直线l与曲线C的交点P的直角坐标．
π
解析： 因为直线l的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，
3所以直线l的普通方程为y＝3x，①
??x＝2cos α，
又因为曲线C的参数方程为?
??y＝1＋cos 2α
(α为参数)，
12
所以曲线C的直角坐标方程为y＝x(x∈[－2,2])，②
2联立①②解方程组得?
?x＝0，???y＝0
或?
?x＝23，
?y＝6.
根据x的范围应舍去?
?x＝23，?y＝6，
故P点的直角坐标为(0,0)．
18．如图，在圆心的极坐标为A(4,0)，半径为4的圆中，求过极点O的弦的中点的轨迹的极坐标方程，并将其化为直角坐标方程．
解析： 设M(ρ，θ)是轨迹上任意一点，连结OM并延长交圆A于点P(ρ0，θ0)，则有θ0＝θ，ρ0＝2ρ.
由圆心为(4,0)，半径为4的圆的极坐标方程为ρ＝8cos θ得ρ0＝8cos θ0，所以2ρ＝8cos θ，即ρ＝4cos θ，
故所求轨迹方程是ρ＝4cos θ，它表示以(2,0)为圆心，2为半径的圆．
因为x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，由ρ＝4cos θ得ρ＝4ρcos θ，所以x＋y＝4x，即x＋y－4x＝0为圆的直角坐标方程．
19．求证：过抛物线的焦点的弦被焦点分成的两部分的倒数和为常数．
2
2
2
2
2
用心 爱心 专心 6
证明： 建立如图所示的极坐标系，设抛物线的极坐标方程为ρ＝.PQ是抛
1－cos θ物线的弦，若点P的极角为θ，则点Q的极角为π＋θ.
因此有FP＝，
1－cos θ
ppFQ＝
pπ＋θ
1－
＝
p1＋cos θ
. 111－cos θ1＋cos θ所以＋＝＋ FPFQpp2
＝(常数)．
p
20．如图，点A在直线x＝4上移动，△OPA为等腰直角三角形，△OPA的顶角为∠OPA(O，
P，A依次按顺时针方向排列)，求点P的轨迹方程，并判断轨迹形状．
π??得点P的轨迹的极坐标方程为2ρcos?θ－?＝4.
4??
用心 爱心 专心 7
π??由2ρcos?θ－?＝4得ρ(cos θ＋sin θ)＝4， 4??
3π
∴点P的轨迹的普通方程为x＋y＝4，是过点(4,0)且倾斜角为的直线．
4
?x＝1＋cos θ??21．已知圆M：??y＝sin θ
?x＝2pt?
?(θ为参数)的圆心F是抛物线E：??y＝2pt2
的焦点，
过焦点F的直线交抛物线于A、B两点，求AF·FB的取值范围.【解析方法代码108001169】
4
所以AF·FB＝|t1t2|＝2.
sinθ
因为0 22．已知直线l经过点P(1,1)，倾斜角α＝. 6(1)写出直线l的参数方程； ??x＝2cos θ (2)设l与圆? ?y＝2sin θ? 2 (θ是参数)相交于两点A，B，求点P到A，B两点的距离 之积． 3 ?x＝1＋t?2 解析： (1)直线的参数方程是? 1y＝1＋t??2 (t是参数)． (2)∵点A，B都在直线l上，∴可设点A，B对应的参数分别为t1和t2，则点A，B的坐标分别为A?1＋ ? ?31??31?t1，1＋t1?，B?1＋t2，1＋t2?， 22??22? 用心 爱心 专心 8 将直线l的参数方程代入圆的方程x＋y＝4， 整理得t＋(3＋1)t－2＝0.① ∵t1和t2是方程①的解，从而t1t2＝－2， ∴|PA|·|PB|＝|t1t2|＝|－2|＝2. 2 22 ?x＝2＋t， 23．已知直线l的参数方程为? ?y＝3t2θ＝1. (1)求曲线C的普通方程； (t为参数)，曲线C的极坐标方程为ρcos 2 (2)求直线l被曲线C截得的弦长.【解析方法代码108001170】 从而弦长为|t1－t2|＝t1＋t2 2 －4t1t2＝4－ 2 － ??x＝4－2t， 24．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为? ?y＝t? (t为参数)，椭圆C的 用心 爱心 专心 9 ??x＝2cos θ，方程为? ?y＝sin θ? (θ为参数，θ∈R)．试在椭圆C上求一点P，使得P到直线l的 距离最小． 解析： 方法一：直线l的普通方程为x＋2y－4＝0， 设P(2cos θ，sin θ)，点P到直线l的距离为 d＝π??|2cos θ＋2sin θ－4|1??＝?4－22sin?θ＋??， 4???55? π??所以当sin?θ＋?＝1时，d有最小值． 4?? π?π?π?π?ππ2????θ＋－?＝sin?θ＋?cos －cos?θ＋?sin ＝， 此时sin θ＝sin???4?4?4?4?442???? x??＋y2＝1， 联立?4 ??x＋2y＝m2 2 消去x，得8y－4my＋m－4＝0. 22 因为l′与椭圆C只有一个公共点， 所以Δ＝16m－32(m－4)＝0， 解得m＝22或m＝－22. 2 l′与l的距离为d＝ |m－4| ， 5 用心 爱心 专心 10 用心 爱心 专心 11