三等分任意角而发明了“割圆曲线”（quadratrix）。如图,
在正方形ABCD中，令AB平行于自身匀速下降直至与DC重合，与此同时DA顺时针匀速转动直至与DC重合。若用AB和DA分别表示这两条移动线段在任一时刻的位置，那么他们的交点P产生的曲线就是割圆曲线。如果这曲线能够作出，那么三等分一个角就容易做到。如PDC是需要三等分得角。将BC和AD三等分，分点为R,S,T,U.设TR和
''''''US分别交割圆曲线于V和W，则根据该曲线的性质，线段DV,DW就将角PDC分成三
个相等的部分。另外，割圆曲线还可用来化圆为方。
希腊人对三大几何问题的所有解答都无法严格遵守尺规（称为欧几里得工具）作图的限制。直到19世纪，数学家们才利用现代数学知识弄清了这三大问题实际上是不可解的。1837年法国数学家旺泽尔（P.L.Wantzel）首先在代数方程论基础上证明了倍立方和等分任意角不可能只用尺规作图；1882年德国数学家林德曼证明了数?的超越性，从而确立了尺规化圆为方的不可能性。不过，如我们已经看到的那样，希腊人虽然没有能解决三大作图问题，但他们的探讨引出了许多重要发现，对整个希腊数学产生了巨大影响。
（二） 无限性概念的早期探索
希腊人在理性数学活动的早期，已经接触了无限性、连续性等深刻的概念，但对这些概念的着意探讨，也是雅典时期希腊数学的特征之一。这方面具有代表性的人物是依利亚学派的芝诺。芝诺提出了四个著名的悖论，将无限性所遭遇的困难揭示无遗。根据亚里士多德《物理学》记载，这四个悖论如下.
(1) 两分法：运动不存在，因为位移事物在达到目的地之前必先抵达一半处；在抵
达一半处之前又必先抵达四分之一处，??，以此类推可至无穷。
(2) 阿基里斯：阿基里斯(Achilles,希腊名将，善跑)永远追不上一只乌龟，因为若乌
龟的起跑点领先一段距离，阿基里斯必须首先跑到乌龟的出发点，而在这段时间里乌龟又向前爬过一段距离， 如此直至无穷。
(3) 飞箭：飞着的箭是静止的，因为任何事物当它是在一个和自己大小相同的空间
里时，它是静止的，而飞箭在飞行过程中的每一“瞬间”都是如此。 (4) 运动场：空间和时间不能由不可分割的单元组成。假设不然，运动场跑道上三
排队列A,B,C，令C往右移动，A往左移动，其速度相对于B而言都是每瞬间移动一个点。这样一来，A上的点就在每瞬间离开C两个点的距离，因而必存在一更小的时间单元。
芝诺悖论的前两个，是针对事物无限可分的观点，而后两个则矛头直指不可分无穷小量的思想。要澄清这些悖论需要极限、连续及无穷集合等抽象概念，当时的希腊数学家尚不可能给予清晰的解答。但芝诺悖论与不可分度的困难一起，成为希腊数学追求逻辑精确性的强力激素。
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（三） 逻辑演绎结构的倡导
雅典时期，数学中的演绎化倾向有了实质性的进展，这主要应归功于柏拉图、亚里士多德和他们的学派。如图
柏拉图出身贵族名门，以万贯家财开设雅典学院。学院虽以哲学研究为主，但柏拉图认为数学是一切学问的基础，据说柏拉图学院的大门上写着“不懂几何者莫入”。柏拉图本人虽未得到很多具体的数学成就，但对数学研究的方法却颇多贡献。普罗克鲁斯将分析法和归缪法归功于柏拉图。
从技术上讲，柏拉图不是数学家，但人们称他为“数学家的创造者”。无可否认的是，他确实刺激了许多比他高明得多的数学家去创造一些真实的数学。如我们将要看到的，他对数学发展的总的影响可能是有害的。
