空间。设S = 200cm2，d = 5.00mm，d1 = 2.00mm， ?r?= 5.00，?r?= 2.00，求(a)该电容器的电容；(b) 如果将380V的电压加在该电容器的两个极板上，那么第一层电介质内的场强是多少？
解：(a)此时电量不变， q???C?1.2?10?4C
EEqS为极板，插入电解质后，场强 E??0?0
?0?rS?r2C?2C （b）此时电压不变，插入电解质后，电容 Cb??r??4Cb?2?C?2.?41C0 于是电量 qb???2qq此时场强 E???E0，故场强不变。
?0?rS?0S
22. 三个电容器其电容分别为C1=4?F，C2=1?F，C3=0.2?F。C1和C2串联后再与C3并联。求(a)总电容C；(b)如果在C3的两极间接上10V的电压，求电容器C3中储存的电场能量。
解：未插入金属板时的电场能：
q2?drq22W??dW??W?q/2C0 02?R8??0r8??0R插入金属板后，因电量不变，则金属板间的场强不变，则两极板间的电势差为：
q12q， U?(d?d)??0S33?0Sq3?S3则此时 C??0?C0
U2d2q22?W0 电场能 W?2C3
23. 有一平行板电容器，极板面积为S，极板间的距离为d，极板间的介质为空气。现将一厚度为d/3的金属板插入该电容器的两极板间并保持与极板平行，求(a)此时该电容器的电容；(b) 设该电容器所带电量q始终保持不变，求插入金属板前后电场能量的变化。
? 解：该点场强为 E?
2??0?rr1?22?1.995?10?6J/m3 故电场能体密度为 ???0?rE?2228??0?rr
24. 一个无限长均匀带电直线的电荷线密度为?=1.67×10-7C/m，被相对电容率?r=5.00的无限大均匀电介质所包围，若a点到带电直线的垂直距离为2m，求该点处的电场能量密度。
解：距球心为r(r?R)处的场强为
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E?q4??0r2
12则在半径为ｒ厚度为dr的同心薄球壳中的电场能为：
q2dW??dV?dr
8??0r2电场中储存的能量
q2?drq2W??dW?? 2?R8??0r8??0R
25. 真空中一个导体球的半径为R，带有电荷为q，求该导体球储存的电场能量。 解：
qqqdqq2W??Vdq???
4??R8??R0000该处的电场能体密度
???0E2
本题也可用对电场能量密度积分的方法（方法见下题），结果是一样的。
26. 一个半径为R的导体球带电为q，导体球外有一层相对电容率为?r的均匀电介质球壳，其厚度为d，电介质球壳外面为真空，充满了其余空间。求(a)该导体球储存的电场能量；(b)电介质中的电场能量。
解：电场能量等于电场能量密度对所考虑空间的积分，题中所给各处电场为： 导体内： E=0； 电介质球内：E?q24??0?rrq电介质球外：E?； 24??0rR；
11(a)：W???0?rE2dV???0?rE24?r2dr?220R?d?R11?0?rE24?r2dr???0E24?r2dr 22R?d?11q2(?)?=
8??0?rRR?d8??0(R?d)(b)
q
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第七章 直流电路
习题解答
1．把截面相同的铜丝和钢丝串联起来，铜的电导率为5.8?107Sm，钢的电导率为
0.2?107Sm，横截面积为2mm2，如通以电流强度为1?A的恒定电流，求铜丝和钢丝中的
电场强度。
解：铜丝中的电场强度E1??I??8.6?10?9V/m ?1?1S钢丝中的电场强度E2?
?I??2.5?10?7V/m ?2?2S2．平板电容器的电量为2?10?8C，平板间电介质的相对介电常数为78.5，电导率为
2?10?4Sm，求开始漏电时的电流强度。
解：电介质中的场强为E?q?0?rS
则电流密度为：???E??q ?0?rS?q?5.76?10?3A ?0?r漏电时的电流强度I??S?
