?ZT：X(z)??ZT[x(n)]?IZT：x(n)?IZT[X(z)]?（2）性质——课本49页表2.3.3
n????x(n)zc?nRx??|z|?Rx? Rx??|z|?Rx?
2?j?1X(z)zn?1dz（3）收敛域与基本序列Z变换——课本45页表2.3.1、表2.3.2 3. 离散时间信号Z变换与SFT的关系
Z变换是由SFT推广得到的，反过来，如果某序列的Z变换的收敛域包括z?ej?，则也可以通过ZT求得序列的SFT。即
X(z)|z?ej??n????x(n)e??j?n?X(ej?)
上式表明，SFT正是序列的ZT在z?ej?的值
（二） 离散时间系统
1.系统函数的收敛域与系统因果性和稳定性
当且仅当系统函数H(z)的收敛域为小于单位圆的某个圆的园外时，系统是因果稳定的。
2.系统函数的零极点分布与系统因果性和稳定性
若系统是因果稳定的，则H(z)的极点必定在单位圆内。 3.系统函数的零极点分布对系统频率响应特性的影响
1、对极点而言：当单位圆上的点转到某个极点附近时，|H(ej?)|在这附近出现峰值。极点越靠近单位圆，振幅特性的峰值越大，当极点出现在单位圆上时，振幅特性将出现无穷大，系统不稳定。
2、对零点而言：当单位圆上的点转到某个零点附近时，|H(ej?)|在这附近出现谷点。当零点出现在单位圆上时，振幅特性为零。零点可以位于单位圆外，不影响稳定性。 两个概念——
1、最小相位系统：系统H(z)的全部零极点都在单位圆内，某点在单位圆上逆时针旋转一周时，系统的相位变化最小。
2、最大相位系统：H(z)的全部零点在单位圆外，系统的相位变化最大。
说明：处于坐标原点的零极点不影响系统的幅频响应；利用零极点分析系统的幅频响应，仅对低阶系统有效。
（三） 离散时间信号与模拟（连续）时间信号
1．时域关系
设连续时间信号xa(t)，离散时间信号x(n)，则
x(n)?xa(nT)?xa(t)|t?nT
2．频域关系
1?X(e)|???T??Xa[j(??m?s)]
Tm???j?在时域对信号抽样，其频域的特征就是频谱以采样频率?s为周期进行周期延拓。
一个域的离散必然导致另一个域的周期延拓 一个域的周期延拓必然导致另一个域的离散
对应变量的关系：??单位：rad??单位：Hz
???T
由于???s，所以?max??sT?2?
三、离散傅里叶变换（DFT）
（一） 离散傅里叶级数变换（DFST）
说明：周期序列不满足绝对可和的条件，不适用于序列傅里叶变换的定义式，但是它可以展开成离散傅里叶级数（Discrete Fourier Series，DFS），利用离散傅里叶级数可以得到周期序列的离散傅里叶变换表示式。 1.定义
nkDFST：X(k)??x(n)WN,???k??
n?0N?11N?1?nkIDFST：x(n)??X(k)WN,???n??
Nn?0注：1、周期单位复指数序列WnkN?e?j2?nkN,W?nkN?ej2?nkN
周期单位复指数序列对n、k而言都是以N为周期的，即
(n?N)knkWN?WN,???n,k?? n(k?N)nkWN?WN,???n,k??
(nk?N)nkWN?WN,???n,k??
