4.3单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质
4.4单位圆的对称性与诱导公式
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1．问题导航
(1)由于α与－α的终边关于x轴对称，故若β与α的终边关于x轴对称，则必有β＝－α，这样说对吗？
(2)角α与角β的所有三角函数值都相等，则α与β有什么关系？ (3)在应用诱导公式时，公式中的角α必须是锐角吗？ 2．例题导读
P20例3.通过本例学习，学会利用α与－α，α与α±π，α与π－α的正弦、余弦函数关系求三角函数值．
试一试：教材P20练习1T1你会吗？
P22例4.通过本例学习，学会利用诱导公式求三角函数值． 试一试：教材P23习题1－4A组T2你会吗？
P22例5.通过本例学习，学会利用诱导公式化简三角函数式． 试一试：教材P24习题1－4A组T8你会吗？ 1．根据单位圆理解正弦函数y＝sin x的性质
根据正弦函数y＝sin x的定义，我们不难从单位圆看出函数y＝sin x有以下性质： (1)定义域是R；
(2)最大值是1，最小值是－1，值域是[－1，1]；
(3)它是周期函数，其周期是2kπ(k∈Z，k≠0)，最小正周期为2π；
ππ3π(4)正弦函数y＝sin x在区间?0，?，?2kπ-，2kπ+?(k∈Z)上是增加的，在区间
2??22??
?2kπ+π，2kπ+3π?(k∈Z)上是减少的．
22??
2．特殊角的终边的对称关系
(1)π＋α的终边与角α的终边关于原点对称； (2)－α的终边与角α的终边关于x轴对称； (3)π－α的终边与角α的终边关于y轴对称． 3．诱导公式
(1)sin(α＋2kπ)＝sin_α，cos(α＋2kπ)＝cos α，.(1.8) (2)sin(－α)＝－sin_α，cos(－α)＝cos α.(1.9)
(3)sin(2π－α)＝－sin α，cos(2π－α)＝cos_α．(1.10) (4)sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos_α．(1.11) (5)sin(π＋α)＝－sin_α，cos(π＋α)＝－cos α.(1.12)
ππ
(6)sin?＋α?＝cos_α，cos?＋α?＝－sin α.(1.13)
?2??2?ππ
(7)sin?－α?＝cos α，cos?－α?＝sin_α．(1.14)
?2??2?
1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)由公式(1.9)知cos[－(α－β)]＝－cos(α－β)．( ) (2)在△ABC中，sin(A＋B)＝sin C．( )
π
(3)sin?α－?＝cos α.( )
2??
π
(4)若α为第二象限角，则sin?＋α?＝cos α.( )
?2?
ππ
(5)sin?－α?＝cos?＋α?.( )
?4??4?
解析：(1)错误．由公式(1.9)知cos[－(α－β)]＝cos(α－β)，故cos[－(α－β)]＝－cos(α－β)是不正确的．
(2)正确．因为A＋B＋C＝π，所以A＋B＝π－C， 所以sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C.
ππ
(3)错误．因为sin?α－?＝－sin?－α?＝－cos α，
2???2?
π
所以sin?α－?＝cos α是错误的．
2??
(4)正确．诱导公式中的角α为任意角，在化简时先限定α为锐角．
πππ
(5)正确．因为－α＋＋α＝，所以成立．
442
答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)√
π1
2．已知sin x＝，则cos?x－?＝( )
3?2?
122A. B. 3321C. D．－ 33
ππ
解析：选A.cos?x－?＝cos?－?－x??
?2???2??
π1＝cos?－x?＝sin x＝. 3?2?
π3πcos?＋α?·cos（2π－α）·sin?－α＋?2??2??
3．化简＝________．
3π??sin（－π－α）·sin
?2＋α?
π
－sin α·cos α·?－sin?－α＋??2????
解析：原式＝
sin α·（－cos α）
sin α·cos α·cos α＝＝－cos α.
－sin α·cos α答案：－cos α 对正弦、余弦函数诱导公式的理解
(1)利用诱导公式，可以将任意角的正弦、余弦函数问题转化为锐角的正弦、余弦函数问题．具体步骤是：首先将任意负角的三角函数利用公式转化为任意正角的三角函数，其次转化为0°～360°的三角函数，然后转化为锐角的三角函数，最后运用特殊角的三角函数值求值．步骤可简记为“负化正，大化小，化到锐角再求值”．如：
20π2π20π?2π
cos?－＝cos＝cos?6π＋?＝cos＝
333?3???ππ1
cos?π－?＝－cos＝－.
323??
