21．(本小题满分14分)
已知函数f(x)的定义域为[0,1]，且同时满足：①f(1)＝3；②f(x)≥2对一切x?[0,1]恒成立；③若x≥0，x≥0，x+x≤1，则f(x+x)≥f(x)+f(x)-2． ①求函数f(x)的最大值和最小值； ②试比较f(1)与1+2(n?N)的大小；
121212122n2n③某同学发现：当x=1(n?N)时，有f(x)<2x+2，由此他提2n出猜想：对一切x?[0,1]，都有f(x)<2x+2，请你判断此猜想是否正确，并说明理由．
黄冈中学2019届10月月考试题数学(理科)
参考答案
一、选择题
1．C 2．A 3．D 4．B 5．D 6．C 7．D 8．D 9．B 10．A
二、填空题 11．39 12．(2,??) 13．2或3 14．2018 15．①②③④
三、解答题 16．解：
(1) A?{x|?1?x?3,x?R}，B?{x|m?3?x?m?3,x?R,m?R}，
AB??1,3??m?4
(2)p是?q的充分条件，?A?eRB，?m?6或m??4．
17．解：
(1)∵f(x)?又
(x)5x，∴f[g(x)]?g5(g x)?3x?35g(x)3x?12?4?x，解得g(x)?f[g(x)]?4?x，∴； g(x)?3x?1(2)∵反函数的自变量就是原函数的函数值
∴在g(x)?3x?12中有5?3x?12，解得x??17，
x?1x?12∴g?1(5)??17．
218．解：
(1)解：设等差数列{a}的公差为d，则依题知d?0，由
a?a?a?a?16且a?a?55得
a?5,a?11,d?2?a?a?(n?3)?2?2n?1；
(2)令cn?bnn，则有a?c?c??c，a?c?c??c，两式
n27363636n32n12nn?112n?1相减得：
a?a?c由(1)得an?2时，
n?1nn?11?1,an?1?an?2，cn?1?2,cn?2(n?2),即当
bn?2cn?2nn?1?2, (n?1)，又当n?1时，b1?2a1?2，?bn??n?1
2 (n?2)??bn?2?23?24??2n?1?2?22??2n?1?4
于是：Sn?b1?b2?2(2n?1?1)??2n?2?6． 2?119．解：
(1)设f(t)?a(t?20)即f(t)??2?60，由f(0)?0可知a??3 2033(t?20)2?60??t2?6t (0?t?40,t?N)； 2020(2)设销售利润为g(t)万元，则
32?2t(?t?6t)(0?t?30)??20 g(t)???60(?3t2?6t)(30?t?40)?20?当30?t?40时，g(t)单调递减；
当0?t?30时，g(t)??9t'210易知g(t)在(0,?24t，
80单增，80(,30))33单减，而t?N，故比较g(26)，g(27)，经计算，
g(26)?2839.2?g(27)?2843.1，故第一批产品A上市后的第27天这家公司日销售利润最大，最大利润是2843.1万元． 20．解：
(1)f(x)是定义域为R上的奇函数，
?f(0)?0,?k?1?0,?k?1
f(1)?0,?a?1?0，又a?0且a?1,?a?1. a易知f(x)在R上单调递增，原不等式化为：f(x2?2x)?f(4?x)
?x2?2x?4?x，即x2?3x?4?0?x?1或x??4 ?不等式的解集为{x|x?1或x??4}； (2)
f(1)?313,?a??，即2a2?3a?2?0,?a?2或a??1(舍去) 2a22?g(x)?22x?2?2x?2m(2x?2?x)?(2x?2?x)2?2m(2x?2?x)?2，
令t?f(x)?2x?2?x
3x?1,?t?f(1)?,?g(t)?t2?2mt?2?(t?m)2?2?m2
2当m?3时，当t?m时，g(t)min?2?m2??2,?m?2
2当m?3时，当t?3时，g(t)min?17?3m??2，
224解得m?25?3，舍去
122综上可知m?2． 21．解：
(1)设x,x?[0,1]，x?x，则x?x?[0,1] ∴f(x)?f[(x?x)?x]?f(x?x)?f(x)?2 ∴f(x)?f(x)?f(x?x)?2?0
∵f(x)?f(x)，则当0?x?1时，f(0)?f(x)?f(1) ∴当(x)?1时，f(x)取得最大值f(1)?3；
1212212211211212112又f(0)?f(0?0)?2f(0)?2?f(0)?2而f(0)?2∴f(0)?2 当x?0时，f(x)取得最小值f(0)?2
(2)在③中令x?x?1，得f(1)?2f(1)?2
122n2n?12n∴f(1)?2?1[f(∴
2211f(n)?n?2 22n1)?2]?2n?1?111[f()?2]?2n202n
(3)对x?[0,1]，总存在n?N，满足由(1)(2)得：f(x)?f(1)?2n11?x?2n?12n1?2 2n又2x?2?2
11?2??2∴f(x)?2x?2 n?1n22综上所述，对任意x?(0,1]，f(x)?2x?2恒成立