2012-2013学年北京66中高二（下）期中数学试卷（理科）
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（3分）（2010?湖南）复数
的值为（ ）
A． 1﹣i B． 1+i C． ﹣1﹣i D． ﹣1+i 考点： 复数代数形式的乘除运算． 专题： 计算题． 分析： 复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，化为a+bi（a、b∈R），可得选项． 解答： 解：． 故选B． 点评： 本题考查复数代数形式的乘除运算，高考常考题，是基础题． 2．（3分）
（ ）
D． 3 A． 6 B． 5 C． 4 考点： 定积分． 专题： 计算题． 分析： 直接根据定积分的运算法则求解即可． 12222解答： 解：∫22xdx=x|1=2﹣1=3 故选D． 点评： 本题是定积分的简单计算，是基础题．
32
3．（3分）设f（x）=ax+3x+2，若f′（﹣1）=4，则a的值等于（ ） A． B． C． 考点： 导数的运算． 专题： 计算题． 分析： 先求出导函数，再代值算出a． 2解答： 解：f′（x）=3ax+6x， ∴f′（﹣1）=3a﹣6=4，∴a= D． 故选D． 点评： 本题是对导数基本知识的考查，属于容易题，在近几年的高考中，对于导数的考查基本围绕导数的计算和导数的几何意义展开，是考生复习时的重点内容． 4．（3分）若
，则实数x的值为（ ）
C． 4或1 D． 其它 A． 4 B． 1 考点： 组合及组合数公式． 专题： 计算题． 分析： 直接利用组合数公式的性质列式求解x的值． 解答： 解：由，得①或② 解①得，x=1． 解②得，x=4． 所以x的值为4或1． 故选C． 点评： 本题考查了组合及组合数公式，考查了组合数公式的性质，是基础的运算题． 3
5．（3分）（2010?江西模拟）曲线y=x﹣2x+4在点（1，3）处的切线的倾斜角为（ ） A． 30° B． 45° C． 60° D． 120° 考点： 导数的几何意义． 专题： 计算题． 分析： 欲求在点（1，3）处的切线倾斜角，先根据导数的几何意义可知k=y′|x=1，再结合正切函数的值求出角α的值即可． /22解答： 解：y=3x﹣2，切线的斜率k=3×1﹣2=1．故倾斜角为45°． 故选B． 点评： 本题考查了导数的几何意义，以及利用正切函数的图象求倾斜角，本题属于容易题． 6．（3分）（2007?杭州二模）在
的展开式中的常数项是（ ）
A． 7 B． ﹣7 C． 28 D． ﹣28 考二项式系数的性质． 点： 专计算题． 题： 分利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为0求出展开式的常数项． 析： 解解：展开式的通项为答： 令 故选A 点本题考查利用二项展开式的通项公式解决展开式的特定项问题，属于基础题． 评： 32
7．（3分）函数f（x）=x﹣3x+2x的极值点的个数是（ ） A． 0 B． 1 C． 2 D． 3 考点： 利用导数研究函数的极值． 专题： 导数的概念及应用． 分析： 对函数求导，结合导数的符号判断函数的单调性，进而可求函数的极值的个数． 2解答： 解：由题知f（x）的导函数f'（x）=3x﹣6x+2， 当x∈则函数f（x）在32时，f'（x）＜0，当x∈上单调递减，函数f（x）在或（1，+∞）时，f'（x）＞0， ，（1，+∞）上单调递增， ∴函数 f（x）=x﹣3x+2x有2个极值点． 故答案为：C． 点评： 本题考查利用导数研究函数的极值．属于基础题． n
8．（3分）在（x+y）的展开式中，若第七项系数最大，则n的值可能等于（ ） A． 13，14 B． 14，15 C． 12，13 D． 11，12，13 考点： 二项式系数的性质． 专题： 计算题；分类讨论． 分析： 根据题意，分三种情况讨论，①若仅T7系数最大，②若T7与T6系数相等且最大，③若T7与T8系数相等且最大，由二项式系数的性质，分析其项数，综合可得答案． 解答： 解：根据题意，分三种情况： ①若仅T7系数最大，则共有13项，n=12； ②若T7与T6系数相等且最大，则共有12项，n=11； ③若T7与T8系数相等且最大，则共有14项，n=13； 所以n的值可能等于11，12，13； 故选D． 点评： 本题考查二项式系数的性质，注意分清系数与二项式系数的区别于联系；其次注意什么时候系数会取到最大值． 3
