点评： 本题考查归纳推理，解题的关键在于发现左式中的变化规律． （1）（2）（1）（n）（n﹣1）
16．（4分）记f（x）=[f（x）]′，f（x）=[f（x）]′，…，f（x）=[f（x）]′（n∈N+，
（1）（2）（2013）
n≥2）．若f（x）=xcosx，则f（0）+f（0）+f+L+f（0）的值为 1007 ． 考点： 导数的运算． 专题： 计算题． （1）（2）（5）（1）（2）（5）分析： 先求出f（x），f（x），…f（x），由f（0），f（0），f（0），f（0），…可发现规律，从而可得到答案． （1）（2）解答： 解：由f（x）=xcosx，得f（x）=cosx﹣xsinx，f（x）=﹣sinx﹣sinx﹣xcosx=﹣2sinx﹣xcosx， （3）（4）（5）f（x）=﹣2cosx﹣cosx+xsinx=﹣3cosx+xsinx，f（x）=3sinx+sinx+xcosx=4sinx+xcosx，f（x）=4cosx+cosx﹣xsinx=5cosx﹣xsinx，…， （1）（2）（2013）则f（0）+f（0）+f+…+f（0）=0+1+0﹣3+0+5+0﹣…+2013=（1﹣3）+（5﹣7）+…+（2009﹣2011）+2013=﹣2×503+2013=1007， 故答案为：1007． 点评： 本题考查导数的运算，考查学生的归纳推理能力． 三．解答题（4道题，共36分）
17．（6分）已知函数f（x）=x﹣x﹣2x+5
（1）求函数的单调区间．
（2）求函数在[﹣1，2]区间上的最大值和最小值． 考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值． 专题： 计算题． 分析： （1）先确定函数的定义域然后求导数fˊ（x），在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0； （2）先求出函数的极值，比较极值和端点处的函数值的大小，最后确定出最大值与最小值． 2解答： 解：（1）f'（x）=3x﹣x﹣2（2分） 由f'（x）＞0得或x＞1，（4分） 3
2
故函数的单调递增区间为（﹣∞，﹣），（1，+∞）；（5分） 由f'（x）＜0得故函数的单调递减区间为（（2）由（1）知而区间[﹣1，2]端点的函数值（6分） ，1）（7分） 是函数的极大值，f（1）=3.5是函数的极小值；（10分） （12分） 故在区间[﹣1，2]上函数的最大值为7，最小值为3.5（14分） 点评： （1）利用导数判断函数的单调性的步骤是：（1）确定 的定义域；（2）求导数fˊ（x）；（3）在函数 的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0（4）确定 的单调区间．若在函数式中含字母系数，往往要分类讨论． （2）这是一道求函数的最值的逆向思维问题．本题的关键是比较极值和端点处的函数值的大小
18．（10分）用数学归纳法证明：当n为正整数时，1+2+3+…+n=
3
3
3
3
．
考点： 数学归纳法． 专题： 证明题． 分析： 用数学归纳法证明：（1）当n=1时，去证明等式成立；（2）假设当n=k时，等时成立，用上归纳假设后，去证明当n=k+1时，等式也成立即可． 解答： 证明：（1）当n=1时，左边=1，右边==1， ∴等式成立…2分 （2）假设当n=k时，等时成立，即1+2+3+…+k=3333…4分 那么，当n=k+1时，有1+2+3+…+k+（k+1）=33333+（k+1）…6分 3=（k+1）?（=（k+1）?22+k+1） = =…8分 这就是说，当n=k+1时，等式也成立…9分 *根据（1）和（2），可知对n∈N等式成立…10分 点评： 本题考查数学归纳法，用好归纳假设是关键，考查逻辑推理与证明的能力，属于中档题． 19．（10分）六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？ （l）甲不站两端； （2）甲、乙必须相邻； （3）甲、乙不相邻；
