§2.5 二次函数
基础自测
1.方程a2x2+ax-2=0 (|x|≤1)有解，则 （ ）?
A.|a|≥1? B.|a|＞2? C.|a|≤1? D.a∈R? 答案?A??
2.已知函数f(x)=4x2-mx+5在区间［-2，+∞）上是增函数，则f(1)的范围是 （ ）?
A.f(1)≥25? B.f(1)=25? C.f(1)≤25? D.f(1)＞25? 答案?A??
3.若函数f(x)=ax2+bx+c满足f(4)=f(1),那么 （ ）? A.f(2）＞f(3)? B.f(3)＞f(2)?
C.f(3)=f(2) D.f(3)与f(2)的大小关系不能确定? 答案?C??
4.若二次函数f(x)满足f(x+1)-f(x)=2x,且f(0)=1,则f(x)的表达式为 （ ）?
22
A.f(x)=-x-x-1? B.f(x)=-x+x-1? C.f(x)=x2-x-1? D.f(x)=x2-x+1? 答案?D??
5.（2008·湖北理，13）已知函数f（x）=x2+2x+a，f（bx）=9x2-6x+2，其中x∈R，a，b为常数，则方程f（ax+b）=0的解集为 .? 答案 ???
22
例1 已知f(x)=-4x+4ax-4a-a在区间［0，1］内有最大值-5，求a的值及函数表达式f(x).?
解 ≧f（x）=-4(x?aa2)2-4a，此抛物线顶点为(a2,?4a).?
当≥1，即a≥2时，f(x)取最大值-4-a2.令-4-a2=-5,得a2=1,a=±1＜2(舍去).?
2当0＜＜1,即0＜a＜2时，x=时，f(x)取最大值为-4a.令-4a=-5,得a=∈(0,2).?
22aa54当≤0,即a≤0时，f(x)在［0，1］内递减，?x=0时，f(x)取最大值为-4a-a2,?
2a令-4a-a2=-5,得a2+4a-5=0,解得a=-5,或a=1，其中-5∈（-≦，0］.? 综上所述，a=或a=-5时,f(x)在［0，1］内有最大值-5.
45?f(x)=-4x2+5x-
10516或f(x)=-4x2-20x-5.
例2 设二次函数f(x)=x2+ax+a,方程f(x)-x=0的两根x1和x2满足0＜x1＜x2＜1.?
（1）求实数a的取值范围；? （2）试比较f(0)f(1)-f(0)与
116的大小，并说明理由.?
2
解 方法一 （1）令g(x)=f(x)-x=x+(a-1)x+a,?
???0,?1?a??1,?0?则由题意可得,??2?g(1)?0,???g(0)?0?a?0,??0?a?3?22. ??1?a?1,??a?3?22,或a?3?22故所求实数a的取值范围是（0，3-22）.?
22
（2）f(0)·f(1)-f(0)=f(0)g(1)=2a,令h(a)=2a.?
≧当a＞0时，h(a)单调递增，?当0＜a＜3-22时，0＜h(a)＜h(3-22(3-2
22)?
)2=2(17-12
2)=2·
117?122?116,即f(0)·f（1）-f（0）＜
116.?
a-1＜12
-17
方法二 （1）同方法一.?
（2）≧f（0）f（1）-f（0）=f（0）g（1）=2a2，则由(1)知0＜a＜3-2＜0.?
又4
22,?4
22a+1＞0,于是2a-1162
116=
116(32a-1)=
2
116 (4
2a-1)(4
1162a+1)＜0,?
即2a2-＜0,即2a2＜
116,故f(0)f(1)-f(0)=2a2＜
2
.?
方法三 (1）方程f(x)-x=0?x+(a-1)x+a=0
???0,??a?0,x?x2?0,?1????x1x2?0,??a?1,?(1?x)?(1?x)?0,?12?a?3?22,或a?3?22.???(1?x1)(1?x2)?0由韦达定理，得x1+x2=1-a,x1x2=a,于是0＜x1＜x2＜1?
