x3??xm,这时拟合的函数是一个多项式函数。当m=1 时
对于形如：
f(x)?a?b?x，称为一元线性拟合函数。
b*xf(x)?a?bx,
f(x)?a?e 的双曲函数和指数函数，我们可以做变量代
换，使其转化为线性函数。
上面只是我们对最小二乘法的介绍，在本文里由于我们不需要拟合数据，所以只是简单的运用最小二乘法的原理。
3.2 建立模型并举例分析
3.2.1 问题的提出
m设有p个席位分给m方，第i方的人数是ai(im?1,2,...,m)记aaia??i?1ai。第i方所分配的
__席位数为xi且?i?1xi?p。按名额分配的应得的席位数为xi?p但这个值可能是小数,我
们用前面我们所列举并研究的方法算出若干组值x
?(x1,x2,...,xm)。现在我们要评定这几组
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m__值哪一组是比较好的，我们主要是运用最小二乘法原理，求??i的最小值这里?i2i?1?xi? xi。
3.2.2 建立模型并举例
用最小二乘法原理
mm2__i ??ii?1??(xi?1?xi)
将每组值带入其中，求得最小值，也即是与应分得的席位数的最小差距，在这里我们忽略了绝对差距而采用平方的形式来进行求解。 下面我们将用几个例子进行运用比较
例1 某校有1000名学生，235人住A宿舍，333人住B宿舍，432人住C宿舍。要组织15人的管理委员会，请给出合理的分配名额 单 位 A B C 人数 235 333 432 占总人数比例% 23.5 33.3 43.2 15个应占名额 3.525 4.995 6.48 下面我们建立一个表格在表格中有我们已经用各种方法算好的席位分配结果 单位 A B C 人口按比例分Q值法 D’Hondt 最大概相对尾数0-1规最大熵数 235 333 432 配名额 3.525 4.995 6.48 4 5 6 3 5 7 率法 3 5 7 法 4 5 6 __划法 4 5 6 法 4 5 6 这道题我们比较的值有两组x={3,5,7}y={4,5,6}作为比较标准是x当x={3,5,7}
mm2i__i?{3.525,4.995,6.48}
??i?1m??(xi?1m?xi)=(3?3.525)__2?(5?4.995)?(7?6.48)?0.5460522
??i?12i??(yi?1i?yi)=(4?3.525)2?(5?4.995)?(6?6.48)22=0.45605
取得最小值为0.45605.
所以我们用这个原理得到的相对比较好的结果是4，5，6。也就是说对于我们这道题我们
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用Q值法，相对尾数法，0-1规划法，最大熵法比较合理。
例2：某林区有5个县供872辆汽车可供造纸厂运输原料之用,其中A县375辆， B县147辆，C县56辆，D县43辆，E县251辆，但该造纸厂每天只需74辆，试确定公平合理的代表汽车数额分配方案。
下面表格中显示的是我们运用几种方法运算出来的分配结果： 单位 A B C D E 375 147 56 43 251 车数 应分得的Q值法 D’Hondt最大概相对尾0-1规划最大熵法 车数 31.82 12.47 4.75 3.65 21.31 32 12 5 4 21 法 33 12 4 3 22 率法 32 12 5 3 22 数法 31 12 5 4 22 法 32 12 5 4 21 32 12 5 4 21 对于这道题我们最后算出了四组不同的分配方案它们是
X={32,12,5,4,21}，Y={33,12,4,3,22}，Z={32,12,5,3,22}，
M={31,12,5,4,22}
计算如下：
___?1=?(xi?xi)___2=(32?31.82)?(12?12.47)?(5?4.75)?(4?3.65)?(21?21.31)
22222 =0.5344
?2=?(yi?xi)___2=(33?31.82)?(12?12.47)?(4?4.75)?(3?3.65)?(22?21.31)
22222 =3.0744
?3=?(zi?xi)___2?(32?31.82)?(12?12.47)?(5?4.75)?(3?3.65)?(22?21.31)
22222 =1.214401
?4=?(mi?xi)2?(31?31.82)?(12?12.47)?(5?4.75)?(4?3.65)?(22?21.31)
22222 =1.5544
