普通高等学校夏季招生考试数学(理工农医类)天津卷(新课程)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷
参考公式：
2如果事件A、B互斥，那么 2如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那 P(A+B)=P(A)+P(B)． 么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 2如果事件A、B相互独立，那么
kkn-k
P（A2B）=P（A）2P（B）. Pn(k)=CnP(1-P).
一．选择题：在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． (1)i是虚数单位， (A)
i= 1?i11111111?i (B) ??i (C) ?i (D) ??i 22222222(2)如果双曲线的两个焦点分别为F1(-3，0)、F2(3，0)，一条渐近线方程为y=2x，那么它的两条准线间的距离是
(A)63 (B)4 (C)2 (D)1
y≤x
(3)设变量x、y满足约束条件 x+y≥2, 则目标函数Z=2x+y的最小值为
y≥3x-6
(A)2 (B)3 (C)4 (D)9 (4)设集合M={x|0＜x≤3＝,N={x|0＜x≤2}，那么“a∈M”是“a∈N”的 (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件
(5)将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放人每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有
(A)10种 (B)20种 (C)36种 (D)52种
(6)设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面．考查下列命题，其中正确的命题是
(A)m⊥α，n?β,m⊥n?α⊥β (B)α∥β,m⊥α,n∥β?m⊥n (C)α⊥β，m⊥α,n∥β?m⊥n (D)α⊥β,α∩β=m,n⊥m?n⊥β
(7)已知数列{an}、{bn}都是公差为1的等差数列，其首项分别为al、bl，且a1+b1=5，a1、b1∈N．设cn=abn (n∈N)，则数列{cn}的前10项和等于
*
*
(A)55 (B)70 (C)85 (D)100 (8)已知函数f(x)=asinx-bcosx (a、b为常数，a≠0,x∈R)在x=y=f(
?处取得最小值，则函数43?-x)是 43?，0)对称 2 (A)偶函数且它的图象关于点(π，0)对称 (B)偶函数且它的图象关于点(
(C)奇函数且它的图象关于点(
3?，0)对称 (D)奇函数且它的图象关于点(π，0)对称 2(9)函数f(x)的定义域为开区间(a,b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点 (A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个
x
(10)已知函数y=f(x)的图象与函数y=a(a＞0且a=1)的图象关于直线y=x对称，记g(x)=f(x)
1，2]上是增函数，则实数a的取值范围是 211 (A)[2，+∞) (B)(0，1)∪(1，2) (C)[，1) (D)(0，]
22［f(x)+f(2)-1］．若y=g(x)在区间[
第Ⅱ卷
二．填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．把答案填在题中横线上． (11)(2x+
17
)的二项展开式中x的系数是_______________(用数字作答)． x?????(12)设向量a与b的夹角为θ，且a=(3，3)，2b-a=(-l，1)，则cosθ=_______.
(13)如图，在正三棱柱ABC-AlB1Cl中，AB=1．若二面角C-AB-C1的大小为60°，则点C到平面ABC1的距离为_________.
22
(14)设直线ax-y+3=0与圆(x-1)+(y-2)=4相交于A、B 两点，且弦AB的长为23，则a=_______．
(15)某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元／次，—年的总存储费用为4x万元，要使—年的总运费与总存储费用之和最小，则x=___________吨． (16)设函数f(x)=
1*
,点A0表示坐标原点，点An(n，f(n))(n∈N).若向量 x?1an?A0A1?A1A2???An?1An,θn是an与i的夹角(其中i=(1，0))，设Sn=tanθl+tan
θ2+?+tanθn，则limSn=_____________.
n??
