2013年中考真題
∴D是AB边上的黄金分割点 ······································ （3分）
（2）直线CD是△ABC的黄金分割线，理由如下：
设△ABC的边AB上的高为h，则
S?ADC?111AD?h，S?DBC?BD?h，S?ABC?AB?h 222∴S?ADC:S?ABC?AD:AB，S?DBC:S?ADC?BD:AD ∵D是AB的黄金分割点 ∴
ADBD? ABAD∴S?ADC:S?ABC?S?DBC:S?ADC
∴CD是△ABC的黄金分割线 ······································· （3分）
（3）GH不是直角梯形ABCD的黄金分割线
∵BC∥AD
∴△EBG ∽△EAH，△EGC ∽△EHD
BGEG? ① AHEHGCEG? ② HDEHBGGCBGAH??由①、 ②得 即 ③ AHHDGCHD同理，由△BGF ∽△DHF，△CGF ∽△AHF得 BGGCBGHD?? 即 ④ HDAHGCAHAHHD?由③、④得 HDAH∴AH?HD ∴BG?GC
∴ 梯形ABGH与梯形GCDH上下底分别相等，高也相等
1∴S梯形ABGH?S梯形GCDH?S梯形ABCD
2∴GH不是直角梯形ABCD的黄金分割线 ························ （3分）
∴
2013年中考真題
b1?????2?(?1)2b??125．（10分）解：（1）由题意得? 解得2c?6 4?(?1)c?b25??4?(?1)4???∴抛物线的解析式为y??x2?x?6 ∴A(?3,0)，B(2,0) ∴直线AC的解析式为y?2x?6································· （2分） （2）分两种情况：
①点P在线段AC上时，过P作PH?x轴，垂足为H ∵
AP1S△ABPAP1? ?? ∴
AC4S△BPCPC3PHAHAP1??? COAOAC4339∴PH?，AH? ∴HO?
24493∴P(?,)
42②点P在线段CA的延长线上时，过P作PG?x轴，垂足为G
∵PH∥CO ∴∵
AP1S△ABPAP1? ?? ∴
AC2S△BPCPC3PGAGAP1??? COAOAC239∴PG?3，AG? ∴GO?
229∴P(?,?3)
2939(?,)P(?,?3) ·综上所述，P或··························· （4分） 12422∵PG∥CO ∴
（3）①方法1：假设存在a的值，使直线y?21x?a与（1）中所2求的抛物线y??x?x?6交于M(x1,y1)、N(x2,y2)两点（M在
0N的左侧），使得?MON?90
1??y?x?a22x?3x?2a?12?0 由? 得22??y??x?x?63∴x1?x2??，x1?x2?a?6
22013年中考真題
11x1?a，y2?x2?a 2211∴y1?y2?(x1?a)(x2?a)
2211?x1?x2?(x1?x2)a?a2 42a?63??a?a2
44又y1?∵?MON?90 ∴OM?ON?MN
∴x12?y12?x22?y22?(x2?x1)2?(y2?y1)2 ∴x1?x2?y1?y2?0
2220a?63?a?a2?0 即2a2?a?15?0 445∴a??3或a?
250∴存在a??3或a?使得?MON?90 ······················ （3分）
2方法2：假设存在a的值，使
y 1直线y?x?a与（1）中所2∴a?6?求的抛物线y??x?x?6交于M(x1,y1)、N(x2,y2)两点（M在x轴上侧），使得M A P O y Q B x 2C N ?MON?90，如图，过M作MP?x于P，过N作0NQ?x于Q
可证明 △MPO∽△OQN C y1?x1MPPO?∴ 即 ?OQQNx2y2∴?x1x2?y1y2 即x1?x2?y1?M y2?0 以下过程同上
A P 52 N B O Q N′ -3 x M′ 2013年中考真題
②当?3?a?50时，?MON?90······························· （1分） 2