(2)所有诱导公式可用口诀“奇变偶不变，符号看象限”来记忆，其中： ①“变”与“不变”是指互余的两个角的三角函数名改变．
π
②“奇”、“偶”是对k·±α中的整数k来讲的．
2
ππ
③“象限”指k·±α中，将α看作锐角时，k·±α所在象限，再根据“一全正，
22
二正弦，四余弦”的符号规律确定原函数值符号．
ππ
例如，将cos?＋α?写成cos?1·＋α?，则“cos”变为正弦函数符号“sin”，
?2??2?因为1是奇数，
πππ
又将α看作锐角时，＋α是第二象限角，cos?＋α?的符号为“－”，故有cos?＋α?＝
2?2??2?
－sin α.
给角求值
求下列各角的三角函数值： (1)cos(－1 290°)；(2)sin 1 230°；
29π5ππ19π?3π(3)cos；(4)sincos?－?＋sin?－cos. 4443??6??(链接教材P22例4)
[解] (1)cos(－1 290°)＝cos 1 290° ＝cos(210°＋3×360°)＝cos 210°
3＝cos(180°＋30°)＝－cos 30°＝－.
2
(2)sin 1 230°＝sin(150°＋3×360°)＝sin 150°
1
＝sin(180°－30°)＝sin 30°＝.
2
29π5π5π(3)cos＝cos?＋6π?＝cos 44?4?
ππ2
＝cos?π＋?＝－cos＝－.
424??
5ππ19π?3π(4)sincos?－?＋sin?－cos 443??6??
ππππ
＝sin?π＋?cos＋sin?－－6π?·cos?π－?
64?4???3??
ππππ
＝－sincos＋sin?－??－cos?
464??3??2332
＝－×＋?－?×?－?＝0.
22?2??2?方法归纳
求正弦、余弦函数值的一般步骤
1．(1)代数式sin 120°cos 210°的值为( )
33A．－ B.
4431C．－ D．
24(2)求下列各三角函数式的值：
31π－?. ①sin 1 320°；②cos??6?
解：(1)选A.由诱导公式可得，sin 120°cos 210°＝sin 60°×(－cos 30°)＝－3
－，故选A. 4
(2)①法一：sin 1 320°＝sin(3×360°＋240°)
3
＝sin 240°＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－.
2
法二：sin 1 320°＝sin(4×360°－120°)＝sin(－120°)
3
＝－sin(180°－60°)＝－sin 60°＝－.
2
31π31π－?＝cos②法一：cos? ?6?67πππ34π＋?＝cos?π＋?＝－cos＝－. ＝cos?6?6???62
31π5π－?＝cos?－6π＋? 法二：cos?6??6??ππ3π－?＝－cos＝－. ＝cos?6??62
给值求值
ππ3
(1)已知sin?－x?＝，则cos?x＋?＝( )
?3?5?6?
34A. B. 55
34C．－ D．－ 55
π5ππ1
(2)已知sin?x＋?＝，则sin?－x?＋cos2?－x?＝________．
?6?4?6??3?
(链接教材P23练习2 T3，P24习题1－4B组T1)
πππ
[解析] (1)由?－x?＋?x＋?＝，
?3??6?2
33×＝22
πππ
故x＋＝－?－x?，
62?3?π
有cos?x＋?
?6?ππ
＝cos?－?－x??
?2?3??π3＝sin?－x?＝.
?3?5
5π
π－x?＝π， (2)因为?x＋?＋?6???6?
5
π－x?＝ 所以sin??6?ππ1
sin?π－?x＋??＝sin?x＋?＝. ??6???6?4
πππ
又因为?x＋?＋?－x?＝，
?6??3?2πππ
所以cos?－x?＝cos?－?x＋??＝
?3??2?6??π1
sin?x＋?＝. ?6?4
5π115π－x?＋cos2?－x?＝＋＝. 所以sin??6??3?41616
5
[答案] (1)A (2)
16
5?． 若本例(1)中条件不变，求“cos??6π－x?”
5ππ
π－x?－?－x?＝， 解：因为??6??3?2ππ5
故π－x＝＋?－x?， 62?3?5
π－x? cos??6?ππ
＝cos?＋?－x??
?2?3??π3
＝－sin?－x?＝－.
5?3?
方法归纳
(1)解答这类给值求值的问题，首先应把所给的值进行化简，再结合被求值的式子的特点，观察所给值的式子与被求式的特点，找出它们之间的内在联系，特别是角之间的关系，恰当地选择诱导公式．
ππππππ
(2)常见的角之间的关系有?－α?＋?＋α?＝；?－α?＋?＋α?＝；A＋B＋C＝
?3??6?2?4??4?2
A＋B＋Cππ，＝(A，B，C是△ABC的三个内角)等．
22
5π3
2．(1)已知sin?＋α?＝，那么cos α＝( )
?2?5
23A．－ B．－ 5532C. D． 55