2013年中考真題
24.（本小题满分9分）如图1，点C将线段AB分成两部分，如果
ACBC?，那么称点CABAC为线段AB的黄金分割点。某数学兴趣小组在进行课题研究时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1、S2，如果
S1S2?，那么称直线l为该图形的黄金分割SS1线.
（1）如图2，在△ABC中，?A?36°，AB?AC，?C的平分线交AB于点D，请问点D是否是AB边上的黄金分割点，并证明你的结论； （2）若△ABC在（1）的条件下，如图（3），请问直线CD是不是△ABC的黄金分割线，并证明你的结论；
（3）如图4，在直角梯形ABCD中，?D??C?90，对角线AC、BD交于点F，延长AB、DC交于点E，连接EF交梯形上、下底于G、H两点，请问直线GH是不是直角梯形ABCD的黄金分割线，并证明你的结论. · A
C C
A
· C 图1
· B
A
D 图2
B
图3
D
A
B
H B D
F ?C 图4
E
2013年中考真題
25.（本小题满分10分）如图1所示，已知直线y?kx?m与x轴、y轴分别交于A、C两
点，抛物线y??x2?bx?c经过A、C两点，点B是抛物线与x轴的另一个交点，当
125x??时，y取最大值.
24（1）求抛物线和直线的解析式；
（2）设点P是直线AC上一点，且S?ABP ：S?BPC ?1:3，求点P的坐标； （3）若直线y?1x?a与（1）中所求的抛物线交于M、N两点，问: 20①是否存在a的值，使得?MON?90？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由；
②猜想当?MON?90时，a的取值范围（不写过程，直接写结论）. （参考公式：在平面直角坐标系中，若M(x1,y1)，N(x2,y2)，则M，N两点间的距离为MN?(x2?x1)?(y2?y1)）
220y C A O 图1
B x
2013年中考真題
黄石市2013年初中毕业生学业考试
数学答案及评分标准
一、选择题（每小题3分，共30分） 题号 答案 1 A 2 C 3 D 4 B 5 A 6 D 7 C 8 C 9 B 10 A 二、填空题（每小题3分，共18分）
11．3(x?3)(x?3) 12．k?0或k??1 13．
5 814．6?32 15．y??x?3 16．170
三、解答题（9小题，共72分） 17．(7分)解：原式?3?3?3················································· （5分） ?2?1?3 ·
3 ?4 ·············································································· （2分）
ab?a2?ab?b218．（7分）解：原式? ······················································ （2分）
ab(a?b)(a?b)2a?b ····················································· （2分） ??ab(a?b)ab 当a?5?15?1，b?时，原式的值为5。 （ 3分） 22
19．（1）证明：连接OE，AM是⊙O的切线，OA是⊙O的半径
∴?DAO?90° ∵AD∥BC
∴?AOD??OBE，?DOE??OEB ∵OB?OE ∴?OEB??OBE 在△AOD和△DOE中
[来源学科网ZXXK]?OA?OE???AOD??DOE ?OD?OD?∴△AOD≌△DOE
∴?DAO??DEO?90° ∴DE与⊙O相切 ······································································· （3分） （2）∵AM和BN是⊙O的两切线
2013年中考真題
∴MA?AB，NB?AB ∴AD∥BC
∵O是AB的中点，OF∥BN
11(AD?BC)且OF?(AD?BC)
22∵DE切⊙O于点E ∴DA?DE，CB?CE ∴DC?AD?CB
1∴OF?CD?ADE??CBF ···················································· （4分）
2∴OF∥
1① ?222x?y???20．(8分)解：依题意?····················································· （2分） 2 ·
?2x?25y?3② ? 由①得 4x2?2y2??1 ③
由②得 2x?25 ④ ?3将④代入③化简得9y2?65y?5?0 ········································ （4分） 即 y1?y2??15 代入②得 x1?x2??
631?x?x??12?6?∴原方程组的解为? ··········································· （4分）
?y?y??512?3?21．（8分）解：（1） 分 组 50.5～60.5 60.5～70.5 70.5～80.5 80.5～90.5 90.5～100.5 合 计 频数 频率 4 14 16 6 10 50 0.08 0.28 0.32 0.12 0.20 1.00 y 频率 组距 O 50.5 60.5 70.5 80.5 90.5 100.5 x
············································································································· （6分）
（2）0.32?0.12?0.20?0.64?0.70说明该校的学生心理健康状况不正常，需要加强心理辅导 ··························································································· （2分）
2013年中考真題
22．（8分）解：过点A作AH?CF交CF于H点，由图可知
∵?ACH?75?15?60 ·································································· （3分） ∴AH?AC?sin60?125?000031.732······················ （3分） ?125??108.25(m) ·
22∵AH?100米
∴不需要改道行驶 ·············································································· （２分）
23．（8分）解：（1）y1?60x （0≤x?10）
··························· （2分） y2??100x?600 （0≤x?6） ·
15??160x?600(0?x?)4??15?（2）∴S??160x?600 (?x?6)
4????60x(6?x?10)（3）由题意得：S?200
①当0?x?515时，?160x?600?200 ∴x?
24∴y1?60x?150（km）
②当
15?x?6时，160x?600?200 ∴x?5 4∴y1?60x?300（km）
③当6?x?10时，60x?360（舍） ························ （3分）
24．（9分）解：（1）点D是AB边上的黄金分割点，理由如下： ∵?A?36°，AB?AC ∴?B??ACB?72° ∵CD平分?ACB ∴?DCB?36°
∴?BDC??B?72°
∵?A??BCD，?B??B ∴△BCD ∽△BAC
BCBD? ABBC又∵BC?CD?AD ADBD?∴ ABAB∴