三．解答题：本大题共6小题，共76分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． (17)(本小题满分12分)
如图，在△ABC中，AC=2，BC=l，cosC= (Ⅰ)求AB的值；
(Ⅱ)求sin(2A+C)的值．
3． 4
(18)(本小题满分12分)
某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为
3，且各次射击的结果互不影响． 5 (Ⅰ)求射手在3次射击中，至少有两次连续击中目标的概率(用数字作答)； (Ⅱ)求射手第3次击中目标时，恰好射击了4次的概率(用数字作答)；
(Ⅲ)设随机变量ξ表示射手第3次击中目标时已射击的次数，求ξ的分布列． (19)(本小题满分12分)
如图，在五面体ABCDEF中，点O是矩形ABCD的
对角线的交点，面CDE是等边三角形，棱EF (Ⅰ)证明FO∥平面CDE；
(Ⅱ)设BC=3CD，证明EO⊥平面CDF.
1BC． 2
(20)(本小题满分12分) 已知函数f(x)=4x-3xcosθ+
3
2
3cosθ，其中x∈R,θ为参数，且0≤θ＜2π． 16 (Ⅰ)当cosθ=0时，判断函数f(x)是否有极值；
(Ⅱ)要使函数f(x)的极小值大于零，求参数θ的取值范围；
(Ⅲ)若对(Ⅱ)中所求的取值范围内的任意参数θ，函数f(x)在区间(2a-1，a)内都是增函数，求实数α的取值范围． (21)(本小题满分14分)
已知数列{xn}、{yn}满足x1=x2=1，y1=y2=2，并且数，n=2，3，4，?)．
(Ⅰ)若x1、x3、x5成等比数列，求参数?的值；
xn?1xyy??n,n?1??n (?为非零参xnxn?1ynyn?1
(Ⅱ)当?＞0时，证明
xn?1xn*
(n∈N)； ?yn?1ynx?ynx1?y1x2?y2?*
＜(n∈N). ????nx2?y2x3?y3xn?1?yn?1??1(Ⅲ)当?＞1时，证明
(22)(本小题满分14分)
x2y2??1(a＞b＞0)的中心O为圆心，分别以a和b为半径作大圆和 如图，以椭圆
a2b2小圆．过椭圆右焦点F(c，0)(c＞b)作垂直于x轴的直线交大圆于第一象限内的点A.连结OA交小圆于点B．设直线BF是小圆的切线．
2
(Ⅰ)证明c=ab，并求直线BF与y轴的交点M的坐标；
(Ⅱ)设直线BF交椭圆于P、Q两点，证明OP2OQ=
12
b． 2
2006年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)
数学(理工类)参考解答
一．选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分50分． (1)A (2)C (3)B (4)B (5)A (6)B (7)C (8)D (9)A (10)D
二．填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分24分． (11)280 (12)
3310 (13)
410 (14) 0 (15)20 (16) 1
三．解答题
(17)本小题考查同角三角函数关系、两角和公式、倍角公式、正弦定理、余弦定理等基础知识，考查基本运算能力及分析和解决问题的能力．满分12分． (Ⅰ)解：由余弦定理， AB2=AC2+BC2-2AC·BCcosC =4+1-232313
那么，AB=2．
3=2． 4
(Ⅱ)解：由cosC=
372且0＜C＜π，得sinC=1?cosC?由正弦定理， 44ABBC?, sinCsinA解得sinA=
BCsinC1452,所以,cosA=.由倍角公式 ?AB88sin2A=2sinA2cosA=
57， 16且cos2A=1-2sin2A=
9，故 16sin（2A+C）=sin2AcosC+cos2AsinC=
37. 8 (18)本小题考查互斥事件、相互独立事件的概率、离散型随机变量的分布列等基础知识，及分析和解决实际问题的能力．满分12分．
(Ⅰ)解：记“射手射击1次，击中目标”为事件A，则在3次射击中至少有两次连续击中目标的概率
P1=P（A2A2A）+P（A2A2A）+P（A2A2A） =??33223333363???????.
5555555551253223162）3??. 555625(Ⅱ)解：射手第3次击中目标时，恰好射击了4次的概率
2P2=C33（
(Ⅲ)解：由题设，“ξ=k”的概率为
3223）3（）k-33 5552k-3332 =Ck3（）3()(k∈N*且k≥3). ?1552P(ξ=k)=Ck?13（
所以，ξ的分布列为： ξ P
3 4 ? ? k ? ? 27 125162 6252k-333() Ck2?1（）55