第二章 古代希腊数学
希腊数学一般是指从公元前600年至公元600年间，活动与希腊半岛、爱琴海地区、马其顿与色雷斯地区、意大利半岛、小亚细亚以及非洲北部的数学家们创造的数学。
古希腊人也叫海仑人(Hellene)，其历史可以追溯到公元前2000年。当时，作为希腊先民的一些原始部落由北向南挺进，在希腊半岛定居，后来又逐步向爱琴海诸岛和小亚细亚扩张。到公元前600年左右，希腊人已散布于地中海与黑海沿岸的大部分地区，正是在这一带掀起了新的数学浪潮。在这方面，这些海滨移民具有两大优势。首先，他们具有典型的开拓精神，对于所接受的事物，不愿因袭传统；他们身处与两大河谷地区毗邻之地，易于汲取那里的文化。大批游历埃及和美索不达米亚的希腊商人、学者带回了从那里收集的数学知识，在古代希腊城邦社会所特有的唯理主义气氛中，这些经验的算术与几何法则被加工升华为具有初步逻辑结构的论证数学体系。
2.1论证数学的发端
2.1.1泰勒斯与毕达哥拉斯
现在所知最早的希腊数学家是泰勒斯(Thales of Miletus,约公元前625-前547)。泰勒斯出生于小亚细亚（今土耳其）西部爱奥尼亚地方的米利都城，他领导的爱奥尼亚学派据说开了希腊命题证明之先河。不过，关于泰勒斯并没有确凿的传记资料流传下来，我们对他在数学上的贡献的最可靠的证据是来自公元5世纪新柏拉图学派哲学家普罗克鲁斯(Proclus,410-485)所著《欧几里得<原本>第一卷评注》一书，《评注》开始部分援引罗德岛的欧多莫斯（Eudemus of Rhodes,约公元前320 ）所撰《几何学史》的内容摘要说： “??（泰勒斯）首先来到埃及，然后将几何研究引进希腊。他本人发现了许多命题，并指导学生研究那些可以推出其他命题的基本原理”。
普罗克鲁斯在《评注》其他地方再次根据欧多莫斯的著作介绍说泰勒斯曾证明了下列四条定理：
1. 圆的直径将圆分为两个相等的部分； 2. 等腰三角形两底角相等； 3. 两相交的直线形成的对顶角相等；
4. 如果一三角形有两角、一边分别与另一三角形的对应角、边相等，那么这两个三角形全
等。
传说泰勒斯还证明了现称“泰勒斯定理”的命题：半圆上的圆周角是直角。
尽管没有任何第一手文献可以证实泰勒斯的这些成就，但上述间接的记载却流传至今，使泰勒斯获得了第一位数学家和论证几何学鼻祖的美名。
关于泰勒斯，还有一些其他的零星传说。根据这些传说，泰勒斯早年经商，因进行橄榄轧油机生意而发了大财；在埃及，泰勒斯测量过金字塔的高：利用一根垂直立竿，当竿长与影长相等时，通过观测金字塔的日影来确定其高；在巴比伦，泰勒斯接触了那里的天文表和测量仪器，并预报了公元前585年的一次日蚀，等等。
希腊论证数学的另一位祖师是毕达哥拉斯(Pythagoras of Samos,约公元前580-前500)。毕达哥拉斯与泰勒斯一样也是扑朔迷离的传说人物。二者都没有著作留世，我们甚至不知道他们是否写过书面著作。今人对毕达哥拉斯生平与工作的了解，主要也是通过普罗克鲁斯等
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人关于希腊数学著作的评注，另外还有如柏拉图、希罗多德的著述也提供了一些信息。根据这些间接的资料，我们知道毕达哥拉斯生于靠近小亚细亚西部海岸的萨摩斯岛，年轻时曾游历埃及和巴比伦，可能还到过印度，回希腊后定居于当时的大希腊(Magna Graecia)，即今意大利东南沿海的克洛托内(Crotone)，并在那里建立了一个秘密会社，也就是今天所称的毕达哥拉斯学派。这是一个宗教式的组织，相传“哲学”（希腊原词?????????意为“智力爱好”）和数学（希腊原词??????????，意为“可学到的知识”）这两个词正是毕达哥拉斯本人所创。
虽然泰勒斯沿着论证数学的方向迈出了第一步，但希腊数学著作的评注者们主要是将数学中这一新方向的成长归功于毕达哥拉斯学派。前面所引普罗克鲁斯的著述在介绍了泰勒斯的几何工作后就接着写道：
