第四章 不定积分 习题课
1．原函数 若F?(x)?f(x)，则称F(x)为f(x)的一个原函数． 若F(x)是f(x)的一个原函数，则f(x)的所有原函数都可表示为F(x)?C．
2．不定积分 f(x)的带有任意常数项的原函数叫做f(x)的不定积分，记作?f(x)dx．
若F(x)是f(x)的一个原函数，则?f(x)dx?F(x)?C， 3．基本性质
1）[?f(x)dx]??f(x)，或d[?f(x)dx]?f(x)dx； 2）?dF(x)?F(x)?C，或?F?(x)dx?F(x)?C； 3）?[f(x)?g(x)]dx??f(x)dx??g(x)dx； 4）?kf(x)dx?k?f(x)dx，（k?0，常数）．
4．基本积分公式（20个）
原函数与不定积分是本章的两个基本概念，也是积分学中的两个重要概念。
不定积分的运算是积分学中最重要、最基本的运算之一． 5. 例题
例1 已知f(x)的一个原函数是ln2x，求f?(x)．
?21?2lnx??(1?lnx)． 解 f(x)?(lnx)??2lnx?， f?(x)???2xx?x?2. 1 .
例2 设?f(x)dx?2sinx2?C，求f(x)． 解 积分运算与微分运算互为逆运算，所以
f(x)?[?f(x)dx]??[2sinx2?C]??cosx2．
例3 若f(x)的一个原函数是2x，求?f?(x)dx．
解 因为2x是f(x)的原函数，故f(x)?(2x)??2xln2，所以
?f?(x)dx?f(x)?C?2xln2?C．
例4 求不定积分?3?xexdx．
解 被积函数为两个指数函数的乘积，用指数函数的性质，将其统一化为一个指数函数，然后积分．即
?3?xexdx??(3?1e)xdx ?13?xex?1xln(3?1e)(3e)?C?1?ln3?C．
例5 求不定积分???sinx???x2??dx． 解 利用求导运算与积分运算的互逆性，得
????sinx?sinx?x2??dx?x2?C．
例6 求不定积分?x?3x5dx．
x3解 先用幂函数的性质化简被积函数，然后积分．
?x?3x11265?x3dx??x1?133?5dx?x15dx?151526x?C．
. 2 .
例7 求不定积分?x3?x2?3x?1dx． 3x?x解 分子分母都是三次多项式函数，被积函数为假分式，先分解为多项式与真分式的和，再积分，也即
?x3?x2?3x?1x3?x?x2?1?2xdx??dx 33x?xx?x
2??1???1??2?dx?x?ln|x|?2arctanx?C．
xx?1??
例8 求不定积分?1dx．
1?cos2x解 用三角恒等式cos2x?1?2sin2x将被积函数变形，然后积分．
?
11112?cscxdx??cotx?C． dx??dx1?cos2x2?22sin2x例9 求不定积分?(tan2x?sec2x)dx．
解 用三角恒等式tan2x?sec2x?1将被积函数统一化为sec2x的函
数，再积分．
?(tan2x?sec2x)dx??(sec2x?1?sec2x)dx
x?x?C． ??(2sec2x?1)dx?2tan
1?2x2例10 求不定积分?2dx． 2x(1?x)解
?1?2x2x2?1?x2dx??2dx??x2(1?x2)x(1?x2)11??1?arctanx??C． ?dx??22x1?xx??. 3 .
例11 求不定积分?1dx．
x4(1?x2)解 类似于例10，拆项后再积分
?1?x2?x2?x4?x41dx??dx
x4(1?x2)x4(1?x2)11111?????arctanx?C． ???dx?4?2??32?xx1?x?3xx
例12 一连续曲线过点(e2,3)，且在任一点处的切线斜率等于求该曲线的方程．
解 设曲线方程为y?f(x)，则f?(x)? f(x)??2，积分得 x2，x2dx?2lnx?C． （曲线连续，过点(e2,3)，故x?0） x将f(e2)?3代入，得3?2lne2?C，解出C??1．所以，曲线方程为y?2lnx?1．
例13 判断下列计算结果是否正确
1(arctanx)21x3???C． dx?ln1?edx?(arctanx)?C1）?； 2）x?21?e31?x?(arctanx)2?1?3解 1）?(arctanx)?C??，所以计算结果正确． 21?x?3?ex1??2）ln(1?e)?C?， 计算结果不正确，即
1?ex1?ex?x??
1dx?ln1?ex?C． x1?e??. 4 .
以下积分都要用到“凑微分”．请仿照示例完成其余等式 1）a?0时，?f(ax?b)dx?1f(ax?b)d(ax?b)． ?a2）?f(sinx)cosxdx??f(sinx)dsinx． 3）?f(cosx)sinxdx? 4）?f(lnx)dx?
5）a?0，a?1时，?f(ax)axdx? 6）??0时，?f(x?)x??1dx? 7）?f(tanx)sec2xdx? 8）?f(cotx)csc2xdx? 9）?f(arcsinx)10）?f(arctanx)11）?11?x21xdx?
1dx? 21?xf?(x)dx? f(x)lntanxdx．
sinxcosx例14 求? 解
?lntanxlntanxlntanxdx???sec2xdx??dtanx
sinxcosxtanxtanx ??lntanxd(lntanx)??lntanx?2?C．
. 5 .
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