22uc?uA?uB （2-15）
根据需要，有时将合成标准不确定度乘以某一倍数，得到扩展不确定度为
U?kuc （2-16） 式中的k为包含因子，它在确定的分布下与某个置信概率相对应，因此，在结果表示时应注明置信概率。一般精度要求不高时，可近似按正态分布处理，k取2～3。
三、测量结果的表示
在得到测量值和合成标准不确定度后，测量结果通常写为
（P=68.3%） （2-17） x?x?uc（单位）
相对不确定度为
E?uc （2-18） (或?100%）x如果用扩展不确定度表示，则测量结果为
（P??） （2-19） x?x?U（单位）
书写测量结果时应注意：
1．合成标准不确定度或扩展不确定度有效数字的取位
一般情况有效数字取1～2位，大学物理实验阶段，要求测量结果的不确定度有效数字取1位，为减小计算误差，中间过程的不确定度各分量有效数字可以多保留1位。相对不确定度的有效数字取2位。
按照这些约定对不确定度进行修约时，修约规则执行“1/3”原则，即如果要取舍的数字大于有效数字末位的1/3单位时，进位；否则，舍去。例如，不确定度计算数据为0.0234，有效数字取1位时，应为0.03；若为0.0232，则应为0.02。
2．测量结果有效数字的取位
测量结果有效数字的最后一位应与不确定度的末位对齐。测量结果有效数字取位时，应遵循“四舍、大于五入、缝五凑偶”的修约规则。例如，对某长度量测量算术平均值为2.5431cm，不确定度为0.0324cm，结果表示为
L??2.54?0.03? cm （2-20）
四、直接测量数据处理步骤及举例
1、数据处理步骤
根据上面的主要内容，对直接测量列x1,x2,?,xn进行处理的步骤可归纳为：
（1）．判断测量数据中有无已定系统误差，并消除或尽量减小其影响； （2）．检验数据的合理性，发现含有粗大误差的测量数据后，将该数据剔除，再将剩余数据进行判别，直到没有粗大误差为止；（大学物理实验阶段主要在实验过程中进行判断，用统计法对数据的判断不做要求）
（3）．对经过检验无已定系统误差和粗大误差的数据，由公式（2-12）求算术平均值作为测量结果的最佳值；
（4）．求残差vi?xi?x ?i?1,2,?,n?，并由公式（2-13）计算出算术平均值的标准差?x作为不确定度A类分量uA；
（5）．根据仪器误差?仪，由公式（2-14）计算不确定度B类分量uB；
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（6）．由公式（2-15）、（2-18）求合成标准不确定度uc、相对不确定度E，必要时按公式（2-16）求出扩展不确定度U； （7）．结果表示
（P=68.3%） x?x?uc（单位）
E?uc (或?100%）x2、数据处理举例
例2-1 用0～25mm的一级千分尺测钢球的直径6次，测量数据为
D??mm?：3.115，3.122，3.119，3.117，3.120，3.118
若千分尺的零点读数为-0.006mm（即测量端对齐时，零刻度线在准线以上），测量数据中不存在粗大误差，求测量结果。
解：
（1）．由于千分尺的零点不准，存在定值系统误差，按D??D??0.006?mm进行修正，得
D?mm?：3.121，3.128，3.125，3.123，3.126，3.124
注：也可先求算术平均值，再进行修正。 （2）．修正后直径的算术平均值D?3.1245mm 注：为防止计算误差过大，多取1位有效数字。 （3）．求不确定度A类分量
uA??D???D?D?ii?162n?n?1??0.00099mm
（4）．求不确定度B类分量
按国家计量标准，测量范围为0～100mm的一级千分尺的仪器极限误差
?仪?0.004mm，故
uB?（5）．求合成标准不确定度
?仪3?0.0023mm
???222uc?uA?uB??D??仪??0.003mm
?3?（6）．结果表示为
2?P?68.3%??D??3.124?0.003?mm? ?0.003E??100%?0.096%?0.1%?3.124?