“毕达哥拉斯继泰勒斯之后，将这门科学改造为自由的教育方式，首先检验其原理，并用一种无形和理智的方式探讨其定理”
一般认为，欧几里得《原本》前二卷的大部分材料来源于毕达哥拉斯学派。这种看法带有很大的推测成分，包括西方文献中一直以毕达哥拉斯的名字命名勾股定理，据传毕达哥拉斯学派为了庆祝这条定理的发现，曾宰牛祭神（甚至有传说宰了一百头牛），但迄今并没有毕达哥拉斯发现和证明了勾股定理的直接证据。上述宰牛传说最早出自公元前2世纪希腊学者阿波罗多罗斯(Apollodours)的《希腊编年史》，阿波罗多罗斯并未明说是哪条定理，并且后来人们指出宰牛之说与毕达哥拉斯学派奉行的素食主义相违。尽管如此，人们仍然对毕达哥拉斯证明勾股定理的方法给出了种种猜测，其中最著名的是普鲁塔克（Plutarch,约46-120）的面积剖分法。如图，
设直角三角形的两直角边与斜边分别为a,b,c。以此直角三角形为基础做出两个边长为
a?b的正方形。由于这两个正方形内各含有四个与原来的直角三角形全等的三角形，除去这些三角形后，两个图形剩下部分的面积显然应该相等，即第一个图形中以斜边c为边的正方形的面积等于第二个图形中以直角边a和b为边的两个正方形面积之和，这就是勾股定
理。毕达哥拉斯本人是否明确用这种方法证明勾股定理，这件是很值得怀疑。
毕达哥拉斯学派另一项几何成就就是正多面体作图，他们称正多面体为“宇宙形”.我们今天知道在三维空间中正多面体仅有五种—正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体。欧几里得《原本》第8卷的附注指出：“其中三个（正四、六、八面题）应归功于毕达哥拉斯学派，而十二面体和二十面体应归功于蒂奥泰德(Theaetetus)”。蒂奥泰德（约公元前417-前369）是晚期毕达哥拉斯学派成员希奥多罗斯（约公元前465-前399）的学生，深受毕达哥拉斯学派思想的影响。因此，一般认为所有正多面体的作图都与毕达哥拉斯学派有关。1885年以后在意大利帕多瓦等处出土石制正十二面体，年代考定在公元前500年以前，为这种看法提供了佐证。在所有的正多面体中，正十二面体的作图是最为诱人
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的问题，因为它是由正五边形围成，而其他正多面体都是以三角形或正方形为界面，正五边形的作图则与著名的“黄金分割”问题有关，如图
'
'正五边形ABCDE的五条对角线分别相交于点A、B、C、D、E，这些交点以一些特殊的方式分割对角线：每条对角线都被交点分成两条不相等的线段，使该对角线的整体与较长部分之比等于较长部分与较短部分之比。这就是所谓“黄金分割”。毕达哥拉斯学派应该知道这种分割的性质，并且据说他们正是以正五边形的五条对角线构成的五角星形作为自己学派的标志。当然我们并不知道毕达哥拉斯学派是用什么方法求解黄金分割的，“黄金分割”这个名称也不是来自该学派。
尽管人们将许多几何成就归功于毕达哥拉斯学派，但这个学派基本的信条却是：“万物皆数”。关于这一点，毕达哥拉斯本人的原话不得而知，但这个学派的一位晚期成员费洛罗斯（Philolaus,约卒于公元前390年）确曾明确地宣称：
“人们所知道的一切事物都包含数；因此没有数就既不可能表达、也不可能理解任何事物”。
毕达哥拉斯学派所说的数仅指整数，分数是被看成两个整数之比的关系。他们认为数1生成所有的数，并命之为“原因数”(Number of reason).每个数都赋予了特定的属性，而在一切数中最神圣的是10，也就是毕达哥拉斯学派信奉和崇拜数10，将10看成是完美、和谐的标志。除了奇数和偶数，有时还提到奇-奇数和偶-奇数，根据所讨论的数是两个奇数之积还是一个偶数和一个奇数之积而定。