9．（3分）（2012?昌图县模拟）若函数f（x）=x+ax﹣2在区间（1，+∞）内是增函数，则实数a的取值范围是（ ） A． [﹣3，+∞） B． （﹣3，+∞） C． [0，+∞） D． （0，+∞） 考点： 函数的单调性与导数的关系． 专题： 计算题． 2分析： 由已知，f′（x）=3x≥0在[1，+∞）上恒成立，可以利用参数分离的方法求出参数a的取值范围． 2解答： 解：f′（x）=3x+a，根据函数导数与函数的单调性之间的关系，f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成222立，即a≥﹣3x，恒成立，只需a大于﹣3x 的最大值即可，而﹣3x 在[1，+∞）上的最大值为﹣3，所以a≥﹣3．即数a的取值范围是[﹣3，+∞）． 故选A． 点评： 本题考查函数导数与函数的单调性之间的关系，参数取值范围求解．本题采用了参数分离的方法． 10．（3分）已知一个命题P（k），k=2n（n∈N），若n=1，2，…，1000时，P（k）成立，且当n=1000+1时它也成立，下列判断中，正确的是（ ） A． P（k）对k=2013成立 B． P（k）对每一个自然数k成立 C． P（k）对每一个正偶数k成立 D． P（k）对某些偶数可能不成立 考点： 进行简单的合情推理． 专题： 概率与统计． *分析： 由于命题p（k），这里k=2n（n∈N），当n=1，2，…，1000时，p（k）成立，而当n=1000+1时，故p（k）对于1～1000内的奇数均成立，对其它数却不一定成立，故可得结论． *解答： 解：由于命题p（k），这里k=2n（n∈N），当n=1，2，…，1000时，p（k）成立， 而当n=1000+1时，故p（k）对于1～1000内的奇数均成立，对其它数却不一定成立 故p（k）对于k=2013不一定成立，对于某些偶数可能成立，对于每一个偶数k不一定成立，对于每一个自然数k不一定成立． 故选D． 点评： 本题考查的知识点是用数学归纳法证明数学命题，考查学生的推理能力，属于中档题． 二．填空题（每小题4分，共24分） 11．（4分）函数f（x）=1﹣lnx在x=1处的切线方程是 y=2﹣x ． 考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程． 专题： 导数的综合应用． 分析： 求导函数，确定切线的斜率，求出切点的坐标，即可得到切线方程． 解答： 解：∵f（x）=1﹣lnx，∴f′（x）=﹣ x=1时，f′（1）=﹣1，f（1）=1 ∴函数f（x）=1﹣lnx在x=1处的切线方程是y﹣1=﹣（x﹣1），即y=2﹣x 故答案为：y=2﹣x． 点评： 本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查学生的计算能力，属于基础题． 12．（4分）（文）如图，函数y=f（x）的图象在点P处的切线方程是y=﹣x+8，则f（5）+f′（5）= 2 ．
考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程． 专题： 计算题；导数的概念及应用． 分析： 根据导数的几何意义，结合切线方程，即可求得结论． 解答： 解：由题意，f（5）=﹣5+8=3，f′（5）=﹣1 ∴f（5）+f′（5）=2 故答案为：2 点评： 本题考查导数的几何意义，考查学生的计算能力，属于基础题． 13．（4分）由0，1，3，5，7，9这六个数字组成 480 个没有重复数字的六位奇数． 考点： 计数原理的应用． 专题： 概率与统计． 分析： 先排第一位、第六位，再排中间，利用乘法原理，即可得到结论． 解答： 解：第一位不能取0，只能在5个奇数中取1个，有5种取法；第六位不能取0，只能在剩余的4个奇数中取1个，有4种取法； 中间的共四位，以余下的4个数作全排列． 所以，由0，1，3，5，7，9这六个数字组成的没有重复数字的六位奇数有5×4×=480个． 故答案为：480 点评： 本题考查计数原理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．
776
14．（4分）若（2x﹣1）=a7x+a6x+…+a1x+a0，则a7+a5+a3+a1= 1094 ． 考点： 二项式定理． 专题： 计算题；概率与统计． 分析： 在所给的等式中，令x=1可得 a7 +a6 +…+a1 +a0 =1 ①，再令x=﹣1可得﹣a7 +a6 ﹣55+a4﹣a3+a2﹣a1 +a0 7=﹣3 ②．把①减去②，两边再同时除以2求得 a7+a5+a3+a1的值． 解答： 解：在所给的等式中，令x=1可得 a7 +a6 +…+a1 +a0 =1 ①，再令x=﹣1可得﹣a7 +a6 ﹣55+a4﹣a3+a27﹣a1 +a0 =﹣3 ②． 把①减去②，两边再同时除以2求得 a7+a5+a3+a1==1094， 故答案为1094． 点评： 本题主要考查二项式定理的应用，是给变量赋值的问题，关键是根据要求的结果，选择合适的数值代入，属于中档题． 15．（4分）已知x＞0，观察下列几个不等式：
；
；
；
；…；归纳
猜想一般的不等式为，（n是正整数） ．
考点： 归纳推理． 专题： 探究型． 分析： 根据题意，对给出的几个等式变形可得，x+≥1+1，x+≥2+1，x+≥3+1，…，类推可得变化规律，左式为x+，右式为n+1，即可得答案． 解答： 解：根据题意，对给出的等式变形可得，x+≥1+1，x+≥2+1，x+≥3+1，…， 则一般的不等式为x+≥n+1，（n是正整数）； 故答案为x+≥n+1（n是正整数）．