柏拉图给出了许多几何定义，并坚持对数学知识作演绎整理，这在他的代表著作《理想国》中有明确的陈述。柏拉图说：
“你们知道几何、算术和有关科学的学生，在他们的各科分支里，假定奇数和偶数、图形以及三种类型的角等等都是已知的；这些是他们的假设，是大家认为他们以及所有人都知道的事，因而是无需向他们自己或向别人再作任何交待；但他们是从这些事实出发的，并以前后一贯的方式往下推，直到得出结论”。
柏拉图的上述思想在他的学生与同事亚里士多德那里得到了极大的发展和完善。亚里士多德对定义作了更精密的讨论，并指出需要有未加定义的名词。他也深入研究了作为数学推理的出发点的基本原理，并将它们区分为公理和公设（他认为公理是一切科学所公有的真理，而公设则是为某一门科学所接受的第一性原理）。亚里士多德最重大的贡献是将前人使用的数学推理规律规范化和系统化，从而创立了独立的逻辑学，其中的基本逻辑原理矛盾律（一个命题不能同时是真的有是假的）和排中律（一个命题或是真的，或是假的，二者必居其一），成为数学中间接证明的核心。亚里士多德的形式逻辑被后人奉为演绎推理的圣经，在当时，则为欧几里得演绎几何体系的形成奠定了方法论的基础。
2.2黄金时代—亚历山大学派
从公元前338年希腊诸邦被马其顿控制，至公元前30年罗马消灭最后一个希腊化国家托勒密王国的三百余年，史称希腊数学的“黄金时代”。这一时期希腊数学的中心从雅典转移到了亚历山大城。亚历山大城是马其顿帝国君主亚历山大大帝（公元前356-前323）征服
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埃及后在地中海之滨建立的城市。亚历山大去世后，帝国一分为三。托勒密统治下的希腊埃及，定都亚历山大城，并于公元前300年左右，开始兴建规模宏大的亚历山大艺术馆（或译博物馆）和图书馆，提倡学术，罗致人才，使亚历山大成为希腊文化的首府。那里学者云集，先后出现了欧几里得、阿基米德和阿波罗尼奥斯三大数学家，他们的成就标志了古典希腊数学的颠峰。
2.2.1欧几里得与几何《原本》
欧几里得是希腊论证几何学的集大成者。关于他的生平我们所知甚少，甚至连他的出生地都不知道。根据有限的记载推断，他早年就学于雅典，公元前300年左右应托勒密一世之邀到亚历山大，成为亚历山大学派的奠基人。据传托勒密王曾问欧几里得有无学习几何的捷径？欧几里得回答说：“几何学无王者之道（几何学中没有专为国王铺设的道路）”。另一则轶事说，有一次一个学生刚学了第一个几何命题便问“学了这些我能获得什么呢？”欧几里得叫来一个仆人吩咐说：“给这位先生三个分币，因为他一心想从学过的东西中捞点什么”。
欧几里得写过不少数学、天文、光学和音乐方面的著作。现存的有几何《原本》(Elements,明代，利玛窦、徐光启翻译成汉语本)、《数据》、《论剖分》、《现象》、《光学》和《镜面反射》等，还有一些仅知其名而内容失传的著作如《圆锥曲线》、《衍论》、《曲面轨迹》、《辩伪术》等。在所有这些著作中，最重要的莫过于几何《原本》。几何《原本》成为了正规的几何教科书，使得以往的几何书籍甚至它们的手抄本都变得多余而没有流传下来。像所有的教科书一样，这里所使用的几何《原本》大多都不是原著。但我们仍要感谢欧几里得，是他搜集整理了这些资料和结果，并把这些结果用定理和证明的演绎系统的形式展示给我们。
“原本”的希腊文Στοιχετα，原意是指一学科中具有广泛应用的最重要的定理。欧几里得在这部原著中用公理法对当时的数学知识作了系统化、理论化的总结。全书共分13卷，包括由5条公理、5条公设、119个定义和465条命题，构成了历史上第一个数学公理体系。以下简要介绍《原本》的内容。
