从上面测量结果可以看出，测量结果的有效数字位数由测量条件和待测量的大小共同决定。对于大小已定的物理量，测量仪器的精度越高，有效数字位数越多，因此，有效数字可以在某种程度上反映出测量仪器的精度。例如，上述物体的长度，用米尺测量是3位有效数字，而采用1/50游标卡尺测量，可得4位有效数字，用千分尺测量，可得5位有效数字；当测量条件一定时，待测量越大，有效数字位数越多。
2．数字“0”在有效数字中的作用
“0”在数据中的位置不同，可能是有效数字，也可能不是有效数字。如，0.03020m这个数中共有4个“0”，其中数字“3”前面的两个“0”只用来表示小数点位置，不是有效数字，而其余两个“0”是有效数字，即数字中间和末尾的“0”是有效的。
既然数字末尾的“0”是有效数字，那么就不能在数字的末尾随意加0或去掉0，否则物理意义将发生变化。要注意，一个物理量的测量值和数学上的一个数意义是不同的。数学上，0.0302m与0.03020m没有区别，但在物理上，0.0302m≠0.03020m，因为0.03020m中的“2”是准确测量出来的，是可靠的，而0.0302m中的“2”则是可疑数字，是不准确的。
由于数字“3”前面的两个“0”只用来表示小数点位置，不是有效数字，那么数字0.03020m、3.020cm、30.20mm的有效数字都是4位。因此，在十进制单位进行换算时，有效数字的位数不应发生变化。如，3.5A的电流值，若用mA单位表示，不能写成3500mA，而应采用科学记数法，写成3.5?103mA。
3．不确定度有效数字的确定
一般情况下绝对不确定度只取1位有效数字，对重要的、比较精密的测量或其他特殊情况，可取2位或2位以上有效数字，相对不确定度可取1～2位。本教材如无特殊说明，绝对不确定度取1位有效数字，相对不确定度取2位有效数字。
4．有效数字的确定
对于直接测量，有效数字的确定，实际上就是如何读数的问题。
由于测量结果的有效数字应是由若干位准确数字和一位可疑数字组成的，因此，从测量仪器上读取数据时应注意完整性，即除了读取整刻度数值外，还应进行整刻度以下的估读。特别是读取的数据数值恰好为整数时，则需在后面补“0”，一直补到可疑位为止。例如，上述物体的末端恰好与刻度25mm对齐时，则测量结果应记为2.50cm，而不能写为2.5cm。总之，直接测量读数的原则是：应读到仪器产生误差的那一位。
对于间接测量，中间运算过程中，由于参与运算的量可能很多，有效数字的位数可能不一致，使得数据计算显得繁琐和复杂。为了简化运算过程，同时又不会造成过大的计算误差，一般可采用以下规则进行运算：
（1） 进行加减运算时，应以参与运算各数据中末位数数量级最大的数据为准，其余各数据在中间计算过程中向后可多取一位，最后结果与末位数数量级最大的那一位对齐。例如，71.3-0.753+6.262+271=71.3-0.8+6.3+271=347.8=348
（2）进行乘除法运算时，以参与运算各数据中有效数字位数最少的为准，其余数字在中间运算过程中可多取一位有效数字，最后结果的有效数字与有效数字位数最少的那个数相同。例如：39.534.0843730.0013=39.534.0830.0013=0.21
乘方和开方运算规则与乘除法运算规则相同，即结果的有效数字与被乘方、开方数的有效数据位数相同。例如，1.40=1.96，200?14.1
（3）进行函数运算时，结果有效数字一般可根据间接测量不确定度计算公式进行计算来确定（参见2．4）。对常用的函数，也可按简单规则确定。如，对数函数运算结果的有效数字中，小数点后面的位数与真数的有效数字位数相同。例如，lg1.983?0.2973；指数函数运算结果的有效数字中，小数点后面的位数与指数中小数点后面的位数相同。例如，
2
10
106.25?1.79?106。
（4）间接测量计算过程中，计算公式中还会遇到自然数与常量，例如，球体的面积S与半径R有关系式S?4?R2。式中“4”是自然数，?是常量。自然数不是测量得到的，不存在误差，故有效数字是无穷多位，而不是一位；常量在运算过程中有效数字位数，不能少于参与运算的各数据中有效数字位数最少的那个数据，一般可以多取1位。
