＋60°)
＝sin 60°cos 30°＋sin 30°cos 60°
3311＝×＋×＝1. 2222
[B.能力提升]
1．在△ABC中，若sin(A＋B－C)＝sin(A－B＋C)，则△ABC必是( ) A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形
解析：选C.因为sin(A＋B－C)＝sin (A－B＋C)，所以sin(π－2C)＝sin(π－2B)，
π
即sin 2C＝sin 2B，所以2C＝2B或2C＝π－2B，即C＝B或C＋B＝，所以△ABC
2
是等腰或直角三角形．
23π?2．设函数f(x)(x∈R)满足f(x＋π)＝f(x)＋sin x．当0≤x<π时，f(x)＝0，则f??6?＝( ) 13A. B． 22
1
C．0 D．－ 2
解析：选A.因为f(x＋π)＝f(x)＋sin x， 所以f(x＋2π)＝f(x＋π)－sin x.
所以f(x＋2π)＝f(x)＋sin x－sin x＝f(x)． 所以f(x)是以2π为周期的周期函数．
23π??ππ又f?＝f4π－?＝f?－?，
6??6??6??
πππf?－＋π?＝f?－?＋sin?－?， ?6??6??6?
5ππ1所以f??＝f?－?－.
?6??6?2
5π
因为当0≤x<π时，f(x)＝0，所以f??＝0，
?6?
23π??π?1所以f??6?＝f?－6?＝2.故选A.
π3π
3．若α是三角形的一个内角，且cos?－α?＝－cos，则α＝________．
6?2?
3π3
解析：因为cos?－α?＝－sin α＝－，
2?2?
3
所以sin α＝.
2
又因为α是三角形的一个内角，
π2π
所以α＝或.
33π2π答案：或 33
4．若函数f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，其中a，b，α，β都是非零实数，且满足f(2 014)＝2，则f(2 015)＝________．
解析：因为f(2 014)＝asin(2 014π＋α)＋bcos(2 014π＋β)＝2， 所以f(2 015)＝asin(2 015π＋α)＋bcos(2 015π＋β) ＝asin [π＋(2 014π＋α)]＋bcos [π＋(2 014π＋β)] ＝－[asin(2 014π＋α)＋bcos(2 014π＋β)]＝－2.
答案：－2
3－α＋π?sin（α－3π）·cos（2π－α）·sin?2??
5．已知f(α)＝.
cos（－π－α）·sin（－π－α）
(1)化简f(α)；
31
α－π?＝，求f(α)的值； (2)若α为第四象限角且sin?2?5?
31
(3)若α＝－π，求f(α)．
3
（－sin α）·cos α·（－cos α）
解：(1)f(α)＝＝－cos α.
（－cos α）·sin α3π1α－2π?＝sin?α＋?＝cos α＝， (2)因为sin???52??
1
所以f(α)＝－cos α＝－.
5
3131－π?＝－cos?－π? (3)f??3??3?
5π51
－6×2π＋π?＝－cosπ＝－cos＝－. ＝－cos?3??332
kπ
6．(选做题)已知f(k)＝sin，k∈Z.
4
(1)求证：f(1)＋f(2)＋…＋f(8)＝f(9)＋f(10)＋…＋f(16)； (2)求f(1)＋f(2)＋…＋f(2 015)的值．
kπkπk＋8?
解：(1)证明：因为sin＝sin?2π＋?＝sin?44???4π?(k∈Z)， 所以f(k)＝f(k＋8)，
所以f(1)＋f(2)＋…＋f(8)＝f(9)＋f(10)＋…＋f(16)． (2)由(1)可知f(k)是以8为一个周期的周期函数， 而2 015＝251×8＋7，
所以f(1)＋f(2)＋…＋f(2 015)＝251[f(1)＋f(2)＋…＋f(8)]＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)．
又因为f(1)＋f(2)＋…＋f(8)
π2π8π
＝sin＋sin＋…＋sin＝0，
444所以f(1)＋f(2)＋…＋f(2 015)
＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)
π2π3π4π5π6π7π＝sin＋sin＋sin＋sin＋sin ＋sin ＋sin 4444444ππ3πππ3π＝sin ＋sin ＋sin ＋sin π－sin －sin －sin ＝sin π＝0.
424424