故所求实数a的取值范围是（0,3-22）.?
（2）依题意可设g(x)=(x-x1)(x-x2)，则由0＜x1＜x2＜1,得?
f(0)f(1)-f(0)=f(0)g(1)=g(0)g(1)=x1x2(1-x1)(1-x2)=［x1(1-x1)］［x2(1-x2)］? ＜(x1?1?x12)·(2x2?1?x22)?2116,故f(0)f(1)-f(0)＜
116.?
3例3 （14分）已知二次函数y=f(x)的图象与x轴交于A，B两点，且|AB|=2，它在y轴上
的截距为4,又对任意的x都有f(x+1)=f(1-x).（1）求二次函数的表达式；? （2）若二次函数的图象都在直线l:y=x+c的下方，求c的取值范围.? 解 （1）方法一 ≧f（x+1）=f（1-x），?y=f（x）的对称轴为x=1，又f(x)为二次函数，?
可设f(x)=a(x-1)2+k (a≠0),又当x=0时，y=4,?a+k=4,得f(x)=a(x-1)2-a+4,?
2
令f(x)=0,得a(x-1)=a-4.? ?x=1±?|AB|=2
a?4a,
. 6
分
a?4a?
≧|AB|=2
3,?a=-2.?
2
2
即f(x)=-2(x-1)+6=-2x+4x+4. 8分? 方法二 令二次函数y=f(x)的图象与x轴交于A（x1，0），B（x2，0），（x2＞x1）,? ≧f（x+1）=f（1-x），|AB|=2?x1+x2=2，x2-x1=2
33.?
3，得x1=1-3,x2=1+
3. 3分? )］.?
设二次函数f(x)=a［x-(1-)］［x-(1+
3又f(0)=4,则a=-2.?
22
即f(x)=-2(x-1)+6=-2x+4x+4. 8分? (2)由条件知-2x2+4x+4＜x+c在x∈R上恒成立.? 即2x2-3x-4+c＞0对x∈R恒成立.?
? Δ=9+8（4-c）＜0，得c＞41, 12分
8?c的取值范围是（41，+≦）. 14分
8
1.已知二次函数f（x）同时满足条件：? （1）f（1+x）=f（1-x）；? （2）f（x）的最大值为15；?
（3）f（x）=0的两根的立方和等于17，求f（x）的解析式.? 解 ≧f（1+x）=f（1-x），
?函数f（x）关于直线x=1对称，?
2
又f（x）的最大值为15，故可设f（x）=a（x-1）+15（a＜0).? ?f（x）=ax2-2ax+a+15， ?x1+x2=2，x1x2=1+
15a，
?x13+x3=（x1+x2）3-3x1x2（x1+x2）? 2=23-3×2（1+
15a）=2-
90a=17.
?a=-6.故所求函数的解析式为f（x）=-6x2+12x+9.
2
2.已知函数f(x)=|x-2ax+b| (x∈R).给出四个命题：①f(x)必是偶函数；②若f(0)=f(2),则f(x)
的图象必关于直线x=1对称； 22
③a-b≤0，则f(x)在［a，+∞）上是增函数；④f(x)有最小值|a-b|.? 其中正确命题的序号是 .? 答案 ③?
3.（2009·武汉武昌区模拟）已知a、b、c、d是不全为零的实数，函数
f(x)=bx2+cx+d,g(x)=ax3+bx2+cx+d,方程f(x)=0有实数根，且f(x)=0的实数根都是g(f(x))=0
的根，反之，g(f(x))=0的实数根都是f(x)=0的根.? （1）求d的值；?
（2）若a=0，求c的取值范围.? 解 （1）设r为f(x)=0的一个根，即f(r)=0,则由题意得g(f(r))=0，于是,g(0)=g(f(r))=0,?
即g(0)=d=0.所以，d=0.?
