(4)已知两直线，求作包含两直线的面：
①将透明纸蒙在网格上，并绘出两直线的投影BO和DO。
②转动透明纸使B和D两点同时落在同一条线上，描出该经线ABDC弧，该弧即为所求包含两直线的面的投影(图16-4-9)。
(5)已知两直线，求作两直线的夹角：
①将透明纸蒙在网格上，绘出两直线投影BO、DO。 ②按作图法(4)作出包含两直线的面即ABDC弧。
③转动透明纸使A、C与N、S重合，B至D所占的纬度数即为两直线之夹角(图16-4-10)。 如将B和D两点沿纬线延至大圆上，也就是转动倾斜面ABDC至赤道平面，(此时转动透明纸使AC与网格SAT重合)得F、G两点，联FO、GO，则∠FOG为所求两直线的夹角。
(6)过一直线，求作一面垂直另一已知面：
①设ABC弧及OD为已知面和线，作出ABC面的法线OP。
②按作图(4)作包含OP及OD的面FDPG，该面即为所求面的投影(图16-4-11)。
(三)应用实体比例投影方法求结构体的形态和大小尺寸赤子极射投影是表示物体在平面上点、线、面的角距关系，它不涉及到物体面的大小、线的绝对长度以及点与点之间的绝对距离。为了解决这些问题则需运用实体比例投影法。实体比例投影是以赤平极射投影原理为基础，并运用垂直投影概念，以一定大小的比例尺，反映结构面在岩体中的空间位置的方法。下面用例题来说明：
拱顶不稳定结构体(四面体)的图解法：
已知条件：在导洞M高程位置上测得三组软弱结构面F1、F2、F3的产状(图16-4-12)。求解待洞室全断面开挖后，该三组结构面能否形成影响拱顶稳定的切割体?它的规模及深度怎样?
作图步骤如下：
(1)根据前述作图法，作出三组软弱结构面的赤平极射投影，为F1F1＇、F2F2＇、F3F3＇三组结构面的交点为A、B、C，作各点与圆心O点的连线，得AO、BO、CO为三组结构面交线[图16-4-12中(a)]。可知此三组结构面与拱顶面所组成的不稳结构体为一尖顶向上的四面体形状。
(2)作实体比例投影图：由于拱顶面总体上是水平位置，所以应将结构体投影到水平面上。图16-4-12中(b)为M高程的水平面图，沿导洞壁方向按一定比例尺标出三组结构面的实测点MFl、MF2、MF3。过此三点作三根直线分别平行于F1F1＇、F2F2＇、F3F3＇，并相交于A1、B1、C1。则A1B1C1为结构体在M高程的水平底面。
过A1、B1、C1作A1O1、B1O1、C1O1分别平行于AO、BO、CO。所得交点O1为结构体顶点在水平面上的投影。
(3)为了判断结构体在拱顶出露的规模及位置作图16-4-12中(c)，它是结构体顶点O1
并垂直于洞轴线的剖面。按比例尺作出导洞，标出M高程的水平线，并作出待开挖的洞室断面。
过O1作D1G1使它垂直于洞壁方向线。将D1、G1投影到M高程线上得D1＇G1＇作D1＇O＇及G1O＇使∠O＇D1＇G1＇=∠D1＇OD，∠O＇G1＇D1＇=∠G＇OG。而D＇及G＇为D点及G点沿纬线移至外圆所得之点(作图时转动透明纸使DG与网格的NS线重合)。O＇为结构体的顶点。D1＇O＇及G1O＇与拱顶相交于D＇2及O＇2。O＇D＇2G＇2为结构体在D1G1剖面上留于拱顶的规模。 (4)将A1、B1亦投影到M高程上得A＇1B＇1联结A＇1O＇B＇1O＇，并与拱顶相交于A＇2、B＇2。然后将A＇2及B＇2投影到A1O1B1O1上得A2与B2，将D＇2及G＇2投影到D1G1上得D2和G2。联结A2G2及B2D2，并延长使其交于C2(由于作图精度及拱顶曲面影响，在交点上可能略有误差)。则A2B2C2为结构体在拱顶的底面积，而O＇B＇2A＇2为结构体在剖面上形态，结构体的高度由于拱顶曲面影响取平均值h。 拱顶结构体的体积为：
由上述可见，应用赤子极射投影及实体比例投影就是以赤平极射投影控制各结构面的 空间几何形态，而以实体比例投影在水平剖面及垂直剖面上控制结构体的大小，两者配合就可得到结构体的形态和尺寸大小。
上述只是一个四面体的图解分析，实际上岩体结构类型中结构体受结构面组合的控制，形态多种多样，而四面体是洞体中常见的一种，其他形态结构体可依此类推。
【例题13】某岩层的赤平极射投影图如右图AFC所示，下列有关该岩层的产状的说法正确的是( )。
A. AC表示走向，BF表示倾角大小，岩层倾向西北 B. AC表示走向，BF表示倾角大小，岩层倾向东南 C. OB表示倾向，OF表示倾角大小，岩层倾向北东 D. OB表示倾向，OF表示倾角大小，岩层倾向南西 答案：A
三、根据结构面和临空面的关系进行稳定性分析
根据结构面和临空面的关系进行稳定性分析的典型问题之一是岩质边坡稳定性问题。 岩体内在的各类软弱结构面是影响岩体稳定的主要因素，而其他因素一般是通过结构面对岩体稳定性施加影响。岩质边坡的变形破坏，往往是受几组主要结构面所控制。结构面或结构面组合线的产状及其与边坡临空面的关系对边坡稳定性的影响极大。可应用图解法找出结构面及其与边坡临空面方位的组合关系，从而分析边坡的稳定性。按边坡岩体内结构面组数的多少，可将岩质边坡分为一组结构面、两组结构面、三组结构面和多组结构面边坡。 (一)一组结构面边坡
一组结构面边坡多见于层状岩层，如果没有地形切割，则边坡稳定性好；若发生变形，必须切断部分岩体。按结构面与边坡的产状关系又可分为两种情况：
1.一组水平结构面边坡：边坡岩体内只有一组水平或接近水平产状的结构面，这种边坡的稳定性一般较好。若边坡岩体为砂岩、页岩互层，往往形成凹凸不平的边坡坡面。这是由于页岩易风化剥落而砂岩抗风化力较强的缘故。
2.一组倾斜结构面边坡：岩体内只有一组倾斜的结构面。这种边坡的稳定性与结构面走向、倾向、倾角有直接关系(表16-4-4)。按结构面走向与边坡走向的关系，可分为一致的和斜交的结构面。结构面走向与边坡坡面走向一致的又可分为内倾(结构面倾向与边坡倾向相反)和外倾(结构面倾向与边坡倾向相同)两种情况，而内倾比外倾对边坡稳定有利。一般说来，结构面内倾的边坡多是稳定的；外倾的边坡稳定性又取决于结构面倾角的大小，当结构