四川省绵阳市2013届高三二诊模拟试题
理科数学参考答案
一、选择题：1、B 2、C 3、A 4、C 5、D 6、A 7、B 8、B 9、B 10、D 二、填空题：11、?3?2n?1（n?N*） 12、8 13、三、解答题：
16、解：（I）由题意知AB?BC?|AB||BC|cos??6. ????1分
??????????1???1???S?|AB||BC|sin(???)?|AB||BC|sin?22?????1???1?|AB||BC|cos?tan???6tan??3tan?.????4分22433 14、
45 15、①②④
?3?S?33,即3?3tan??33.?1?tan??3.
又???[0,?],???[??,].????6分43 （II）f(?)?sin2??2sin?cos??3cos2??1?sin2??2cos2? ?2?sin2??cos2??2?2sin(2???4). ????9分
???[??43,],?2???3?4?4?[3?11?,].42时,f(?)最大,最大值为3.????12分?当2???4,即???4
zP17、证明：（Ⅰ）作PO?平面ABC于点O，∵PA?PB?PC， ∴OA?OB?OC，即O为?ABC的外心 又∵?ABC中，?ACB?90?
故O为AB边的中点
D 所以PO?平面PAB
即证：平面PAB?平面ABC． ．．．．．．．6分 Ax?（Ⅱ）∵?ABC中，?ACB?，AC?CB?2，∴OA?OB?OC?2BOCy2
????????∵CB?2AD，且异面直线PC与AD的夹角为60?，PB?PC
∴?PCB?60?，∴?PCB为正三角形，可解得PO?2. 以O为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系O?xyz，则
A(2,0,0)，B(?2,0,0)，C(0,2,0)，P(0,0,2)
·6·
????????22 CB?(?2,?2,0)?2AD，∴D(,?,0)． …………………….9分
22?设平面PCD的法向量为n?(x,y,z)
????????2?32,,0) ?CP?(0,?2,2)，CD?(22??????n?CP??2y?2z?0??由?????， 取n?(3,1,1) ?232x?y?0?n?CD??22平面ACD的法向量为OP?(0,0,2) ??????????OP?n111∴cos?OP,n?????. ????1111OP?n1111????由图可知，所求二面角P?CD?A为钝角，其的余弦值为?． ……….12分
18、解：⑴f?sinx??2sin2x?1?1?sin2x?2sinx?3?sin2x?2sinx?3
所以f?x??x2?2x?3??1?x?1?. ???????5分
12⑵①当x?时，f???0.不成立.
?2?1212121232?1?②当?1?x?2时，x??0,令t??x,则x??t,0?t?.
?1??1???t??2??t??37?2??2?2a??t??3,
t4t因为函数h?t??t?1284?3??3??3在?0,上单增，所以2a?h???a??. ???4t33?2??2?12?0,令t?x?12,则x?12?t,0?t?12.
7③当?x?1时，x?2?1??1???t??2??t??37?2??2?2a??t??3,
t4t因为函数h?t??t??1??1??3在?0,上单增，所以2a?h???0?a?0. ?4t2???2?7综上，实数a的取值范围是???,0?. ????????12分
·7·
19、解：（Ｉ）当0?x?10时，W?xR(x)?(10?2.7x)?8.1x? 当x?10时，W?xR(x)?(10?2.7x)?98?10003x?2.7x．
x330?10；
∴ 年利润W（万元）关于年产量x（千件）的函数关系式为
3?x8.1x??10,0?x?10,??30 W??
?98?1000?2.7x,x?10.?3x?（Ⅱ）当0?x?10时，由W??8.1?x210?0?0?x?9，
即年利润W在(0,9)上单增，在(9,10)上单减
∴ 当x?9时，W取得最大值，且Wmax?38.6（万元）． 当x?10时，W?98?(10003x?2.7x)?98?2900?38，仅当x?1009时取“=”
综上可知，当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大，最大值为38.6万元．
20、解：⑴
a12a6?a6a3?a12?a6a6?a3?6d3dnn?2.?1?5d?2?1?2d??d?1.?an?n.??.3分
⑵bn?2nn?2??0n2?2?3?2?21?2n?12?2????2?2nn?1n?1?12???1??12n?1?1?12?1n.
则Sn??1?2?1n?1?11?11??1?????????.???7分 ?????112n?1nn2?1??2?12?1?2?12?122?1??⑶cn?22?12?1n?1?22?1n,
而
2?1nn?2n?2n?12?n?1??1??1?2??n?1?. nn?1n2?12?1?2?12?1?2n???所以?ci?i?2??11??11?11????2??2?3????????3??n?1????n?1? 4n3?2?12?1????2?12?1??2?12?1?221?1?1?2??n?n?1?n?. ????????.13分 ?33?32?1??21、解：（Ⅰ）由题x?0,f?(x)??x?1[1?ln(x?1)]x2?0,????2分
·8·
故f(x)在区间(0,??)上是减函数;????3分
[1?ln(x?1)]在(0,??)上恒成立，取
x?1xx?1x?1?ln(x?1)，???????5分 h(x)?[1?ln(x?1)]，则h(x)?2xx1x再取g(x)?x?1?ln(x?1),则g?(x)?1???0,
x?1x?1（Ⅱ）当x?0时，f(x)?k恒成立，即k?x?1故g(x)在(0,??)上单调递增，
而g(1)??ln2?0,g(2)?1?ln3?0,g(3)?2?2ln2?0，???????7分 故g(x)?0在(0,??)上存在唯一实数根a?(2,3),a?1?ln(a?1)?0， 故x?(0,a)时，g(x)?0;x?(a,??)时，g(x)?0, 故h(x)min?a?1a?1?ln(a?1)??a?1?(3,4),k?3,故kmax1?ln(x?1)x?3x?1?3???????8分
3xx?1?1?2?3x?1?2?3x（Ⅲ）由（Ⅱ）知：(x?0)?ln(x?1)?
令x?n(n?1),ln[1?n(n?1)]?2?3n(n?1)?2?3(1n?)，??????10分 n?11又ln[(1?1?2)?(1?2?3)?(1?3?4)???(1?n(n?1))]
?ln(1?1?2)?ln(1?2?3)???ln(1?n?(n?1))
11111?2n?3[(1?)?(?)???(?)]????????12分
223nn?113?2n?3(1?)?2n?3??2n?3
n?1n?1即：(1?1?2)?(1?2?3)?(1?3?4)???(1?n(n?1))?e2n?3??????14分
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