上述所述有效数字的运算规则，只是一个基本原则。实际问题中，为了防止取舍所造成的误差过大，常常在运算过程中多取几位，特别是随着计算机和计算器的普及，这种处理不会带来太多的麻烦，只是在最后结果根据不确定度所在位进行截断。
三、有效数字的舍入规则
1、测量数据中打算舍弃的最左一位数字小于5 时则舍去，欲保留的各位数字不变。例如数据3.1448 取三位有效数字时为3.14。
2、测量数据中打算舍弃的数字的最左一位数字大于5 (或等于5 而其后跟有非全部为0 的数字时)，则应进一，即保留数字的末位加1。如3.1465001 取二位有效数字时为3.1，取三位有效数字时为3.15，取四位有效数字时为3.147。
3、测量数据中打算舍去的最左一位数字为5，而它后面无数字或全部为0 时，若所保留数字的末位为奇数则进一，为偶数或0 则舍弃。如数据3.1050 取三位有效数字为3.10，数据3.15 取二位有效数字则为3.2
4、负数修约时，先将它的绝对值按上述123规定进行修约，然后在修约值前加上负号。 以上对有效数字的修约规则可以归纳为一句话：“四舍、大于五入、缝五凑偶”。 对仪器误差限、标准差及不确定度的最后结果，在去掉多余位时，一般只入不舍。 如计算不确定度时计算数据为0.0316，取一位有效数字时为0.04
第二节 误差的处理
2．1 随机误差的处理
一、随机误差的分布及其数字特征
1．正态分布及特点
尽管单次测量时随机误差的大小与正负是不确定的，但对多次测量来说却服从一定的统计规律。随机误差的统计分布规律有很多，正态分布是最常见的分布之一。
服从正态分布的随机误差的概率密度函数为
f(?)?1e??22?2?2? （2-1）
或
f(x)?1e??x?x0?22?2?2? （2-1'）
式中，x为测量值；x0为真值；?为误差；f表示在?（或x）附近单位区间内，被测量误差（或测量值）出现的概率。分布曲线如图2-1所示。
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1.210.80.60.40.20-4-20f(?) 1.21f(?) σσ1 ?1??0.82 0.60.40.20-6-4-22 2?4 图2-1 正态分布曲线 图2-2 σ对曲线的影响 O 024?6 由图可以看出，正态分布的随机误差具有以下特点：
① 单峰性：绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会多； ② 对称性（抵偿性）：大小相同，符号相反的误差出现的机会相同；
③ 有界性：实际测量中，超过一定限度（如?3?）的绝对值更大的误差一般不会出现。 2．数字特征
数学期望与方差是定量描述统计规律分布的两个重要参数。 根据式（2-1）或（2-1'），满足正态分布的随机变量x或?，其数学期望为
E(x)????xf(x)dx?x0 （2-2）
或
????E(?)???f(?)d??0 （2-2'）
??上式说明，对于无限次测量，测量值的数学期望等于真值，或误差的数学期望等于零，即随机误差具有抵偿性。
根据式（2-1）或（2-1'），满足正态分布的随机变量?或x，方差D及标准差?为
D(?)?????2f(?)d???2 （2-3）
??或
D(x)???x?x???0??2f(x)dx??2 （2-3'）
标准差
??D(x) （2-4）
方差与标准差反映测量值与真值的偏离程度，或各测量值之间的离散程度。标准差或方差越小，离散程度越小，测量的精密度高；反之，离散程度越大。如图2-2所示。
标准差?的物理意义也可以从下面这一角度理解：
根据概率密度函数的含义，误差出现在??,??d??范围内的概率为f???d?，则误差出现在区间???,??内的概率为
P????f???d??68.3% （2-5）
?上式表示，在一组测量数据中，有68.3%的数据测量误差落在区间???,??内。也可以认为，任一测量数据的误差落在区间???,??内的概率为68.3%。把P称作置信概率，而???,??称为68.3%的置信概率所对应的置信区间。
