(c)方形 (d)圆形 图2 .9 2.2.2二值闭运算
闭运算是开运算的对偶运算，定义为先作膨胀然后再作腐蚀。利用B对A作闭运算表示为A·B，其定义为:
闭运算还可以表示为C(A，B)，cL0sE(A，B)和A，在本文中，我们采用C(A，B)来表示。另外，因为开闭运算互为对偶运算，还满足下面的性质:
B
我们还可以采用以下方法来描述闭运算:
该集合中包含所有这样的点x，x被一个平移的的镜象结构元素Bt覆盖的同时，Bt与A图象必有一些公共点，由此看出，初始图象A包含在C(A，B)中，即闭运算是具有延伸性的运算。图2.10描述了闭运算的过程及结果。
??
图2.10利用圆盘闭运算
显然，用闭运算对图形的外部做滤波，仅仅磨光了凸向图象内部的边角。本文对要测试的原始图象(如图2.4)进行了闭运算，选取3 x3、5x5、7x7三种大小不同的菱形结构元素，所得结果如图2.11(a)、2.11(b)、2.11(c)所示。另外，采用5x5的菱形、线形、正方形、圆形
结构元素，所得结果如图2.12(a)、2.12(b)、2.12(c)、2.12(d)所示。发现目标内部的噪声块得到了一些有效处理，处理的效果与结构元素形状和大小的选取有密切关系。利用结构元素对图象做闭运算，可以填充目标内部狭窄的裂缝和长细的窄沟，消去小的孔洞。
(a)3x3结构元素 (b)5x5结构元素 (c)7x7结构元素 图2 .11
(a)菱形 (b)线形
(c)方形 (d)圆形 图2 .12 2.2.3开、闭运算的滤波性质
经过上面的讨论，我们可以得出开闭运算的滤波性质: (l)平移不变性
O((A+x)，B)=O(A，B)+x (2.33) C((A+x)，B)=C(A，B)+x (2.34) (2)递增性
若A1?A2，则
O(Al，B)?O(A2，B) (2.35) C(Al，B)?C(A2，B) (2 .36)
(3)延伸性
开运算是是非延伸的:O(A，B)是A的子集;而闭运算是延伸的，A是C(A，B)的子集。由此可得:
O(A，B)?A?C(A，B) (2.37)
(4)幂等性
在对一个图象A用结构元素进行开运算后，若再用同一结构元素进行又一次开运算，则所得结果不变，这种性质叫做幂等性。同样，闭运算也具有幂等性。
O((A，B)，B)=O(A，B) (2 .38) C((A，B)，B)=C(A，B) (2.39) (5)对偶性
开闭运算互为对偶运算。
O(A，B)=C(AC，B)C (2.40) C(A，B)=O(AC，B)C (2.41) 2.3小结
本章首先介绍了数学形态学最基本的运算:腐蚀运算和膨胀运算。然后又介绍了由腐蚀和膨胀所定义的开运算和闭运算，并对这四种运算的滤波性质以及腐蚀和膨胀运算的代数性质进行了分析。而且通过实验证明结构元素的大小及形状对数学形态学运算的结果会产生不同的影响。我们看到，依靠数学形态学基本运算的支持，产生了一些新颖、有效的思想和方法，它们在实际中的应用开拓了相当吸引人的领域。这也证实了数学形态学这一方法的生命力。计算机模拟实验表明，基于数学形态学进行图象处理所得到的效果更适合视觉信息的处理和分析。