第Ⅰ卷作为全书之首，给出了一些最基本的定义，如“点是没有部分的”；“线是没有宽度的长”；“面是只有长度和宽度的”；“圆是由一条曲线包围的平面图形，从其内一点出发落在曲线上，所有线段彼此相等”；??；等等。接着便列出了5条公设和5条公理，它们是：
公设
1. 假定从任意一点到任意一点可作一直线。
2. 一条有限直线可不断延长。 3. 以任意中心和直径可以画圆。 4. 凡直角都彼此相等。
5. 若一直线落在两直线上所构成的同旁内角和小于两直角，那么把两直线无限延
长，它们将在同旁内角和小于两直角的一侧相交。
公理
1. 等于同量的量彼此相等。 2. 等量加等量，和相等。 3. 等量减等量，差相等。 4. 彼此重合的图形是全等的。 5. 整体大于部分。
欧几里得以这些基本定义、公设和公理作为全书推理的出发点。
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第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ及Ⅵ（6）卷包含了平面几何的一些基本内容，如全等三角形、平行线、多边形、圆、毕达哥拉斯定理、初等作图及相似形等。毕达哥拉斯定理（卷Ⅰ命题47）的证明是用面积来做的。
第Ⅱ、Ⅵ卷中涉及所谓“几何代数”的内容，即以几何形式处理的代数问题。例如Ⅱ卷命题4：若把一线在任意一点割开，则在整个线上的正方形等于两段上的正方形加上以两段为边的矩形（如图）。
相当于代数关系式
(a?b)2?a2?2ab?b2
第Ⅴ卷讲比例论，是以欧多克斯的工作为基础的。有人认为这一卷代表了《原本》的最大成就，因为它在当时的认识水平上消除了由不可公度量引起的数学危机。
《原本》第Ⅴ卷中给出比例的定义相当于说：
设A,B,C,D是任意四个量，其中A和B同类（即均为线段、角或面积等），C和D同类。如果对于任何两个正整数m和n，关系mA?（或?）nB是否成立，相应的取决于关系mC?（或
?）nD是否成立，则称A与B之比等于C与D之比，即A,B,C,D四量成比例。
这一定义并未限制涉及的量是可公度的还是不可公度的，因此可以用它来证明许多早期毕达哥拉斯学派只对可公度量证明了的命题。
由此我们看到，《原本》第Ⅴ卷是将比例理论由可公度量推广到不可公度量，使它能适用于更广泛的几何命题证明，从而巧妙地回避了无理量引起的麻烦。同《原本》的其它部分相比，第5卷的内容颇引人争议。问题的根本解决，要到19世纪，当人们借助极限过程对无理数作出严格定义之后。
第Ⅶ、Ⅷ、Ⅸ卷是关于数论的内容，其中陈述了求两数最大公因子的辗转相除法，即著名的欧几里得算法。这几卷给出了关于整数的一些定理及其证明，特别是素数分解的唯一性、素数个数无穷，等等。这些内容说明，将《原本》看成是一部纯几何的著作是多少有些误解的。
第Ⅹ卷讨论不可公度量，并试图进行分类。该卷篇幅最大，实际上欧几里得在这里仅涉及了可表为
a?b的无理数。
最后的三卷（Ⅺ、Ⅻ、ⅩⅢ）主要是立体几何的内容，包括棱柱、棱锥、圆柱、圆锥和球等立体的体积定理以及对正多面体的讨论（在卷ⅩⅢ中证明了正多面体只有五种）。卷Ⅻ中详细陈述了穷竭法。穷竭法是古希腊数学家证明面积、体积定理时经常使用的一种得力方法。它由安提丰首创，但完善、成熟的穷竭法主要归功于欧多克斯，也就是《原本》卷Ⅻ中所记载的方法。