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2．4 间接测量的数据处理
设间接测量量y与直接测量量x1,x2,?,xk的函数关系为
y?f?x1,x2,?,xk? （2-21） 各直接测量量按1．3节步骤处理后的结果为
x1?x1?u1x2?x2?u2?????xk?xk?uk
一、间接测量量的最佳值
可以证明，间接测量量的最佳值用式
y?f?x1,x2,?,xk? （2-23）
（2-22）
求得。
二、间接测量量不确定度合成
由于间接测量量y与k个直接测量量有关，因此，间接测量量的不确定度由各直接测量量的不确定度决定。如果各直接测量量之间是相互独立的，由统计理论可推出
??f???f???f??????uc?y???u?u???u??x1???x2???xk? （2-24）
?1??2??k?u?y?E?c?y??lnf???lnf???lnf??????u?u???u1?2?k???x??x??x? （2-25）
12k??????222222式中
?lnf?f及（i?1，2，?，k）称为传播系数。 ?xi?xiuc求相对不确定度E比较简y对于加减运算的函数，先用（2-24）求不确定度uc，再用
单；而对乘除运算的函数，先用（2-25）求相对不确定度E，再用E?y求不确定度uc?y?比较简单。
三、间接测量数据处理步骤及举例
1、数据处理步骤 （1）．按直接测量数据处理步骤，求出各直接测量量的测量结果x1,x2,?,xk和不确定度u1,u2,?,uk；
（2）．按公式（2-23）求间接测量量的最佳估计值y； （3）．用不确定度计算公式（2-24）和（2-25），分别求出y的不确定度uc和相对不确定度E； （4）．结果表示
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?y??y?uc?单位??E?uc?或?100%??y??P?？?
2、数据处理举例
例2-2 用一0～25mm的一级千分尺测圆柱体的直径和高度各6次，测量数据如表2-1。 表2-1 圆柱体直径和高度的测量数据 测量次数 直径d/mm 高度h/mm 1 6.075 10.105 2 6.087 10.107 3 6.091 10.103 4 6.060 10.110 5 6.085 10.100 6 6.080 10.108 若测量数据无已定系统误差和粗大误差，试求该圆柱体的体积。
解：显然，体积U为间接测量量，直径d与高度h为直接测量量，故应按间接测量数据处理方法来求测量结果。
（1）．直径d的处理
①最佳值d
i?16?di6?6.0797 mm
d?②不确定度ud
A类分量 uA?d???d???di?d?i?1626?6?1??0.0045 mm
按技术规程，所用一级千分尺的极限误差?仪?0.004 mm，则 B类分量 uB?d???仪3?0.0023 mm
2???222d的合成不确定度 ud?uA?uB??d??仪??0.0051 mm
?3?注：上述各计算结果的有效数字，都比有效数字运算规则和不确定度取位规则要求的位数多一位，目的是减小后续计算误差。以下类同。
（2）．高度h的处理
①最佳值h
i?16?hi6?10.1055 mm
h?②不确定度uh
A类分量 uA?h???h???hi?h?i?1626?6?1??0.0015 mm
按技术规程，所用一级千分尺的极限误差?仪?0.004 mm，则
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B类分量 uB?h???仪3?0.0023 mm
2???222h的合成不确定度 uh?uA?uB??h??仪??0.0027 mm
?3?（3）．体积U的处理 ①最佳值V
12?dh?293.367 mm3 4②合成不确定度uc?V? V?体积U与高度和直径之间的函数为简单乘除关系，所以选用（2-25）式先求相对不确定度E
22?uh??uuc?V???lnV???lnV????2dE???uh???ud????h??dy??h???d????2???0.0017?0.17% ??2体积的合成不确定度 uc?V??V?E?0.5 mm
3③最终结果为
V??293.4?0.5?mm3E?0.17%?P?68.3%?
2．5 数据处理的几种常用方法
数据处理是实验的重要组成部分，它贯穿于实验的自始至终，与实验操作、误差分析及评定形成一有机整体，对实验的成败、测量结果精度的高低起着至关重要的作用。
数据处理的能力，往往代表着实验者水平的高低。高明的实验者可以利用精度不高的仪器，通过选择合适巧妙的数据处理方法，如作图法、列表法、逐差法和最小二乘法等，发现极其有价值的自然规律或自然界的新事物。因此，掌握基本的数据处理方法，提高数据处理的能力，对提高实验能力是非常有用的。
一、列表法
列表法是实验中常用的记录数据、表示物理量之间关系的一种方法。它具有记录和表示数据简单明了，便于表示物理量之间对应关系，在测量和计算过程中随时检查数据是否合理，及早发现问题及提高处理数据效率等优点。列表的要求如下：
1、简单明了，便于表示物理量的对应关系，处理数据方便。
2、表的上方写明表的序号和名称，表头栏中标明物理量、所用单位和量值的数量级等。 3、表中所列数据应是正确反映结果的有效数字。 4、测量日期、说明和必要的实验条件记录在表外。 例2-2 刚体转动法测量转动惯量见表1-5-1。 表2-2 r?t对应数值表
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