注 由于被积函数中含有lntaxn，表明taxn?0，故
1． dtanx?dlntaxntanx例15 求下列不定积分 1）?lnxx1?lnxdx； 2）?x(1?x)100dx．
dx??lnx?1?11?dx (请注意加1、减1的技巧) 1?lnxx解 1）?lnxx1?lnx ?????1?lnx??d(1?lnx) 1?lnx??2 ?(1?lnx)2?2(1?lnx)2?C．
331?1?2）?x(1?x)100dx??(x?1?1)(1?x)100dx
??(x?1)101d(x?1)??(x?1)100d(x?1) ?11(x?1)102?(x?1)101?C． 102101例16 设?f(x)dx?x2?C，不求出f(x)，试计算不定积分?xf(1?x2)dx． 解 ?xf(1?x2)dx??1222f(1?x)d(1?x)1?x （将看作变量u） ?21??(1?x2)2?C． 2
例17 设f(x)?e?x，求?f?(lnx)dx． x解 先凑微分，然后利用?f?(u)du?f(u)?C写出计算结果．即
?
f?(lnx)1dx??f?(lnx)dlnx?f(lnx)?C?e?lnx?C??C． xx. 6 .
例18 计算不定积分?1dx．
x4(1?x2)1t 【提示】 分母中有xk时，考虑用“倒代换”x?．
解 设x?11，则dx??2dt， tt1 ?4dx??21x(1?x)t4?1?2?1??t?1??2??t?1t4t4?1?1?dt???dt ?dt???221?t1?t?t31??2 ????t?1?dt???t?arctant?C 2?31?t?? ??例19 求不定积分?解
111??arctan?C． 3xx3x1x(x?4)6dx．
?1x(x6?4)dx??1x5?dx6x6(x6?4)?1d(x6) 66x(x?4)?11????tt?4??dt ??
x6?t16?11dt ?24?t?t?4?1x61tln?C． ?ln?C ?24x6?424t?4分部积分
?uv?dx凑微分?udv交换u、vuv??vdu?uv??u?vdx．
目的，使公式右边的积分?u?vdx要比左边的积分?uv?dx容易计算，关键在于正确地选取u和凑出． 例 20 求不定积分?arcsinxxdx．
解一 这是一道综合题，先作变量代换，再分部积分．令t?x，
. 7 .
则x?t2，dx?2tdt，
?arcsinxxdx??arcsinttdt2tdt?2?arcsin? ???tvu
?2tarcsint??tdarcsint?2tarcsint?2???t1?t2dt
?2tarcsint??11?t2d(1?t2)
?2tarcsint?21?t2?C
?2xarcsinx?21?x?C．
解二 先凑微分，再代换，最后分部积分，即
?arcsinxxdx?2?arcsinxdxt1?t2x?t2?arcsintdt
?2tarcsint?2?dt
n?21?x?C． ?2tarcsti?n21?t2?C?2xarcsix
例 21 已知f(x)的一个原函数是e?x2，求?xf?(x)dx．
【提 示】 不必求出f?(x)，直接运用分部积分公式． 解 由已知条件，f(x)?e??，且?f(x)dx?e?x2??x2?C，故
?xf?(x)dx??xdf(x)?xf(x)??f(x)dx
?xe?x????e2?x2?C??2x2e?x?e?x?C．
22
. 8 .
例 22 设f?(lnx)?(x?1)lnx，求f(x)．
解 先求出f?(x)的表达式．设lnx?t，则x?et，
f?(t)?t(et?1)．
f(t)??t(et?1)dt??tdet??tdt
t2t2tt ?te??edt??te?e??C,
22ttx2所以 f(x)?xe?e??C．
2xx例23 求不定积分?解 将分子凑成
x5?x4?2dx． x3?xx2(x3?x)?x(x3?x)?x3?x?x2?x?2，
把分式化为多项式与真分式的和
x5?x4?2x2?x?22?x?x?1?； 33x?xx?xx2?x?2再将真分式3化为最简分式的和，
x?xx2?x?2(x?2)(x?1)x?22(x?1)?x21， ?????x3?xx(x?1)(x?1)x(x?1)x(x?1)xx?1于是
?x5?x4?2212dx?(x?x?1??)dx 3?x?xxx?1x3x2 ???x?2lnx?lnx?1?C．
32
. 9 .
例24 求不定积分? 解
1?x8dx．
x(1?x8)?1?x8dx?8x(1?x)?1?x817xdx?8x8(1?x8)?1?x88d(x) 88x(1?x) ?11?u8u?x （换元，令） du?8u(1?u)?1?12????du 8??u1?u?18141814 ?lnu?ln(1?u)?C?lnx8?ln?1?x8??C ?ln|x|?ln?1?x8??C． 例25 求不定积分? 解
1dx． 1?sinx1411?sinx1?sinxdx?dx??1?sinx?1?sin2x?cos2xdx
??(sec2x?tanxsecx)dx?tanx?secx?C． 例26 求不定积分?1?1?x6(1?x)(1?1?x)53dx．
解 为同时去掉三个根式，设61?x?t，则x?t6?1，dx?6t5dt，
?1?1?x6(1?x)(1?1?x)53dx??1?t3t3?t?t?156tdt ?6?dt 522t(1?t)1?t ?6???t??t1??dt 22?1?t1?t??3t2?3ln1?t2?6arctant?C??
?331?x?3ln1?31?x?6arctan61?x?C．
??
. 10 .