欧几里得《原本》可以说是数学史上的第一座理论丰碑。它最大的功绩，是在于数学中演绎范式的确立，这种范式要求一门学科中的每个命题必须是在它之前已建立的一些命题的逻辑结论，而所有这样的推理链的共同出发点，是一些基本定义和被认为是不证自明的基本原理—公理或公设。这就是后来所谓的公理化思想。
与现代公理化方法相比，欧几里得《原本》存在着缺陷。虽然欧几里得对公理和公设进行了精心的选择，但他的公理系统是不完备的，有些公理不独立（如“凡直角都相等”）。对其中有些问题，欧几里得同时代或稍候的古代学者已有所觉察，但整个欧几里得公理体系逻辑缺陷的深入考察和消除，需要等待19世纪和20世纪数学家的智慧。在公元前3世纪，《原
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本》中的公理体系，为人们提供了使知识条理化和严密化的强有力的手段，这使它成为西方科学的“圣经”，同时也是整个科学史上流传最广的著作之一。不过，有一点需要指出的是：欧几里得《原本》原作已经失传，现在的各种版本都是根据后人的修订、注释重新整理出来的。
2.2.2阿基米德的数学成就
全部历史上任何三个“最伟大”的数学家的名单都将包括阿基米德的名字(通常与他相联系的另外两个名字是牛顿和高斯)。要是考虑到这些巨人各自生活的年代，数学与物理学的相对的富有或贫困，并依据他们所处的时代背景来评价他们的成就，一些人会将阿基米德排在首位。
阿基米德（Archimedes,公元前287-前212）出生于西西里岛的叙拉古，早年曾在亚历山大城跟过欧几里得的门生学习，后来虽然离开了亚历山大，但仍与那里的师友保持着密切的联系。他的许多成果都是通过与亚历山大学者的通信而保存下来的。因此，阿基米德通常被看成是亚历山大学派的成员。
阿基米德的著述极为丰富，但多以类似论文手稿而非大部巨著的形式出现。这些著述内容涉及数学、力学及天文学等，其中流传于世的有：
（1） 《圆的度量》； （2） 《抛物线求积》； （3） 《论螺线》； （4） 《论球和圆柱》；
（5） 《论劈锥曲面和旋转球体》； （6） 《引理集》；
（7） 《处理力学问题的方法》； （8） 《论平面图形的平衡或其重心》； （9） 《论浮体》； （10） 《沙粒记数》； （11） 《牛群问题》。
阿基米德的数学著作集中探讨与面积和体积计算相关的问题。在《圆的度量》中，阿基米德将穷竭法应用于圆的周长和面积公式。他从圆内正接三角形出发，边数逐次加倍，计算到正96边形而得到圆周率?的近似
22。在《球和圆柱》中，他运用穷竭法证明了与球的7面积和体积有关的公式。他证明的命题包括：任一球面积等于其大圆面积的四倍；以球的大
3圆为底，以球直径为高的圆柱，其体积是球体积的，其包括上、下底在内的表面积是球
23面积的；等等。
2我们知道，穷竭法可以严格证明已知的命题，却不能用来发现新的结果。这是希腊演绎数学的一大弱点。阿基米德在这方面则属例外，他的数学工作是严格证明与创造技巧相结合的典范，这在其《处理力学问题的方法》中有充分的体现。《方法》实际上是阿基米德写给另一位数学家埃拉托塞尼（Eratosthenes，约公元前276-前195）的一封信，其中包括有15个命题，集中阐释了发现求积公式的方法，这种通常称为“平衡法”的方法，实质上是一种原始的积分法。它是将需要求积的量（面积、体积等）分成许多微小的单元（如微小线段、薄片等），再用另外一组微小单元来进行比较，而后一组微小单元的总和比较容易计算。只不过这两组微小单元的比较是借助于力学上的杠杆平衡原理来实现的。因此，平衡法体现了
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