2012考前冲刺数学第四部分专题十六 坐标系与参数方程
1.极坐标方程(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)表示的图形是( ) A．两个圆 B．两条直线 C．一个圆和一条射线 D．一条直线和一条射线 解析： ∵(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)， ∴ρ＝1或θ＝π(ρ≥0)．
ρ＝1表示圆心在原点，半径为1的圆，
θ＝π(ρ≥0)表示x轴的负半轴，是一条射线，故选C. 答案： C
2．在平面直角坐标系xOy中，点P的直角坐标为(1，－3)．若以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P的极坐标可以是( )
π??A.?1，－? 3??
π??C.?2，－? 3??
?4π?B.?2，?
3??
4π??D.?2，－? 3??
4．设直线过极坐标系中的点M(2,0)，且垂直于极轴，则它的极坐标方程为________． 解析： 设所求直线的任一点的极坐标为(ρ，θ)，由题意可得ρcos θ＝2. 答案： ρcos θ＝2
π??5．在极坐标系中，直线ρsin?θ＋?＝2被圆ρ＝4截得的弦长为________．
4??π??22
解析： 直线ρsin?θ＋?＝2可化为x＋y－22＝0，圆ρ＝4可化为x＋y＝16，
4??
用心 爱心 专心 1
由圆中的弦长公式得2r－d＝2答案： 43
224－?
2
?22?2
?＝43. 2??
1??x′＝x，26．设平面上的伸缩变换的坐标表达式为???y′＝3y，
则在这一坐标变换下正弦曲线
y＝sin x的方程变为________．
??S＝OA·OB·sin?－?＝3.
36
?
?
答案： 3
π?π?8．在极坐标系中，直线θ＝截圆ρ＝2cos?θ－?(ρ∈R)所得的弦长是________． 6?6?解析： 把直线和圆的极坐标方程化为直角坐标方程分别为y＝
33??
x和?x－?2＋32??
1
2
ππ
?y－1?2＝1. ?2???
显然圆心?
3?31?
，?在直线y＝x上．
3?22?
故所求的弦长等于圆的直径的大小，即为2. 答案： 2
9．直线2x＋3y－1＝0经过变换可以化为6x＋6y－1＝0，则坐标变换公式是________． 解析： 设直线2x＋3y－1＝0上任一点的坐标为(x，y)，经变换后对应点的坐标为(x′，
用心 爱心 专心 2
??x′＝kxy′)，设坐标变换公式为?
?y′＝hy?
.
1
x＝x′??k∴?1
y＝??hy′
23
，将其代入直线方程2x＋3y－1＝0，得x′＋y′－1＝0，将其与
kh11
6x＋6y－1＝0比较得k＝，h＝.
32
1x′＝x??3
∴坐标变换公式为?1
y′＝??2y1
x′＝x??3
答案： ?1
y′＝??2y
.
10．在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ<2π)中，曲线ρ＝2sin θ与ρcos θ＝－1的交点的极坐标为________．
所以ρ＝
2
2
(ρcos θ＋ρsin θ)． 2
2
2
转化为直角坐标方程为x＋y＝
2
(x＋y)， 2
用心 爱心 专心 3
即?x－即以?
??2?2?2?21?＋?y－?＝4， 4??4?
12??2
，?为圆心，为半径的圆．
24??4
1
x′＝x??2
12．同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换?1
y′＝??3y为何种曲线，并求曲线的焦点坐标．
后，曲线C：x＋y＝36变
22
?π??π?13．已知两点A，B的极坐标分别为?4，?，?4，?.
2??6??
(1)求A，B两点间的距离； (2)求直线AB的极坐标方程．
?π?14．在极坐标系中，已知圆C的圆心坐标为C?2，?，半径R＝5，求圆C的极坐标
3??
方程．
?π?解析： 将圆心C?2，?化成直角坐标为(1，3)，半径R＝5，故圆C的方程为(x3??
用心 爱心 专心
4
－1)＋(y－3)＝5.
再将C化成极坐标方程，得
(ρcos θ－1)＋(ρsin θ－3)＝5. π??2
化简，得ρ－4ρcos?θ－?－1＝0，
3??此即为所求的圆C的极坐标方程．
π??5??15．在极坐标系中，已知三点M?2，π?，N(2,0)，P?23，?.
6??3??(1)将M、N、P三点的极坐标化为直角坐标． (2)判断M、N、P三点是否在一条直线上．
2
2
25
圆O的直角坐标方程为：x＋y＝x＋y，即x＋y－x－y＝0，
π?2?直线l：ρsin?θ－?＝，即ρsin θ－ρcos θ＝1，则直线l的直角坐标方程
4?2?为：y－x＝1，即x－y＋1＝0.
??x＋y－x－y＝0
(2)由?
?x－y＋1＝0?
2
2
2222
??x＝0
得?
?y＝1?
，
?π?故直线l与圆O公共点的极坐标为?1，?.
2??
π
17．在极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，以极点为原点，极轴为x3
??x＝2cos α，
轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C的参数方程为?
?y＝1＋cos 2α?
(α为参数)，求
用心 爱心 专心 5