9-5 线面、面面垂直的判定与性质
1.(2011·北京西城模拟)已知两条不同的直线a，b和两个不同的平面α，β，且a⊥α，
b⊥β，那么α⊥β是a⊥b的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件
D．既不充分也不必要条件 [答案] C
[解析] α⊥β??
??a∥β或a?β?a⊥α?
b⊥β
??
??a⊥b； ??
a⊥α??a⊥b??b∥α或b?α
??
b⊥β
?
??α⊥β. ?
2．(文)(2011·唐山模拟)已知一个平面α，那么对于空间内的任意一条直线a，在平面α内一定存在一条直线b，使得a与b( )
A．平行 C．异面 [答案] D
[解析] 当a与α相交时，平面内不存在直线与a平行；当a∥α时，平面内不存在直线与a相交；当a?平面α时，平面α内不存在直线与a异面；无论a在何位置，a在平面α内总有射影a′，当b?α，b⊥a′时，有b⊥a，故选D.
(理)(2011·青岛模拟)设两个平面α，β，直线l，下列三个条件：①l⊥α；②l∥β；③α⊥β.若以其中两个作为前提，另一个作为结论，则可构成三个命题，这三个命题中正确命题的个数为( )
A．3 C．1 [答案] C [解析]
B．2 D．0 B．相交 D．垂直
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l⊥α??
??α⊥β；l∥β??
α⊥β??
??/ l∥β，此时可能l?β，?l⊥α?
l∥β??
??/ l?α⊥β?
⊥α，此时l与α还可能平行、斜交，故选C.
3．(文)(2011·东莞模拟)若l为一条直线，α、β、γ为三个互不重合的平面，给出下面三个命题：
①α⊥γ，β⊥γ?α⊥β；②α⊥γ，β∥γ?α⊥β； ③l∥α，l⊥β?α⊥β. 其中的真命题有( ) A．0个 C．2个 [答案] C
[解析] ①中α与β可能平行，故①错，②③正确．
(理)(2011·北京市朝阳区模拟)设α，β，γ是三个不重合的平面，l是直线，给出下列命题
①若α⊥β，β⊥γ，则α⊥γ；②若l上两点到α的距离相等，则l∥α；③若l⊥α，l∥β，则α⊥β；④若α∥β，l?β，且l∥α，则l∥β.
其中正确的命题是( ) A．①② C．②④ [答案] D
[解析] 对于①：若α⊥β，β⊥γ，则可能α⊥γ，也可能α∥γ.对于②：若l上两点到α的距离相等，则l∥α，显然错误．当l⊥α，l∩α＝A时，l上到A距离相等的两点到α的距离相等．③④显然正确．
4．(2011·安徽省皖南八校联考)设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是( )
A．若l⊥m，m?α，则l⊥α B．若l⊥α，m?α，则l⊥m C．若l∥α，l∥m，则m∥α D．若l∥α，m∥α，则l∥m [答案] B
[解析] 直线垂直于平面中两条相交直线，才能垂直于平面，故A错；C中m可能包含在平面α中；D中两条直线可能平行、相交或异面．
5.(2011·广东省深圳市高三调研)如下图，在立体图形D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，
B．②③ D．③④ B．1个 D．3个
E是AC的中点，则下列结论正确的是( )
A．平面ABC⊥平面ABD B．平面ABD⊥平面BDC
C．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDE D．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE [答案] C
[解析] 要判断两个平面的垂直关系，就需找一个平面内的一条直线与另一个平面垂直．因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE.因为
AC在平面ABC内，所以平面ABC⊥平面BDE.又由于AC?平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.
所以选C.
6．(文)(2011·济宁三模)在正三棱柱ABC－A1B1C1中，若AB＝2，AA1＝1，则点A到平面
A1BC的距离为( )
A.C.3 433
4
[答案] B
[解析] 解法1：取BC中点E，连接AE、A1E，过点A作AF⊥A1E，垂足为F.
B.3 2
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D.3
∵A1A⊥平面ABC，∴A1A⊥BC， ∵AB＝AC.∴AE⊥BC. ∴BC⊥平面AEA1. ∴BC⊥AF，又AF⊥A1E， ∴AF⊥平面A1BC.
∴AF的长即为所求点A到平面A1BC的距离． ∵AA1＝1，AE＝3，∴AF＝
3. 2
113
解法2：VA1－ABC＝S△ABC·AA1＝×3×1＝.
333又∵A1B＝A1C＝5，
在△A1BE中，A1E＝A1B－BE＝2. 1
∴S△A1BC＝×2×2＝2.
212
∴VA－A1BC＝×S△A1BC·h＝h.
33
2333
∴h＝，∴h＝.∴点A到平面A1BC距离为. 3322
(理)(2011·海淀检测)若正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD成60°角，则A1C1到底面ABCD的距离为( )
A.3 3
B．1 D.3
2
2
C.2
[答案] D
[解析] 依题可知∠B1AB＝60°，平面A1B1C1D1∥平面ABCD，A1C1?平面A1B1C1D1， ∴B1B即为所求距离，在△ABB1中得，
B1B＝3.故选D.
7．(文)(2011·扬州模拟)已知直线l，m，n，平面α，m?α，n?α，则“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的________条件．(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一)
[答案] 充分不必要
[解析] 若l⊥α，则l垂直于平面α内的任意直线，故l⊥m且l⊥n，但若l⊥m且l⊥n，不能得出l⊥α.
(理)(2011·揭阳模拟)设x、y、z是空间不同的直线或平面，对下列四种情形：①x、y、
z均为直线；②x、y是直线，z是平面；③z是直线，x、y是平面；④x、y、z均为平面，其
中使“x⊥z且y⊥z?x∥y”为真命题的序号是________．
[答案] ②③
[解析] 当x、y为直线，z为平面时，有x⊥z，y⊥z?x∥y；当x、y为平面，z为直线时，有x⊥z，y⊥z?x∥y，故②③正确．
[点评] 由正方体交于同一个顶点的三条棱和三个面知①④均使命题为假命题． 8．(2011·苏州模拟)已知m，n是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，下列四个命题：
①若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β； ②若m∥α，n∥β，m⊥n，则α∥β； ③若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α∥β； ④若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥n.
其中正确的命题是(填上所有正确命题的序号)________． [答案] ①④
错；
[解析] ①m⊥α??
??n?α或n∥α? m⊥n?
n⊥β
??
??α⊥β； ??
②如下图，m为B1C1，n为A1B1，α为平面ADD1A1，β为平面ABCD，满足②的条件，故②