(19)本小题考查直线与平面平行、直线与平面垂直等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力．满分12分．
(Ⅰ)证明：取CD中点M，连结OM． 在矩形ABCD中， OM
1BC，又EF21BC， 2则EFOM．连结EM，于是四边形EFOM为平行四边形． ∴FO∥EM．
又∵FO?平面CDE，且EM?平面CDE，∴FO∥平面CDE．
(Ⅱ)证明：连结FM．由(Ⅰ)和已知条件，在等边△CDE中，CM=DM， EM⊥CD且EM=
13CD=BC=EF．
22因此平行四边形EFOM为菱形，从而EO⊥FM．
∵CD⊥OM，CD⊥EM，∴CD⊥平面EOM．从而CD⊥EO． 而FM∩CD=M，所以EO⊥平面CDF．
(20)本小题主要考查运用导数研究函数的单调性及极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力，以及分类讨论的数学思想方法．满分12分．
3
(Ⅰ)解：当cosθ=0时，f(x)=4x，则f(x)在(-∞，+∞)内是增函数，故无极值．
2
(Ⅱ)解：f′(x)=12x-6xcosθ，令f′(x)=0，得
x1=0，x2=
cos?. 2由(Ⅰ)，只需分下面两种情况讨论．
当cosθ＞0时，随x的变化，f′(x)的符号及f(x)的变化情况如下表：
cos?cos?处取得极小值f（），且 2213cos?3cos?. f（）=-cos??241613cos?2 要使f（）＞0，必有-cos?(cos??)＞0，可得
244因此，函数f（x）在x=
0＜cosθ＜
由于0≤θ＜2π，故
3. 2?11??3?＜θ＜或＜θ＜.
2266②当cosθ＜0时，随x的变化，f′（x）的符号及f（x）的变化情况如下表：
因此，函数f（x）在x=0处取得极小值f（0），且
f（0）=
3cosθ 16若f（0）＞0，且cosθ＞0.矛盾.所以当cosθ＜0时，f（x）的极小值不会大于零. 综上，要使函数f（x）在（-∞，+∞）内的极小值大于零，参数θ的取值范围为
??3?11?(,)?(,). 6226（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，函数f（x）在区间（-∞，0）与（
cos?，+∞）内都是增函数. 2由题设，函数f(x)在(2a-1,a)内是增函数，则a须满足不等式组
由(Ⅱ),参数θ∈(??3?11?13,)?(,)时，0＜cosθ＜.要使不等式2a-1≥cosθ关622622于参数θ恒成立，必有2a-1≥
4?33即?a.
84，
综上，解得a≤0或
4?3?a＜1.所以a的取值范围是 84?3，1）. 8(-∞,0]∪［
(21)本小题以数列的递推关系为载体，主要考查等比数列的等比中项及前n项和公式、不等式的性质及证明等基础知识，考查运算能力和推理论证能力.满分14分.
（Ⅰ）解：由已知x1=x2=1,且
x3xxxxx??2?x3??,4??3?x4??3,5??4?x5??6. x2x1x3x2x4x32若x1、x3、x5成等比数列，则x3 =x1x5,即?2=?6.而?≠0，解得?=±1.
(Ⅱ)证明：由已知，?＞0，x1=x2=1及y1=y2=2，可得xn＞0,yn＞0.由不等式的性质，有
yn?1ynyy。
≥?≥?2n?1≥?≥?n-12=?n-1 ynyn?1yn?2y1另一方面，
xxn?1xx??n??2n?1???n?12??n?1. xnxn?1xn?2x1因此，
yn?1x??n?1?n?1（n∈N*）.故 ynxnyn?1xn（n∈N*）. ?yn?1yn（Ⅲ）证明：当?＞1时，由（Ⅱ）可知yn＞xn≥1（n∈N*）。 又由（Ⅱ）
xn?1xn（n∈N*），则 ?yn?1ynyn?1?xn?1yn?xn， ?xn?1xn从而
yn?1?xn?1xn?1=?n-1（n∈N*）.因此 ?yn?xnxnx?ynx1?y1x2?y2 ????nx2?y2x3?y3xn?1?yn?1≤1+
1?1???()n?1?11?()n??1?1＜
?. ??1?(22)本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、平面向量、曲线和方程的关系等解析几何的基础知识和基本思想方法，考查推理及运算能力.满分14分.
(Ⅰ)证明：由题设条件知，Rt△OFA∽Rt△OBF，故
OFOBcb?,即?. OAOFac因此，c2=ab.
解：在Rt△OFA中，
FA=OA2?OF2?a2?c2?b.
于是，直线OA的斜率k0A=
b.设直线BF的斜率为k，则 ck=?1c??. kOAb
这时，直线BF的方程为y=?b（x－c），令x=0，则 cc2ab??a. y=bb所以直线BF与y轴的交点为M（0，a）.
(Ⅱ)证明：由（Ⅰ），得直线BF的方程为y=kx+a，且
c2abak=2?2?. ②
bbb2
由已知，设P（x1,y1）、Q（x2,y2）,则它们的坐标满足方程组
由方程组③消去y，并整理得
（b2+a2k2）x2+2a3kx+a4-a2b2=0. ④ 由①、②和④，
a4?a2b2a2(a2?b2)a3b2??. x1x2=2b?a2k2b2?a2?aa3?b3b由方程组③消去x，并整理得
（b2+a2k2）y2-2ab2y+a2b2-a2b2k2=0. ⑤ 由式②和⑤，
aa2b2(1?)ab(1?k)a2b2(b?a)by1y2=2??. 2233ab?aka?bb2?a2?b222综上，得到
a3b2a2b2(b?a)a2b3??3. OP2OQ?x1x2?y1y2?3a?b3a3?b3a?b3
注意到a2-ab+b2=a2-c2+b2=2b2,得
a2b3a2b3a2b OP2OQ?3??322(a?b)a?b(a?b)?2bac2a(a2?b2)12???(a?ab)2(a?b)2(a?b)2
11?(a2?c2)?b2.22