（4）甲、乙之间间隔两人； （5）甲不站左端，乙不站右端． 考点： 排列、组合及简单计数问题． 专题： 概率与统计． 分析： （l）现在中间的4个位中选一个，排上甲，方法有4种；其余的人任意排，方法有种，再根据分步计数原理求得结果． （2）把甲乙看成一个整体，这样6个人变成了5个人，全排列共有? 种站法． ?（种））． 种．把排（3）先把其余的4个人全排列，然后再把甲乙插入其余4人形成的5个空中，方法共有（4）先把甲乙排好，有种方法，再从其余的4人中选出2人放到甲乙中间，方法有好的这4个人看做一个整体，再与其他的2个人进行排列，方法有结果． 种．根据分步计数原理，求得（5）当甲在中间时，先排甲，有4种方法，再排乙，有4种方法，最后，其余的人任意排，有方法，根据分步计数原理，方法共有4×4×有=120种排法．相加即得所求． 种=384种．当甲在右端时，其余的5个人任意排，共解答： 解：（l）现在中间的4个位中选一个，排上甲，方法有4种；其余的人任意排，方法有有?=480 （种）． ?种，故共（2）把甲乙看成一个整体，这样6个人变成了5个人，全排列共有=240 （种）站法． （3）先把甲乙二人单独挑出来，把其余的4个人全排列，然后再把甲乙插入其余4人形成的5个空中， 方法共有?=480 （种））． 种方法，再从其余的4人中选出2人放到甲乙中间，方法有种． 种． （4）先把甲乙排好，有把排好的这4个人看做一个整体，再与其他的2个人进行排列，方法有根据分步计数原理，求得甲、乙之间间隔两人的排法共有 ??=144种． 种（5）当甲在中间时，先排甲，有4种方法，再排乙，有4种方法，最后，其余的人任意排，有方法， 根据分步计数原理，方法共有4×4×=384种． =120种排法． 当甲在右端时，其余的5个人任意排，共有故甲不站左端，乙不站右端的排法有384+120=504种． 点评： 本题主要考查排列组合的实际应用，本题解题的关键是对于有限制的元素要优先排，特殊位置要优先排．相邻的问题用捆绑法，不相邻的问题用插空法，体现了分类讨论的数学思想，是一个中档题目． 20．（10分）已知函数f（x）=x﹣alnx+在x=1处取得极值． （I）求a与b满足的关系式；
（II）若a∈R，求函数f（x）的单调区间．
考点： 函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的单调性． 专题： 导数的概念及应用． ′分析： （Ⅰ）利用f（1）=0即可求得a与b的关系． （Ⅱ）先求导得f（x）=′解答： 解：（Ⅰ）f（x）=1﹣﹣′，然后对参数a分a＞2，a=2，a＜2讨论即可． ， ′∵函数f（x）=x﹣alnx+在x=1处取得极值，∴f（1）=0，∴1﹣a﹣b=0，即b=1﹣a． （Ⅱ）函数f（x）的定义域为（0，+∞）， 由（Ⅰ）可得f（x）=′′==． 令f（x）=0，则x1=1，x2=a﹣1． ′′①当a＞2时，x2＞x1，当x∈（0，1）∪（a﹣1，+∞）时，f（x）＞0；当x∈（1，a﹣1）时，f（x）＜0． ∴f（x）的单调递增区间为（0，1），（a﹣1，+∞）；单调递减区间为（1，a﹣1）． ′②当a=2时，f（x）≥0，且只有x=1时为0，故f（x）在（0，+∞）上单调递增． ′′③当a＜2时，x2＜x1，当x∈（0，1﹣a）∪（1，+∞）时，f（x）＞0；当x∈（1﹣a，1）时，f（x）＜0． ∴f（x）的单调递增区间为（0，1﹣a），（1，+∞）；单调递减区间为（a﹣1，1）． 点评： 本题考查了含有参数的函数的单调性，对参数恰当分类讨论是解决问题的关键．