让更多的孩子得到更好的教育
【典型例题】
类型一、锐角三角函数的概念与性质
1．如图，在4×4的正方形网格中，tanα=( ) (A)1 (B)2 (C)
15 (D) 22
【思路点拨】把∠α放在一个直角三角形中，根据网格的长度计算出∠α的对边和邻边的长度. 【答案】B；
【解析】根据网格的特点：设每一小正方形的边长为1，可以确定∠α的对边为2，邻边为1，然后利用
正切的定义tan????的对边 ， 故选B.
??的邻边【总结升华】本题考查锐角三角函数的定义及运用，可将其转化到直角三角形中解答，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边． 举一反三：
【变式】在Rt△ABC中，∠C=90°,若AC=2BC，则sinA的值是( ) (A)
155 (B)2 (C) (D) 252【答案】选C.因为∠C=90°，AB=AC2+BC2=5BC，所以sinA?
类型二、特殊角的三角函数值
2．已知a＝3，且4na(t45BCBC5. ??AB55BC1)°3?b2??0?b?c2，以a、b、c为边长组成的三角形面积等于( )．
A．6 B．7 C．8 D．9
?4tan45°?b?0,?【思路点拨】根据题意知?求出b、c的值，再求三角形面积. 13?b?c?0,??2【答案】A；
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?4tan45°?b?0,?b?4,?【解析】根据题意知? 解得 1?3?b?c?0,?c?5.??2所以a＝3，b＝4，c＝5，即a?b?c，其构成的三角形为直角三角形，且∠C＝90°， 所以S?2221ab?6． 2【总结升华】
利用非负数之和等于0的性质，求出b、c的值，再利用勾股定理的逆定理判断三角形是直角三角形，注意tan45°的值不要记错． 举一反三： 【变式】 计算：
.
【答案】原式
.
3．如图所示，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝10，AC＝5，求sinB·sinC的值．
【思路点拨】
为求sin B，sin C，需将∠B，∠C分别置于直角三角形之中，另外已知∠A的邻补角是60°，若要使其充分发挥作用，也需要将其置于直角三角形中，所以应分别过点B、C向CA、BA的延长线作垂线，即可顺利求解．
【答案与解析】
解：过点B作BD⊥CA的延长线于点D，过点C作CE⊥BA的延长线于点E．
∵∠BAC＝120°，∴∠BAD＝60°．
∴AD＝AB·cos60°＝10×
1＝5； 2BD＝AB·sin60°＝10×又∵CD＝CA+AD＝10，
3＝53． 2地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第7页 共12页
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∴BC?BD2?CD2?57，
BD21． ?BC721． 1421213??． 71414∴sin?BCD? 同理，可求得sin?ABC? ∴sin?ABCsin?BCD?【总结升华】由于锐角的三角函数是在直角三角形中定义的，因此若要求某个角的三角函数值，一般可
以通过作垂线等方法将其置于直角三角形中．
举一反三：
【变式】如图，机器人从A点，沿着西南方向，行了
个单位，到达B点后观察到原点O在它的南偏
东60°的方向上，则原来A的坐标为__________.(结果保留根号)．
【答案】
类型三、解直角三角形及应用
【高清课堂：锐角三角函数综合复习 ID：408468 播放点：例3】
4．在△ABC中，∠A＝30°，BC＝3，AB＝33，求∠BCA的度数和AC的长．
【思路点拨】
由于∠A是一个特殊角，且已知AB，故可以作AC边上的高BD(如图所示)，可求得BD?33．由2于此题的条件是“两边一对角”，且已知角的对边小于邻边，因此需要判断此题的解是否唯一，要考虑对边BC与AC边上的高BD的大小，而【答案与解析】
解：作BD⊥AC于D．
33?BC?33，所以此题有两解． 2地址：北京市西城区新德街20号4层 电话：010-82025511 传真：010-82079687 第8页 共12页
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(1)C1点在AD的延长线上．
在△ABC1中，BC1?3，BD?33， 2∴sinC1?3． 239，AD?． 22∴∠C1＝60°．
由勾股定理，可分别求得DC1?∴AC1＝AD+DC1＝
93??6． 22(2)C2点在AD上．
由对称性可得，∠BC2D＝∠C1＝60°，
C2D?C1D?3． 293??3． 22∴∠BC2A＝120°，AC2? 综上所述，当∠BCA＝60°时，AC＝6；当∠BCA＝120°时，AC＝3． 【总结升华】
由条件“两边一对角”确定的三角形可能不是唯一的，需要考虑第三边上的高的大小判断解是否唯一．
【高清课堂：锐角三角函数综合复习 ID：408468 播放点：例4】
5．如图所示，某船向正东航行．在A处望见灯塔C在东北方向，前进到B处望见灯塔C在北偏西30°方向，又航行了半小时到D处，望见灯塔C恰在西北方向，若船速为每小时20海里，求A，D两点间的距离(结果保留根号)．
【思路点拨】
作CE⊥AD，用CE可以表示出AE、DE，根据AD的长，可以得到关于CE的方程，就可以求得CE的长． 【答案与解析】
解：作CE⊥AD于E，设CE＝x(海里)， ∵∠CAD＝∠CDA＝45°，
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∴CE＝AE＝DE＝x．
在Rt△CEB中，∠CBE＝60°，BE＝DE-BD＝x-10． ∴
xCE??tan60°?3． x?10BE解得 x?30?15?53．
3?3∴AD＝2x＝(30+103)(海里)．
答：A，D两点间的距离为(30?103)海里．
【总结升华】
解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．
已知斜三角形中的SSS，SAS，ASA，AAS以及SSA条件，求三角形中的其他元素是常见问题，注意划归为常见的两个基本图形(高在三角形内或高在三角形外)(如图所示)：
举一反三：
【变式】坐落在山东省汶上县宝相寺内的太子灵踪塔始建于北宋(公元1112年)，为砖砌八角形十三层楼阁式建筑．数学活动小组开展课外实践活动，他们去测量太子灵踪塔的高度，携带的测量工具有：测角仪、皮尺、小镜子．
(1)小华利用测角仪和皮尺测量塔高．下图为小华测量塔高的示意图．她先在塔前的平地上选择一点A，用测角仪测出看塔顶(M)的仰角α＝35°，在点A和塔之间选择一点B，测出看塔顶(M)的仰角β＝45°，然后用皮尺量出A，B两点间的距离为18.6m，量出自身的高度为1.6m．请你利用上述数据帮助小华计算出塔的高度(tan35°≈0.7，结果保留整数)．
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