毕达哥拉斯学派关于“形数”研究，强烈地反映了它们将数作为几何思维元素的精神。诸如3，6，10，15，之类的数，或一般地由公式
'''N?1?2?3???n?n(n?1) 2给出的数称为“三角形数”，它们可以用某种三角点式来表示；由序列
N?1?3?5?7???(2n?1)
形成一系列“正方形数”。五边形数和六边形数分别由序列
N?1?4?7???(3n?2)?和
n(3n?1) 2N?1?5?9???(4n?3)?2n2?n
得到，这是一些高阶等差序列。
用同样的方式可以定义所有的多边形数。“形数”体现了形与数的结合。数形结合的另一个典型例子是由
m2?1m2?1,m,(m为奇整数) 22给出的毕达哥拉斯三元数组，它们分别表示一个直角三角形的两条直角边和斜边，与勾股定
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理密切相关。
毕达哥拉斯学派数学神秘主义的外壳，包含者理性的内核。首先，它加强了数概念中的理论倾向，如果说埃及与巴比伦算术主要是实用的数字计算技巧，那么毕达哥拉斯学派算术则更多地成为某种初等数论的智力领域，这是向理论数学过渡时观念上的飞跃，并且由于数形结合的观点这种飞跃实质上推动了几何学的抽象化倾向。其次，“万物皆数”的信念，使毕达格拉斯学派成为相信自然现象可以通过数学来理解的先驱。他们用数的理论来解释天体运动，发现音乐定律等等。一个广泛流传的例子是毕达格拉斯关于和声的研究：他注意到如果振动弦的长度可表示成简单的整数比，这是发出的将是和音，如2﹕3（五度和音）或3﹕4（四度和音）等等。这大概是最早的数学物理定律了。
毕达哥拉斯相信任何量都可以表示成两个整数之比（即某个有理量）。在几何上这相当于说：对于任何两条给定的线段，总能找到某第三线段，以它为单位线段能将给定的两条线段划分为整数段。希腊人称这样两条给定线段为“可公度量”，意即有公共的度量单位。
然而毕达哥拉斯学派后来却发现：并不是任意两条线段都是可公度的，存在着不可公度的线段，例如正方形的对角线和其一边就构成不可公度线段。这一事实的证明最早出现在亚里士多德的著作中：根据勾股定理，如正方形对角线与其一边之比为?︰?（?,?互素），则有?2?2?2。这里?为偶数，则?也必为偶数，设??2?，于是?2?4?2?2?2，即?2?2?2,?2为偶数，则?也必为偶数，这与?,?互素的假设相矛盾，因此正方形对角线与其一边不可公度。这一证明与我们今天证明2为无理数的方法相同，亚里士多德声明这来源于毕达哥拉斯学派。不过毕达哥拉斯学派有严格的教规，将一切发现归功于学派的领袖，并禁止公开学派的秘密，因此我们对毕达哥拉斯学派的介绍，很难将毕达哥拉斯本人的工作与其他成员的贡献区别开来。有关不可公度量的发现，情形也是如此。
一个传说是学派成员希帕苏斯(Hippasus,公元前470年左右)首先发现了不可公度性，当时毕氏学派正在海上泛舟集会，希帕苏斯说出他的发现后，惊恐不已的其他成员将他抛进了大海。
毕达哥拉斯学派认为宇宙万物皆依赖于整数的信条，由于不可公度量的发现而受到了动摇。据柏拉图记载，后来又发现了除2以外的其他一些无理数。这些“怪物”深深地困惑着古希腊的数学家，希腊数学中出现的这一逻辑困难，有时也被称为“第一次数学危机”。大约一个世纪后，这一“危机”才由于毕达哥拉斯学派成员阿契塔斯(Archytas)的学生欧多克斯(Eudoxus)提出的新比例理论而暂时消除。
2.1.2雅典时期的希腊数学
毕达哥拉斯学派在政治上倾向于贵族制，在希腊民主力量高涨时期受到冲击并逐渐解体。毕达哥拉斯本人也逃离克罗托内，不久被杀。希腊波斯战争（公元前492-前449）以后，雅典成为希腊民主政治与经济文化的中心，希腊数学也随之走向繁荣，学派林立，主要有：
伊利亚学派 以居住在意大利南部依利亚(Eles)地方的芝诺（Zeno,约公元前490-前430）为代表。