?=min{?1, ?2, ?3, ?4}=0.5344
所以最后的结果是这几组解中第一组解比较合理即X?{32,12,5,4,21}
也就是说对于这道题用Q值法，0-1规划，最大熵法计算的比较合理。
我们从以上两个例子可以看出对于不同的情况我们得出的结论也是不同的，即在我们所建立的评定方法中，并不存在绝对公平的方法，那么这也就是说绝对的公平方法是不存
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在的，对于不同情况的问题我们要采用适合其本身的情况的方法进行运算。我们编写了一个程序方便读者进行运算（在附录中）
3.2.3 对美国和台湾地区选举运用的方法进行讨论
美国选举所用过的方法有汉弥尔顿法，杰佛逊法，韦伯斯特法，杭亭顿法，下面我们就来看看这几种方法在运用过程中出现的问题。
首先对于美国选举所用方法我们应尽可能让它满足下面的几个条件： (1) 如总名额增加，则各州名额不应减少。
(2) 各州之配额，应为其所得商数（指[精确的代表数]）之整数或加1，如得3.4应为3
名或4名，称为[满意的商数](satisfying Quota)。 (3) 所有各州应依相同的方法计算。
(4) 计算方法不可人为地牺牲小州以利大州，反之亦然。 (5) 每州应至少分得1名代表。
上述5项特性，第3&5项无问题，兹就第1、2 & 4项特性及所谓「人口矛盾」检验上述4种计算方法。
(1) 总名额增加，各州名额不应减少。 汉弥尔顿法可能发生以下两种矛盾： 1 阿拉巴马矛盾(Alabama paradox) ○
依1880年国势调查人口数统计，以汉弥尔顿法计算，众议院议员总额如为299人，阿拉巴马州的比率为7.646人，分得8名；但总额增为300人，阿拉巴马州的比率为7.671人，却只得7名。此一情况，违反总名额增加，各州名额不应减少之原则。 2 新州矛盾(New states paradox) ○
众议院议员在1907年之前总额为386人，其中纽约州38名，缅因(Maine)州3名，每名平均代表193167人。 1907年奥克拉荷马(Oklahoma)州加入成为新州，该州100万人，依人口比例分配5名，总额增为391人。以汉弥尔顿法计算，纽约州将得37名，减少1名；缅因州将得4名，增加1名。违反总名额增加，各州名额不应减少之原则。 杰佛逊法、韦伯斯特法与杭亭顿法等除数法不会违反「总名额增加，各州名额不应减少」
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之原则。 (2) 满意的商数
比例配额应符合满意的商数，乃汉弥尔顿法的分配原则。 Balinski & Young(1982:chap.10)指出，任何除数法之计算所得无法都在精确的代表数之整数加1范围内。但检视Balinski & Young(1982:158-176)附录，美国1791~1970年国会众议员名额分配资料显示：只有杰佛逊法违反上述满意的商数原则，应选超过30名的大州可能分得精确的代表数整数加2或加3的名额 (3) 有利大州或小州
比例配额之各种计算方法，属机械式的数学计算程式，无须人为地操作，先天上就会有分配偏差的不成比例现象(谢相庆：1996)。 Schuster, et al.(2003)认为：比例配额，以汉弥尔顿法与韦伯斯特法分配所得结果相同，并无有利或不利大小州的情形；但杰佛逊法则呈现显著的议席偏差(seats biases)，较有利于大州。
美国1791~1970年国会众议员名额分配资料显示，杰佛逊法有利人口最多的大州，相对地不利人口较少的小州。杭亭顿法较有利小州得第2名，相对地较不利最大州。汉弥尔顿法、韦伯斯特法居中。以1920年为例，48州分435名，纽约州人口数最多，精确的代表数为42.919，杰佛逊法得45名，汉弥尔顿法与韦伯斯特法得43名，杭亭顿法得42名；人口数较少的新墨西哥州与佛蒙特(Vermont)州，杭亭顿法各得2名，其他算法各得1名。
(4) 人口矛盾(population paradox)
1900年，维吉尼亚州1854184人，应选10名；缅因州694466人，应选3名。 1901年，维吉尼亚州1873951人，增加19767人；缅因州699114人，增加4648人；以汉弥尔顿法计算，维吉尼亚州将得9名减少1名，缅因州将得4名增加1名。
从上面的一些比较过程中我们可以看出现在我们还没有找到一个完美的方法来计算
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