2、周期为N的周期序列x(n)可以分解成N个周期复指数序列的和，这些周期复
指数序列的数字角频率为傅里叶级数
X(k)决定。 N2?k(k?0,1,2,???,N?1)周，它们的幅度和相位由离散N2.基本周期序列的离散傅里叶级数变换
时域序列 离散傅里叶级数变换（DFST） 1 ?(n) 1 ej2?mnNN?(k) N?(k?m) N[?(k?m)??(k?m)]/2 ?jN[?(k?m)??(k?m)]/2 cos(2?mn/N) sin(2?mn/N) 3.周期序列的离散傅里叶变换
2?X(e)?Nj?k?????X(k)?(??2?k) N可类比信号系统中周期信号的傅里叶变换，具体推导过程见课本76页。
（二） 离散傅里叶变换（DFT）
1.定义
nkDFT：X(k)??x(n)WN,0?k?N?1
n?0N?11N?1?nkIDFT：x(n)??X(k)WN,0?n?N?1
Nn?0要点：
（1）DFT没有实际的物理含义，但是可以理解为SFT的等间隔采样，即
X(k)?X(ej?)|（2）变换区间：[0,N-1]，有限长N点
??2?kN,0?k?N?1
（3）变换结果：与序列长度N有关，当N足够大时，X(k)的包络趋近于X(ej?)曲线
（4）频谱分析的意义：
如果x(n)是模拟信号的采样，采样间X(k)表示?k?(2?/N)k频点的幅度谱线，
隔为T，???T?2?f/T，则k与相应的模拟频率的关系为：?k?即fk?2?k?2?fkT Nk1Hz。所。对模拟频率域而言，N点DFT意味着频域采样间隔为
NTNT1为频率分辨率。而NT表示时域采样的区间NT以用DFT进行谱分析时，称F?长度(即观察时间或记录长度TP?NT)，显然为了提高分辨率就必须是记录长度足够大。
（5）DFT的隐含周期性
1）DFT是SFT的等间隔采样，而X(ej?)以2?为周期；
k(k?mN)2）WN的周期性 ?WN3）时域抽样，频域周期延拓；频域采样，时域周期延拓 2.DFT的主要性质 性质 线性性质 时域循环移位性质 频域循环移位性质 时域循环卷积 频域循环卷积 复共轭序列的DFT 共轭对称性 时域（x(n)、y(n)） 频域（X(k)、Y(k)） ax1(n)?bx2(n) x((n?m))NRN(n) nlWNx(n) aX1(k)?bX2(k) ?kmWNX(k) X((k?l))NRN(k) x1(n)?x2(n) X1(k)X2(k) 1X1(k)?X2(k) Nx1(n)x2(n) x(n)? X*(N?k) xep(n) xop(n) xR(n) XR(k) jXI(k) Xep(k) jxI(n) 帕斯瓦尔定理 3.基本序列的离散傅里叶变换
1N?1|x(n)|??|X(k)|2 ?Nk?0n?02N?1Xop(k)
时域序列 离散傅里叶级数变换（DFST） 1 N?(k) N?(k?m) ?(n) RN(n) ej2?mnNRN(n) cos(2?mn/N)RN(n) sin(2?mn/N)RN(n) 4.频域采样定理
N[?(k?m)??(k?N?m)]/2 ?jN[?(k?m)??(k?N?m)]/2 设序列x(n)的傅里叶变换为X(ej?)，在区间[0,2?)内对X(ej?)进行N点等间隔采样（采样间隔为2?/N）得到序列X(k)，且X(k)对应的IDFT为xN(n)，则
xN(n)?r????x(n?rN)
? 这是因为，在频域内对X(ej?)等间隔采样，导致时域序列x(n)周期延拓，并且在区间[0,2?)采样得到的序列X(k)的IDFT是原序列以N为周期进行周期延拓后的主值序列。若序列的长度为M，那么只有当频域采样点数N?M时，才有xN(n)?x(n)，此时才能由频域采样序列X(k)恢复X(ej?)。
（三）连续信号傅里叶变换（CFT）、序列傅里叶变换（SFT）、离散傅里叶级数变换（DFST）、离散傅里叶变换（DFT）的关系
xa(t)CFT 抽样t?nTsx(n)截短周期延拓周期延拓x(n)d(n)xN(n)xN(n)SFTDFST取主值DFTSFT周期延拓周期延拓j?卷积j?抽样Xa(j?)XN(k)X(e)X(e)?D(ej?)XN(k)?s?2?/Ts取主值