诡辩学派 活跃于公元前5世纪下半叶的雅典城，主要代表人物有希比阿斯（Hippias,约生于公元前460年）、安提丰（Antiphon,约公元前480-411）、布里松（Bryson,公元前450左右）等，均以雄辩著称。
雅典学院（柏拉图学派） 柏拉图（Plato,公元前427-前347）曾师从毕达哥拉斯学派的学者，约公元前387年在雅典创办学院，讲授哲学与数学，形成了自己的学派。
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亚里士多德学派 亚里士多德（Aristotle,公元前384-前322）是柏拉图的学生，后长期共事。公元前335年建立自己的学派。亚里士多德的学生中有一位就是前面提到过的写过几何学史的欧多莫斯。
上述诸派多以哲学探讨为主，但他们的研究活动极大地加强了希腊数学的理论化色彩，主要表现在以下几个方面。 （一） 三大几何问题
古希腊三大著名几何问题是：
（1） 化圆为方，即作一个与给定的圆面积相等的正方形。
（2） 倍立方体，即求作一立方体，使其体积等于已知立方体的两倍。 （3） 三等分角，即分任意角为三等分。
三大几何问题的起源涉及一些古老的传说。例如关于倍立方体问题，埃拉托塞尼（Eratosthenes,约公元前284-前192）曾记载了一位没学过数学又不出名的古希腊诗人讲述的故事，说神话中的米诺斯王(King Minos)嫌儿子格劳卡斯(Glaucus)为他建造的坟墓太小，命令将其扩大一倍。然后这位诗人又替米诺斯王添上了下面的话，说只要将每边扩大一倍就行。这当然是错误的。这类问题激发了整个古希腊时代许多数学家的研究兴趣，其中贡献最多的是诡辩学派。由于希腊人限制了作图工具只能是圆规和（不带刻度的）直尺，使这些问题变得难以解决并富有理论魅力。
最早研究化圆为方问题的是安纳萨哥拉斯（Anaxagoras,约公元前500 –前428），但详情不得而知。公元5世纪下半叶，开奥斯的希波克拉底（Hippociates of Chios）解决了与化圆为方有关的化月牙形为方。希波克拉底证明了一系列特殊月牙形的化圆为方，但每次都利用了两个圆的相减，对于单个圆的化圆为方，最终未能解决。
巧辨学派的代表人物安提丰（Antiphon，约公元前 480-前411），则首先提出了用圆内接正多边形逼近圆面积的方法来化圆为方。他从一个圆内截正方形出发，将边数逐步加倍得到正八边形、正十六边形、??，无限重复这一过程，随着圆面积的逐渐“穷竭”（Exaustion） ，将得到一个边长极微小的圆内接正多边形。安提丰认为这个圆内接正多边形将与圆重合，既然我们能够作出一个等于任何已知多边形的正方形，那么我们就能作出等于一个圆的正方形。这种推理当然没有真正解决化圆为方问题，但安提丰却因此成为古希腊“穷竭法”的始祖。
关于倍立方体问题，一个关键的进展是希波克拉底对这一问题的“简化”。事实上希波克拉底指出了倍立方体问题可以化为求一线段与它的二倍长线段之间的双重比例中项问题：
a:x=x:y=y:2a
33这样求出的x必须满足x?2a，即为倍立方问题的解。希波克拉底并没有能从几何上作
出这样的比例中项线段。比他稍晚的一些希腊数学家则借助某些特殊曲线作出了可作为倍立方体问题解的比例中项线段，其中最重大的成就是柏拉图学派的梅内赫莫斯（Menaechmus,公元前4世纪中）为解决倍立方体问题而发现了圆锥曲线。事实上，前述的比例中项关系等价于方程
x2?ay,y2?2ax,xy?2a2
因此，量x,y应为两条抛物线的交点或一条抛物线与一条双曲线的交点之坐标。梅内赫莫斯并没有抛物线、双曲线的名称，更不知道坐标概念，但他确实使用了圆锥曲线的交点来解决倍立方体问题。
希腊人还利用其它多种曲线来解决三大作图问题，例如，据说巧辩学派的希比阿斯为了
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