∵OP=OB，∴∠OBP=∠OPB，∵∠OPB=∠APC，∴∠ACP=∠ABC，∴AB=AC； （2）如图2，延长AP交⊙O于D，连接BD，
设圆半径为r，则OP=OB=r，PA=5﹣r，则AB2
=OA2
﹣OB2
=52
﹣r2
，AC2
=PC2
﹣PA2
=（2）2
﹣（5﹣r）2
， ∴52﹣r2=（2）2﹣（5﹣r）2
，解得：r=3，∴AB=AC=4，∵PD是直径，∴∠PBD=90°=∠PAC， 又∵∠DPB=∠CPA，∴△DPB∽△CPA，∴=
，
∴
=
，解得：PB=
．
∴⊙O的半径为3，线段PB的长为
．
6．【解答】解：（1）∵AB是⊙O的直径，BC是切线，∴AB⊥BC，∵DE⊥AB， ∴DE∥BC，∴△AEP∽△ABC， ∴
=
…①，
又∵AD∥OC，∴∠DAE=∠COB，∴△AED∽△OBC，∴
=
=
=
…②，
由①②，可得ED=2EP，∴PE=PD．
（2）∵AB是⊙O的直径，BC是切线，∴AB⊥BC，∵DE⊥AB，∴DE∥BC，∴△AEP∽△ABC， ∴
，∵PE=PD，∴
，∴AC?PD=AP?BC．
7．【解答】（1）解：∵OA=OB，E为AB的中点，∴∠AOE=∠BOE，OE⊥AB， ∵OE⊥AB，E为OD中点，∴OE=OD=OA，
∴在Rt△AOE中，∠OAB=30°，∠AOE=60°，∠AOB=120°， 设OA=x，则OE=x，AE=x，∵AB=4
，∴AB=2AE=
x=4
，
解得：x=4，则
的长l=
=
；
（2）证明：由（1）得∠OAB=∠OBA=30°，∠BOM=∠COM=60°，∠AMB=30°， ∴∠BAM=∠BMA=30°，∴AB=BM，∵BM为圆O的切线，∴OB⊥BM， 在△COM和△BOM中，
，
∴△COM≌△BOM（SAS），
∴CM=BM，∠CMO=∠BMO=30°，∴CM=AB，∠CMO=∠MAB，∴CM∥AB， ∴四边形ABMC为菱形． 8．【解答】证明：（1）∵AD与△ABC的外接圆⊙O恰好相切于点A，
∴∠ABE=∠DAE，又∠EAC=∠EBC，∴∠DAC=∠ABC，∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB， ∴∠ABC=∠ACB，∴AB=AC；
（2）作AF⊥CD于F，∵四边形ABCE是圆内接四边形，∴∠ABC=∠AEF，又∠ABC=∠ACB， ∴∠AEF=∠ACB，又∠AEB=∠ACB，∴∠AEH=∠AEF，
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在△AEH和△AEF中，
，
∴△AEH≌△AEF，∴EH=EF，∴CE+EH=CF， 在△ABH和△ACF中，
，
∴△ABH≌△ACF，∴BH=CF=CE+EH． 9．【解答】（1）证明：连接OB，OD， 在△BOD和△BOA中
，
∴△BOD≌△BOA（SSS），∴∠DBO=∠ABO，又∵∠CDB=∠A，∠OBA=∠A，∴∠DBO=∠CDB，
∴OB∥DE，∴∠E+∠EBO=180°，∵BE为⊙O的切线，∴OB⊥BE，∴∠EBO=90°，∴∠E=90°，∴BE⊥CE； （2）解：在Rt△ABC中，∵AC=2OA=5，BC=， ∴AB=∴BD=BA=2∴
=
=
=2
，
，∵∠ABC=∠E=90°，∠BAC=∠BDE，∴△ABC∽△DEB， ，∴DE=4，BE=2，
在Rt△BCE中， CE=
=1，∴CD=DE﹣CE=3．
10．【解答】（1）证明：连接OC，作OD⊥PB于D点．∵⊙O与PA相切于点C， ∴OC⊥PA．∵点O在∠APB的平分线上，OC⊥PA，OD⊥PB，∴OD=OC． ∴直线PB与⊙O相切；
（2）解：设PO交⊙O于F，连接CF．∵OC=3，PC=4，∴PO=5，PE=8．
∵⊙O与PA相切于点C，∴∠PCF=∠E．又∵∠CPF=∠EPC，∴△PCF∽△PEC，∴CF：CE=PC：PE=4：8=1：2．