（2）由题意及(1)知f(x)=bx2+cx,g(x)=ax3+bx2+cx.?
由a=0得b,c是不全为零的实数，且g(x)=bx2+cx=x(bx+c),? 则g(f(x))=x(bx+c)［bx(bx+c)+c］=x(bx+c)(b2x2+bcx+c).? 方程f(x)=0就是x(bx+c)=0. ①?
22
方程g(f(x))=0就是x(bx+c)(bx+bcx+c)=0. ②? (ⅰ)当c=0，b≠0时，方程①②的根都是x=0符合题意.? (ⅱ)当c≠0,b=0时，方程①②的根都是x=0符合题意.? (ⅲ)当c≠0,b≠0时，方程①的根为x1=0,x2=-c.?
b也都是②的根，但不是方程b2x2+bcx+c=0的实数根.由题意方程b2x2+bcx+c=0无实数根，?
22
?Δ=(bc)-4bc＜0,得0＜c＜4.综上所述：c的取值范围为［0，4）.
一、选择题
2
1.不等式f(x)=ax-x-c＞0的解集为{x|-2＜x＜1}，则函数y=f(-x)的图象为
（ ）?
答案?C??
2
2.若函数f(x)=x+2(a-1)x+2在区间（-∞，4］上是减函数，那么实数a的取值范围是
（ ）?
?A.a≥3? B.a≤-3? C.a＜5? D.a≥-3? 答案?B?? 3.设函数f(x)=
?x?bx?c,??2,2(x?0),(x?0),若f(-4)=f(0),f(-2)=-2,则关于x的方程f(x)=x的解的个
数为 （ ）?
?A.1? B.2? C.3? D.4? 答案?C??
4.对于任意k∈［-1，1］,函数f(x)=x2+(k-4)x-2k+4的值恒大于零，则x的取值范围是（ ）
?
?A.x＜0? B.x＞4? C.x＜1或x＞3? D.x＜1? 答案?C??
5.已知二次函数f（x）=x2+x+a（a＞0），若f（m）＜0，则f（m+1）的值为（ ）? ?A.正数? B.负数? C.零 D.符号与a有 答案?A?
6.（2008·江西理，12）已知函数f(x)=2mx2-2(4-m)x+1,g(x)=mx,若对于任一实数x,f（x）与
g（x）的值至少有一个为正数，则实数m的取值范围是 （ ）?
?A.（0，2）? B.（0，8）? C.（2，8）? D.（-∞，0）? 答案?B?? 二、填空题
7.（2008·浙江理，15）已知t为常数，函数y=|x2-2x-t|在区间［0，3］上的最大值为2，
则t= .? 答案 1?
8.设函数f(x)=lg(x2+ax-a-1),给出下述命题：?
①f(x)有最小值；?
②当a=0时，f(x)的值域为R；?
③当a＞0时，f(x)在区间［2，+∞）上有反函数；?
④若f(x)在区间［2，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是a≥-4.? 则其中正确的命题的序号是 .? 答案 ②③? 三、解答题?
9.已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x）的最大值是8，试确定此二次函数的 解析式.?
2
解 方法一 利用二次函数一般式.设f(x)=ax+bx+c (a≠0),?
??4a?2b?c??1,?a??4,???由题意得?a?b?c??1,解之得?b?4,?所求二次函数为y=-4x2+4x+7.?
??c?7.24ac?b???8.?4a?方法二 利用二次函数顶点式.?
设f（x）=a（x-m）2+n，≧f（2）=f（-1），?抛物线对称轴为x=
? 又根据题意函数有最大值为n=8,?y=f（x）=a(x-12
2
2?(?1)2?1212，即
2
m=
12.
12)+8.≧f（2）=-1，?a（2-
2
）+8=-1.
解之，得a=-4,?y=f（x）=-4(x-)+8=-4x+4x+7.?
2方法三 由f(x)+1=0的两根为x1=2,x2=-1,故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1),
即f(x)=ax2-ax-2a-1.?