更广泛地，置信区间可由??k?,k??表示，k称为包含因子（或置信因子），可根据需要
12
选取不同大小的值。如，除了上述k?1的情况，还经常取k?2或3，这时的置信区间分别为??2?,2??和??3?,3??，对应的置信概率为95.5%和99.7%。
可以看出，如果置信区间为??3?,3??，则测量误差超出该区间的概率很小，只有0.3%，即进行1000次测量，只有3次测量误差可能超出??3?,3??。对于有限次测量（次数少于20次），超出该区间的误差可以认为不会出现，因此常将?3?称为极限误差。
二、算术平均值与标准偏差
对真值为x0的某一量x做等精度测量，得到一测量列x1～xn，则该测量列的算术平均值为
n?xix?i?1n （2-6）
若测量数据中无系统误差和粗大误差存在，由正态分布随机误差的对称性特点和数学期望、标准差含义可知，在测量次数n??时，有算术平均值
x?limi?1?x0 （2-7）
n??n?xin测量列标准差
??xi?x0???limi?1n??n2n （2-8）
在实际测量中，测量次数总是有限的，且真值不可知。因此，对于等精度测量列，可以用算术平均值作为真值的最佳估计值。而测量列标准差也需通过估计获得。估计标准差的方法很多，最常用的是贝塞尔法，即子样标准差。公式为 Sx ??S???x?x?ii?1n2n?1??vi?1n1.22i1n?1 0.80.60.40.2（2-9）
式中vi?xi?x，称为残差。若无
说明均用上式表示。 0n o 05101520由于算术平均值也是一个随机变
图2-3 测量次数对Sx的影响 量，进行多组等精度重复测量时得到的算术平均值具有离散性。描述该离
散性的参数是算术平均值的标准差，由误差理论可以证明，算术平均值标准差与测量列（或单次测量）标准差之间的关系为
? （2-10） ?x?n由式（2-10）可看出，平均值的标准差比单次测量的标准差小。随着测量次数的增加，
平均值的标准差越来越小，测量精密度越来越高。但当测量次数n?10以后，次数对平均值标准差的降低效果很小。如图2-3所示。所以，不能够单纯通过增加次数来提高测量精度。在科学研究中测量次数一般取10～20次，而在大学物理实验中一般取5～10次。
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当测量次数有限时，根据式（2-9）与式（2-10），算术平均值的标准差可由下式进行估计
nn?x?Sx???x?x?ii?12n?n?1???vi?12in?n?1? （2-11）
本教材中，就是采用（2-9）和（2-11）式来计算直接测量量的标准差。
2．2 仪器误差的处理
仪器误差属于未定系统误差，它是由多种因素引起的，规律比较复杂，一般只给出最大允许误差的估计值，这个估计值即为仪器的极限误差，用?仪表示。仪器的极限误差，一般由计量部门检定，具体数值可通过仪器说明书或标牌指示计算得到。有些仪器的极限误差或准确度等级无明确标示，这时，如果是数字式仪表，则可取末位数1个单位为极限误差，如果是通过刻度读数的仪器，可以取最小分度的一半作为极限误差。
2．3 直接测量的数据处理
对某一量x做等精度直接测量，得到一测量列x1、x2、?、xn，经判断无已定系统误差和粗差后，对该直接测量列的处理主要包括以下几方面：
一、最佳估计值
根据前面的讨论，算术平均值
i?1?xinnx? （2-12）
可以做为直接测量量的最佳估计值。
二、不确定度评定
1、A类不确定度
直接测量量的标准不确定度A类分量用算术平均值的标准差估计公式计算，即
uA??x???x?x?ii?1n2n?n?1???vi?1n2in?n?1? （2-13）
2、B类不确定度
本课程只考虑仪器误差的影响，标准不确定度B类分量为
uB??仪??仪3 （2-14）
3、合成不确定度
假设不确定度各分量之间相互独立，则合成标准不确定度为
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