222
∵EF是直径，∴∠ECF=90°．设CF=x，则EC=2x．则x+（2x）=6， 解得x=
．则EC=2x=
．
11．【解答】（1）证明：连接OC，如图，∵⊙O是△ABC的外接圆，圆心O在AB上， ∴AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，又∵∠B=2∠A，∴∠B=60°，∠A=30°，
∵EM⊥AB，∴∠EMB=90°，在Rt△EMB中，∠B=60°，∴∠E=30°，又∵EF=FC，∴∠ECF=∠E=30°， 又∵∠ECA=90°，∴∠FCA=60°，∵OA=OC，∴∠OCA=∠A=30°，∴∠FCO=∠FCA+∠ACO=90°， ∴OC⊥CF，∴FC是⊙O的切线；
（2）解：在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4，
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∴BC=AB=2，AC=BC=2，∵AC=CE，∴CE=2，∴BE=BC+CE=2+2，
在Rt△BEM中，∠BME=90°，∠E=30° ∴BM=BE=1+
，∴AM=AB﹣BM=4﹣1﹣
=3﹣
．
12．【解答】解：（1）∵AB=AC，AD是BC边上的中线， ∴∠ODB=90°，
在△BOD和△EOA中，
，
∴△BOD≌△EOA，∴∠OAE=∠ODB=90°，∴AE是⊙O的切线； （2）∵∠ODB=90°，BD=OD，∴∠BOD=45°，∴∠AOE=45°， 则阴影部分的面积=×4×4﹣
=8﹣2π．
13．【解答】（1）证明：连接OC，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∵AC平分∠BAD，∴∠DAC=∠OAC， ∴∠DAC=∠OCA，∴AD∥OC，∴∠ADC=∠OCF，∵AD⊥DC，∴∠ADC=90°，∴∠OCF=90°， ∴OC⊥CD，∵OC为半径，∴CD是⊙O的切线． （2）∵OE⊥AC，∴AE=AC=在Rt△AOE中，AO=
=cm，
=4cm，
，
由（1）得∠OAC=∠CAD，∠ADC=∠AEO=90°，∴△AOE∽△ACD，∴即
，∴DC=
cm．
14．【解答】（1）证明：如图所示：连接OF、OC，∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD=BC，∠ADC=90°，∵E为BC边中点，AO=DO，∴AO=AD，EC=BC，
∴AO=EC，AO∥EC，∴四边形OAEC是平行四边形，∴AE∥OC，∴∠DOC=∠OAF，∠FOC=∠OFA， ∵OA=OF，∴∠OAF=∠OFA，∴∠DOC=∠FOC， ∵在△ODC和△OFC中
，∴△ODC≌△OFC（SAS），∴∠OFC=∠ODC=90°，∴OF⊥CF，∴CF与⊙O相切；
（2）解：如图所示：连接DE，∵AO=DO，AF=EF，AD=2，∴DE=20F=2，∵E是BC的中点，∴EC=1，
在Rt△DCE中，由勾股定理得： DC=
=
=
，∴AB=CD=
．
15．【解答】（1）证明：∵在△DEO和△PBO中，∠EDB=∠EPB，∠DOE=∠POB， ∴∠OBP=∠E=90°，
∵OB为圆的半径，∴PB为圆O的切线；
（2）解：在Rt△PBD中，PB=6，DB=8，根据勾股定理得：PD=
=10，
∵PD与PB都为圆的切线，∴PC=PB=6，∴DC=PD﹣PC=10﹣6=4，在Rt△CDO中，设OC=r，则有DO=8﹣r，
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根据勾股定理得：（8﹣r）=r+4，解得：r=3，则圆的半径为3．
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