3．一个用电阻率为?的导电物质制成的空心半球壳，它的内半径为a，外半径为b，求内球面与外球面间的电阻。
解：厚为dr，半径为ｒ的薄同心半球壳的电阻为dR??则所求电阻为R??dR?
4．两同轴圆筒形导体电极，其间充满电阻率为10??m的均匀电介质，内电极半径为
10cm，外电极半径为20cm，圆筒长度为5cm。(a)求两极间的电阻；(b)若两极间的电压
dr 22?r?2??R2R1dr?11?(?) 2r2?ab为8V，求两圆筒间的电流强度。
解：设内圆筒半径为R1，外圆筒半径为R2，圆筒长为Ｌ。电阻率为?，则半径为ｒ，长为l厚度为dr的薄同心圆筒的电阻为：
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dR??dr,R1?r?R2 2?rlR2?Rdr??ln?22?
2?l?Rr2?lR121电极间的电阻为R??dR?两筒间电流强度为I?
U8??0.36A R225.图7-3中E1?24V，r1?2?，E2?6V，r2?1?，R1?2?，R2?1?，R3?3? 求：(a)电路中的电流；(b)a、b、c和d点的电势；(c)Uab和Udc。
解：(a)电路中电流为I? (b) 因ｅ接地 Ue?0
a点电势为：Ua?Uae?IR2?2V
b点电势为：Ub?Ube?IR2?Ir1??1??18V c点电势为：Uc?Ucb?Ube?IR1?Ub??14V d点电势为：Ud?Ude??IR2??6V (c) Uab??1?Ir1?20V，Udc??2?Ir2?8V
6.图7-4中E1?12V，r1?3?，E2?8V，r2?2?，E3?4V，r3?1?，R1?3?，
R2?2?，R3?5?，I1?0.5A，I2?0.4A，I3?0.9A。计算Uab、Ucd、Uac和Ucb。
5 解： Uac?I1R1?Ir2?1(??)?11V?1??2r1?r2?R1?R2?R3?2A
Ucb??I2r2?IR?(6 2?2Ir23???2)??3VUab?Uac?Ucb?9V Ucd?I3R3?4.5V
7．图7-5中 E1?4V，r1?2?，E2?4V，r2?1?，E3?6V，r3?2?，
E4?2V，r4?1?，E5?0.4V，r5?2?，R1?3?，R2?4?，R3?8?，R4?2?，R5?5?，
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计算Uab、Ubc、Uad、Uac和Ued。
?????解：?1aR3?3bR2?2R1环路电流I?123r1?R3?r3?R
2?r2?R?0.1A，方向逆时针。1则 Uab?I(R3?r3)??3?V7 Ubc?I(R2?r2)??2??3.5V Uad?Uab?Ubd?Uab??4?9V Uac?Uab?Ubc?3.5V Ued???5?IR2??4?1.2V
8．图7-6中E1?6V，r1?0.2?，E2?4.5V，r2?0.1?，E3?2.5V，r3?0.1?，R1?0.5?，R2?0.5?，R3?2.5?，求通过电阻R1、R2、R3的电流。
解：通过R1,R2,R3的电流为I1,I2,I3，方向如书中的图。 则由基尔霍夫定律得：
I1R1?I2R2?I3R3?0
??2??1?I1R1?(I1?I2)r2?(I1?I3)r1 ??3??2?I2R2?(I2?I3)r3?(I1?I2)r2
则可解得I1?2A,I2?3A,I3?1A，均为正值，表示电流方向与假设方向相同。
9．图7-7中，已知支路电流I13A，I11?2?2A。求电动势E1，E2。
解：?2?I2(r2?R2)?I3R3?9V
?1?I1(r1?R1)?I3R3?6V
10．求图7-8中的未知电动势E。 解：I2?I1?I3
?2??I2(r2?R2)?I3R3
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